小升初数学归类复习

小升初数学归类复习 ——求一个数比另一个数多（少）百分之几、纳税问题 主要内容 求一个数比另一个数多(少)百分之几、纳税问题 学习目标 1、使学生在现实情境中，理解并掌握“求一个数比另一个数多(少)百分之几”的基本思考方法， 并能正确解决相关的实际问题。 2、使学生在探索“求一个数比另一个数多(少)百分之几”方法的过程中，进一步加深对百分数的 理解，体会百分数与日常生活的密切联系，增强自主探索和合作交流的意识，提高分析问题和解决问题 的能力。 3、使学生初步认识纳税和税率，理解和掌握应纳税额的计算方法。 4、初步培养学生的纳税意识，继续感知数学就在身边，提高知识的应用能力。 5、培养和解决简单的实际问题的能力，体会生活中处处有数学。 考点分析 1、一个数比另一个数多(少)百分之几 = 一个数比另一个数多(少)的量÷另一个数。 2、应该缴纳的税款叫做应纳税额，应纳税额与各种收入的比率叫做税率，应纳税额 = 收入 × 税率 典型例题 例 1、(解决“求一个数比另一个数多百分之几”的实际问题) 向阳客车厂原计划生产客车 5000 辆，实际生产 5500 辆。实际比计划多生产百分之几? 分析与解：要求“实际比计划多生产百分之几”，就是求实际比计划多生产的辆数占计划产量的百 分之几，把原计划产量看作单位“1”。两者之间的关系可用线段图表示。 例 2、(解决“求一个数比另一个数少百分之几”的实际问题) 向阳客车厂原计划生产客车 5000 辆，实际生产 5500 辆。计划比实际少生产百分之几? 分析与解：要求“计划比实际少生产百分之几”，就是求计划比实际少生产的辆数占实际产量的百 分之几，把实际产量看作单位“1”。两者之间的关系可用线段图表示。 点评：想一想，在分数乘法应用题中的最基本的数量关系式：“单位 1 × 分率 = 分率对应的量”， 如果和百分数应用题结合起来，求一种量比另一种量多(少)百分之几，实际上就是求分率。就用“多(少) 的量 ÷ 单位 1”。 例 3、(难点突破) 一筐苹果比一筐梨重 20%，那么一筐梨就比一筐苹果轻 20% 分析与解：苹果比梨重 20%，表示苹果比梨重的部分占梨的 20%，把梨的质量看作单位“1”;而梨 比苹果轻 20%则表示梨比苹果轻的部分占苹果的 20%，把苹果的质量看作单位“1”，两个单位“1”不 同，切忌将两个问题混为一谈。一筐苹果比一筐梨重 20%，是把梨看作单位“1”，梨有 100 份，苹果 就是 100 + 20 = 120 份;一筐梨比一筐苹果轻百分之几 = 一筐梨比一筐苹果轻的部分 ÷ 苹果 = (12 0 - 100)÷ 120≈16.7% 答：一筐苹果比一筐梨重 20%，那么一筐梨就比一筐苹果轻 16.7% 点评：在求一个数比另一个数多(少)百分之几的百分数应用题中，关键还是要找准单位“1”的量。 从结论可以得出“一个数比另一个数多百分之几，另一个数就比一个数少百分之几。”这句话是错的。 为什么呢?把两个百分之几比较一下，就可以得出这两个百分之几对应的量是一个数比另一个数多的量 或另一个数比一个数少的量，而这两种说法是相同的，也就表示的是同一个量;而单位“1”一个是梨， 一个是苹果，所以这两个百分之几是不可能相等的。 例 4、(考点透视) 一种电子产品，原价每台 5000 元，现在降低到 3000 元。降价百分之几? 分析与解：降低到 3000 元，即现价为 3000 元，说明降低了 2000 元。求降价百分之几，就是求降 低的价格占原价的百分之几。 5000 – 3000 = 2000(元) 2000 ÷ 5000 = 40% 答：降价 40﹪。 例 5、(考点透视) 一项工程，原计划 10 天完成，实际 8 天就完成了任务，实际每天比原计划多修百分之几? 分析与解：根据“原计划 10 天完成”，可以得到：原计划每天完成这项工程的 ;根据“实际 8 天 完成”，可以得到：实际每天完成这项工程的 。用“实际比原计划每天多完成的量 ÷ 原计划每天完 成的量”，就可以求出实际每天多修百分之几。 答：实际每天比原计划多修 25%。 点评：找准解决问题的数量关系式是解答好这一题的关键，题目中要求的是每天完成的任务量，而 不能用 10 和 8 去求，因为 10 和 8 是工作时间，在解答时容易发生错误。 例 6、(应纳税额的计算方法) 益民五金公司去年的营业总额为 400 万元。如果按营业额的 3%缴纳营业税，去年应缴纳营业税多 少万元? 分析与解：如果按营业额的 3%缴纳营业税，是把营业额看作单位“1”。 缴纳营业税占营业额的 3%，即 400 万元的 3%。求一个数的百分之几是多少，也用乘法计算。计算时可将百分数化成分数或小 数来计算。 400×3% = 400× = 12(万元) 或 400×3% = 400×0.03 = 12(万元) 答：去年应缴纳营业税 12 万元。 点评：在现实社会中，各种税率是不一样的。应纳税额的计算从根本上讲是求一个数的百分之几是 多少。 例 7、(和应纳税额有关的简单实际问题) 王叔叔买了一辆价值 16000 元的摩托车。按规定，买摩托车要缴纳 10%的车辆购置税。王叔叔买这 辆摩托车一共要花多少钱? 分析与解：王叔叔买这辆摩托车所需的钱应包含购买价和 10%的车辆购置税两部分，而车辆购置税 是占摩托车购买价的 10%，可先算出要缴纳的车辆购置税。也可以这样想：车辆购置税占购买价的 10%， 把购买价看作单位“1”，王叔叔买这辆摩托车所需的钱相当于购买价的(1 + 10%)，即求 16000 元的 1 10%是多少，也用乘法计算。 方法 1：16000 ×10% + 16000 = 1600 + 16000 = 17600(元) 方法 2：16000 ×(1 + 10%) = 16000 ×1.1 = 17600(元) 答：王叔叔买这辆摩托车一共要花 17600 元钱。 例 8、扬州某风景区 2007 年“十一”黄金周接待游客 9 万人次，门票收入达 270 万元。按门票的 5%缴纳营业税计算，“十一”黄金周期间应缴纳营业税 0.45 万元。 分析与解：营业税是按门票的 5%缴纳，是占门票收入的 5%，而不是占游客人数的 5% 答：“十一”黄金周期间应缴纳营业税 13.5 万元。 小升初数学归类复习（二）—利息、折扣问题 来源：广州奥数网整理 文章作者：奥数网小编 2011-10-27 12:27:08 [标签：小升初 数学]奥数精华资讯 免费订阅 主要内容： 应用百分数解决实际问题：利息、折扣问题 学习目标： 1、了解储蓄的含义。 2、理解本金、利率、利息的含义。 3、掌握利息的计算方法，会正确地计算存款利息。 4、进一步掌握折扣的有关知识及计算方法。 5、使学生进一步积累解决问题的经验，增强数学的应用意识。 考点分析 1、存入银行的钱叫做本金，取款时银行除还给本金外，另外付给的钱叫做利息，利息占本金的百 分率叫做利率。 2、利息=本金×利率×时间。 3、几折就是十分之几，也就是百分之几十。 4、商品现价 = 商品原价 × 折数。 四、典型例题 例 1、(解决税前利息)李明把 500 元钱按三年期整存整取存入银行，到期后应得利息多少元? 例 2、(解决税后利息) 根据国家税法规定，个人在银行存款所得的利息要按 5%的税率缴纳利息税。例 1 中纳税后李明实 得利息多少元? 分析与解：从应得利息中扣除利息税剩下的就是实得利息。 税后实得利息 = 本金 × 利率 × 时间 ×(1 - 5%) 500 × 5.22% × 3 = 78.3(元) …… 应得利息 78.3 × 5% = 3.915(元) …… 利息税 78.3 – 3.915 = 74.385 ≈ 74.39(元) …… 实得利息 或者 500 × 5.22% × 3 × (1 - 5%) = 74.385(元)≈ 74.39(元) 答：纳税后李明实得利息 74.39 元。 例 3、方明将 1500 元存入银行，定期二年，年利率是 4.50%。两年后方明取款时要按 5%缴纳 利息 税，到期后方明实得利息多少元? 错误解答：1500 × 4.50% ×(1 - 5%) = 64.125(元)≈ 64.13(元) 分析原因：税后实得利息 = 本金 × 利率 × 时间 ×(1 - 5%)，这里漏乘了时间。 正确解答：1500 × 2 × 4.50% ×(1 - 5%) = 128.25(元) 答：到期后方明实得利息 128.25 元。 点评：求利率根据实际情况有时要扣掉利息税，根据国家规定利息税的税率是 5%，所以利息分税 前利息和税后利息，在做题时要注意区分。但也有一些是不需要缴利息税的，比如：国家建设债券、教 育储蓄等。 例 4、(求折扣)一本书现价 6.4 元，比原价便宜 1.6 元。这本书是打几折出售的? 分析与解：打了几折是求实际售价是原价的百分之几，只要用实际售价除以原价。 6.4 + 1.6 = 8(元) 6.4 ÷ 8 = 80% = 八折 答：这本书是打八折出售的。 点评：几折就是百分之几十，几几折就是百分之几十几，同一商品打的折数越低，售价也就越低。 在折数的题目中，打几折就是按原价的百分之几十出售，它并不代表增加或减少的数额。 例 5、(已知折扣求原价) “国庆”商场促销，一套西服打八五折出售是 1020 元，这套西服原价多少元? 分析与解：打八五折出售，即实际售价相当于原价的 85%。已知原价的 85%是 1020 元，要求原价是 多少，可以列方程解答。 原价 × 85% = 实际售价 解：设这套西服原价 x 元。 x × 85% = 1020 x = 1020 ÷ 85% x = 1200 检验：(1)用现价除以原价看是否打了八五折。 1020 ÷ 1200 = 0.85 = 85% (2)看原价的 85%是不是 1020 元。 1200 × 85% = 1020(元) 经检验，答案符合题意。 答：这套西服原价 1200 元。 例 6、一台液晶电视 6000 元，若打七五折出售，可降价 2000 元。 分析原因：6000 元为原价，打七五折出售，要先算出实际售价再相减，或者先算出降价部分占原 价的 25%。 正确解答：6000 - 6000×75% = 1500(元) 或 6000×(1 - 75%) = 1500(元) 答：可降价 1500 元。 例 7、(和应纳税额有关的简单实际问题) 一批电冰箱，原来每台售价 2000 元，现促销打九折出售，有一顾客购买时，要求再打九折，如果 能够成交，售价是多少元? 分析与解：“促销打九折出售”就是按原价的百分之九十出售，用“原价×90%”，“再打九折” 是在促销价的基础上打九折，要用促销价乘 90%。 2000× 90% × 90% = 1800× 90% = 1620(元) 答：如果能够成交，售价是 1620 元。 点评：题目的关键是“再打九折”表示的意思是在促销价的基础上再打九折，单位“1”的量是促 销价，即原价打九折后的价钱，这是易错点，要多加注意。 例 8、(考点透视) 商店以 40 元的价钱卖出一件商品，亏了 20%。这件商品原价多少元，亏了多少元? 分析与解：以 40 元的价钱卖出，说明实际售价是 40 元;亏了 20%，即亏了原价的 20%，因此实际售 价相当于原价的(1 - 20%)。 解：设这件商品原价 x 元。 x × (1 - 20%) = 40 x × 80% = 40 x = 50 50 × 20% = 10(元) 答：这件商品原价 50 元，亏了 10 元。 例 9、(考点透视) 某商店同时卖出两件商品，每件各得 30 元，其中一件盈利 20%，另一件亏本 20%。这个商店卖出这 两件商品总体上是盈利还是亏本?具体是多少? 分析与解：盈利 20%，即售出价是成本价的(1 + 20%);亏本 20%，即售出价是成本价的(1 - 20%)。 两件商品的售出价都是 30 元，可分别算出两件商品的成本价。 30 ÷(1 + 20%)= 25(元) 30 ÷(1 - 20%)= 37.5(元) 25 + 37.5 = 62.5(元) 62.5 – 60 = 2.5(元) 答：这个商店卖出这两件商品总体上是亏本，亏本 2.5 元。 小升初数学总复习（三） ——列方程解稍复杂的百分数实际问题 主要内容 列方程解稍复杂的百分数实际问题 学习目标 1、引导学生在已学会的一些基本的百分数实际问题的基础上，引出列方程解一些稍复杂的百分数 实际问题的方法。 2、能根据题中的信息，熟练地找出基本的数量关系，培养学生的分析解题能力。 3、通过练习，沟通百分数和分数的联系，提高学生解决相关问题的能力。 考点分析 1、解答稍复杂的百分数应用题和稍复杂的分数应用题的解题思路、解题方法完全相同。 2、用字母或含有字母的式子表示题中两个未知的数量，找出数量间的相等关系。根据求一个数的 百分之几是多少用乘法列方程求解，或者根据除法的意义，直接解答。 3、“已知比一个数多(少)百分之几的数是多少，求这个数”的实际问题，可以根据数量间的相等 关系列方程求解;或者根据除法的意义，直接解答。 4、灵活运用本单元所学知识，、解决稍复杂的百分数实际问题，沟通分数、百分数应用题之间的 联系。 典型例题 例 1、(列方程解答和倍问题) 一根绳子长 48 米，截成甲、乙两段，其中乙绳长度是甲绳的 60%。甲、乙两绳各长多少米? 分析与解：乙绳长度是甲绳的 60%，把甲绳长度看作单位“1”。 例 2、(列方程解答差倍问题) 体育馆内排球的个数是篮球的 75%，篮球比排球多 6 个。篮球和排球各有多少个? 分析与解：排球的个数是篮球的 75%，是把篮球个数看作单位“1”。 你会自己检验吗? 检验：24 - 18 = 6(个)，符合篮球比排球多 6 个。 18 ÷ 24 = 75%，符合排球的个数是篮球的 75%。 点评：在列方程解答和倍、差倍问题的题目时，要注意找准单位“1”的量，通常情况下设单位“1” 的量为 x，再用另一个量和单位“1”之间的关系，用含有 x 的式子表示出另一个量，最后根据它们的 和或差列出方程。 例 3、六年级男生比女生少 40 人，六年级女生人数相当于男生人数的 140%，六年级男生有多少人? 错误解法：设：女生有 x 人，男生就有 140%x 人。 140%x - x = 40 0.4x = 40 x = 100 140%x = 100 × 1.4 = 140 分析与解：根据“六年级女生人数相当于男生人数的 140%”，可以把男生人数看作单位“1”的量， 设男生人数为 x 人，女生人数就是 140%x 人，再根据“六年级男生比女生少 40 人”，可以得出数量关 系式：“女生人数 – 男生人数 = 40”，根据此数量关系式列出方程。 正确解答：设男生有 x 人，女生就有 140%x 人。 140%x - x = 40 0.4x = 40 x = 100 答：男生有 100 人。 点评：解错此题的原因是单位“1”的量找错了，要记住找单位“1”的量时候，首先要去找分率(百 分率)，因为没有分率就没有单位“1”的量，就不能看到“比”，而“比”后面的那个量就是单位“1” 的量。 例 4、(列方程解决“已知比一个数少百分之几的数是多少，求这个数”的百分数实际问题) 白兔有 36 只，比灰兔少 20%。灰兔有多少只? 分析与解：白兔比灰兔少 20%，把灰兔看作单位“1”。 例 5、(列方程解决“已知比一个数多百分之几的数是多少，求这个数”的百分数实际问题) 白兔有 48 只，比灰兔多 20%。灰兔有多少只? 分析与解：白兔比灰兔多 20%，把灰兔看作单位“1”。 等量关系式：灰兔的只数 + 白兔比灰兔多的只数 = 白兔的只数 解答：设灰兔有 x 只。 x + 20%x = 48 1.2x = 48 x = 40 答：灰兔有 40 只。 检验：40 + 40 × 20% = 48 或 (48 – 40)÷ 40 = 20%，符合题意。 点评：和前面例题一样，都是去求单位“1”的量。在解题时同样要注意找准单位“1”的量，看问 题求什么，确定用什么方法计算。 例 6、(难点突破) 某商品如果按现价 18 元出售，则亏了 25%，原来成本是多少元?如果想盈利 25%，应按多少元出售 该商品? 分析与解：不管是亏 25%，还是盈利 25%，单位“1”都是这件商品的成本。所以要先求这件商品的 成本。18 元亏 25%，说明 18 元比成本少 25%，即是成本的(1 - 25%)。盈利 25%，说明盈利的是原来成 本的 25%，实际售价是原来成本的(1 + 25%)。 解答：设原来成本是 x 元。 x - 25%x = 18 0.75x = 18 x = 24 24 × (1 + 25%) = 30(元) 答：原来成本是 24 元，应按 30 元出售该商品。 点评：通常情况下，商品的盈利和亏损都是以成本作单位“1”的 。解答这道题目的关键是确定好 单位“1”，这也是解百分数应用题时最重要的。 例 7、(考点透视) 水果批发部要运进一批水果，第一次运进总量的 22%，第二次运进 1.5 吨，两次共运进这批水果的 62%，这批水果一共有多少吨? 分析与解：根据题意可以画出下面的线段图： 从图中可以看出：两次一共运的吨数 - 第一次运的吨数 = 1.5 吨，单位“1”的量是这批水果的 总吨数，设这批水果一共有 x 吨，那么两次一共运了 62%x 吨，第一次运进了 22%x 吨。 解：设这批水果一共有 x 吨。 62%x - 22%x = 1.5 40%x = 1.5 x = 3.75 答：这批水果一共有 3.75 吨。 点评：在解答稍复杂的百分数应用题时，要学会画线段图，它的好处是：使题目的条件变得简洁， 找数量关系式时更加容易、方便。画图的时候，要先找准单位“1”的量，用一根线段表示出单位“1” 的量之后，再去表示其他的量。 小升初数学总复习 ——圆柱和圆锥的认识、圆柱的表面积 主要内容 圆柱和圆锥的认识、圆柱的表面积 学习目标 1、使学生在观察、操作、交流等活动中感知和发现圆柱、圆锥的特征，知道圆柱和圆锥的底面、 侧面和高。 2、使学生理解圆柱侧面积和圆柱表面积的含义，掌握圆柱侧面积和表面积的计算方法。 3、使学生在活动中进一步积累认识立体图形的学习经验，增强空间观念，发展数学思考。 4、使学生进一步体验立体图形与生活的关系，感受立体图形的学习价值，提高学习数学的兴趣和 学好数学的信心。 考点分析 1、圆柱上、下两个面叫做圆柱的底面，它们是完全相同的两个圆。形成圆柱的面还有一个曲面， 叫做圆柱的侧面。 圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。 2、圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 3、把圆柱的侧面展开得到一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。 4、圆柱的侧面积 = 底面周长 × 高 5、圆柱的表面积 = 侧面积 + 底面积 × 2 典型例题 例 1、(圆柱和圆锥的特征)圆柱和圆锥分别有什么特点? 分析与解：长方体和正方体的六个面都是平面图形(长方形或正方形)，而圆柱和圆锥除了底面是平 面图形(圆)外，都有一个曲面。圆柱和圆锥的特征见下表。 例 2、求下面立体图形的底面周长和底面积。 分析与解：根据圆的面积和周长计算公式计算圆柱和圆锥的底面周长和底面积。 圆柱：底面周长 3.14 × 3 × 2 = 18.84(厘米) 底面积 3.14 × 3 ² = 28.26(平方厘米) 圆锥：底面周长 3.14 × 10 = 31.4(米) 底面积 3.14 ×(10÷2)² = 78.5(平方米) 点评：圆柱和圆锥的底面都是圆，在计算它们的周长和面积时只要按照圆的周长和面积计算公式进 行计算。 例 3、判断：圆柱和圆锥都有无数条高。 错误解法：正确 分析与解：圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。 正确解答：错误 点评：圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。两个底面之间有无数个对应的点，圆柱有无数条高。 从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。顶点和底面圆心都是唯一的点，所以圆锥只有一条高。 例 4、(圆柱的侧面积) 体育一个圆柱，底面直径是 5 厘米，高是 12 厘米。求它的侧面积。 分析与解： 沿着圆柱侧面的一条高剪开，将侧面展开，就得到一个长方形。这个长方形的长等于圆柱底面的周 长，宽等于圆柱的高。因此，用圆柱的底面周长乘圆柱的高就得到这个长方形的面积，即圆柱的侧面积。 解答： 3.14 × 5 × 12 = 188.4(平方厘米) 答：它的侧面积是 188.4 平方厘米。 点评：圆柱的侧面是个曲面，不能直接求出它的面积。推导出侧面积的计算公式也用到了转化的思 想。把这个曲面沿高剪开，然后平展开来，就能得到一个长方形，这个长方形的面积就是这个圆柱的侧 面积。 例 5、(圆柱的表面积) 做一个圆柱形油桶，底面直径是 0.6 米，高是 1 米，至少需要多少平方米铁皮?(得数保留整数) 分析与解：求铁皮的面积，就是求圆柱形油桶的表面积，即两个底面积和一个侧面积的和。 点评：这里不能用四舍五入法取近似值。因为在实际生活中使用的材料要比计算得到的结果多一些。 因此这儿保留整数，十分位上虽然是 4，但也要向个位进 1。 例 6、(辨析)一个无盖的圆柱铁皮水桶，底面直径是 30 厘米，高是 50 厘米。做这样一个水桶，至 少需用铁皮 6123 平方厘米。 分析与解：题目中是做一个无盖的圆柱铁皮水桶，只有一个底面。在计算铁皮面积时只要用圆柱的 侧面积加上一个底面的面积。 解答：底面积：3.14 ×(30÷2)² = 706.5(平方厘米) 侧面积：3.14 × 30 × 50 = 4710(平方厘米) 表面积：706.5 + 4710 = 5416.5(平方厘米) 答：做这样一个水桶，至少需用铁皮 5416.5 平方厘米。 例 7、(考点透视)一个圆柱的侧面积展开是一个边长 15.7 厘米的正方形。这个圆柱的表面积是多 少平方厘米? 分析与解：圆柱的侧面积展开是一个正方形，即圆柱的高和底面周长都是 15.7 厘米。根据圆柱的 底面周长可以算出底面积。 解答：底面半径：15.7 ÷ 3.14 ÷ 2 = 2.5(厘米) 底面积：3.14 × 2.5 ² = 19.625(平方厘米) 侧面积：15.7 × 15.7 = 246.49(平方厘米) 表面积：19.625 × 2 + 246.49 = 285.74(平方厘米) 答：这个圆柱的表面积是 285.74 平方厘米。 例 8、(考点透视)一个圆柱形的游泳池，底面直径是 10 米，高是 4 米。在它的四周和底部涂水泥， 每千克水泥可涂 5 平方米，共需多少千克水泥? 分析与解：要求水泥的质量，先要求水泥的面积。在圆柱形的游泳池的四周和底部涂水泥，涂水泥 的面积是一个底面积加上侧面积。 解答： 侧面积：3.14 × 10 × 4 = 125.6(平方米) 底面积：3.14 × (10 ÷ 2)² = 78.5(平方米) 涂水泥的面积：125.6 + 78.5 = 204.1(平方米) 水泥的质量：204.1 ÷ 5 = 40.82(千克) 答：共需 40.82 千克水泥。 例 9、(考点透视)把一个底面半径是 2 分米，长是 9 分米的圆柱形木头锯成长短不同的三小段圆柱 形木头，表面积增加了多少平方分米? 分析与解：锯圆柱形木头，表面积增加的部分是若干个相同的底面积。锯成三段，要锯两次，每锯 一次增加两个面，锯了两次增加了四个面。 3.14 × 2 ² × 4 = 50.24(平方分米) 答：表面积增加了 50.24 平方分米。 点评：这是一道在实际生活中应用的题目，对于这一类题目，它的规律就是每切一次就增加两个面。 但切的方式不同，增加的面也不同。如果是沿着底面直径把圆柱切成相同的两个部分，增加的面就是以 底面直径和高为两邻边的长方形。 小升初数学总复习(五) ——比例的意义和基本性质 主要内容 比例的意义和基本性质 学习目标 1、使学生初步理解图形的放大和缩小，能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小，初步体 会图形的相似，进一步发展空间观念。 2、使学生联系图形的放大和缩小理解比例的意义和作用，认识比例的“项”、“内项”和“外项”; 理解并掌握比例的基本性质，会应用比例的基本性质解比例。 3、使学生在认识比例、应用比例的过程中，进一步体会不同领域数学内容的内在联系，增强用数 和图形描述现实问题的意义和能力，丰富解决问题的策略，发展对数学的积极情感。 考点分析 1、把一个图形按一定比放大或缩小，就是把它的每条边按一定的比放大或缩小。 2、表示两个比相等的式子叫做比例。 3、组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 4、在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。 5、根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项，就可以求出这个比例中的另一个未知项。 求比例的未知项，叫做解比例。 典型例题 例 1、(把图形按某个比相应放大或缩小，形状没有改变，只是大小变了) (1)长方形 A 的长是 1.5 厘米，宽是 1 厘米;长方形 B 的长是 3 厘米，宽是 2 厘米。这两个长方形的 长有什么关系?宽呢? (2)如果要把长方形 A 按 1:2 的比缩小，长和宽应是原来的几分之几?各是多少? 分析与解： (1)长方形 B 的长是长方形 A 的 2 倍，宽也是长方形 A 的 2 倍。或者说长方形 B 和长方形 A 长的比 是 2:1，宽的比也是 2:1。 把长方形的每条边放大到原来的 2 倍，放大后的长方形的长和宽与原来长方形的比是 2:1，就是把 长方形 A 的长和宽按 2:1 的比进行放大。 由此可见，放大或缩小前后图形形状没有改变，还是长方形，只是大小变了。 例 2、(根据指定的比，将图形按要求放大或缩小) 先按 3:2 的比画出长方形 A 放大后的图形 B，再按 1:2 的比画出长方形 A 缩小后的图形 C。(1)图 B 的长、宽各是几格? (2)图 C 呢? (3)观察这三幅图形，你有什么发现? 点评：按比例放大图形或缩小图形，关键是要先根据比确定是放大还是缩小，然后确定好每条边的 长度，画出图形就行了。 例 3、(将两个相等比写成一个等式) 图 B 是由图 A 放大后得到的，你能分别写出这两幅图中各自的长与宽的比吗?比较写出的两个比， 你有什么发现? 点评：像这样的比例一共可以写 8 个。但它们不变的是 2 和 7 要么同时为内项，要么同时为外项， 而 1.4 和 10 这一组数也一样。写的时候可以一组一组地写了。 例 7、(按比例放大的含义) 王叔叔在电脑上将下面的图片按比例放大，放大后的图片的长是 12.5 厘米，你有什么发现? 分析与解：按比例放大就是把原图形中的各部分线段都按相同的比放大，放大前后的相关线段的厘 米数是可以组成比例的。两张图片长的比与宽的比可以组成比例，两张图片中各自长、宽的比也可以组 成比例。 例 8、(解比例)上图中宽是多少厘米? 分析与解：在解比例时，根据比例的基本性质把比例转化为积相等的式子，然后再根据等式的性质 来解答。 解：设宽是ⅹ厘米。 答：放大后图片的宽是 10 厘米。 点评：像上面这样求比例中的未知项，叫做解比例。 小学数学总复习专题讲解及训练(六) 主要内容 比例尺、面积变化、确定位置 学习目标 1、使学生在具体情境中理解比例尺的意义，能看懂线段比例尺。会求一幅图的比例尺，能按给定 的比例尺求相应的实际距离或图上距离，会把数值比例尺与线段比例尺进行转化。 2、使学生在经历“猜想-验证”的过程中，自主发现平面图形按比例放大后面积的变化规律。 3、在解决问题的过程中，进一步体会比例以及比例尺的应用价值，感知不同领域数学内容的内在 联系，增强用数和图形描述现实问题的意识和能力，丰富解决问题的策略。 4、使学生在具体情境中初步理解北偏东(西)、南偏东(西)的含义，初步掌握用方向和距离确定物 体位置的方法，能根据给定方向和距离在平面图上确定物体的位置或描述简单的行走路线。 5、使学生在用方向和距离确定物体位置的过程中，进一步培养观察能力、识图能力和有条理的进 行表达的能力。发展空间观念。 6、使学生积极参与观察、测量、画图、交流等活动，获得成功的体验，体会数学知识与生活实际 的联系，拓展知识视野，激发学习兴趣。 考点分析 1、图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。 4、知道 了物体的方向和距离，就能确定物体的位置。 5、根据物体的位置，结合比例尺的相关知识，可以在平面图上画出物体的位置。画的时候先按方 向画一条射线，在根据图上距离找出点所在的位置。 6、描述行走路线要依次逐段地说，每一段都应说出行走的方向与路程。 典型例题： 例 1、(认识比例尺) 王伯伯家有一块长方形的菜地，长 40 米，宽 30 米。把这块菜地按一定的比例缩小，画在平面图上 长 4 厘米，宽 3 厘米。你能分别写出菜地长、宽的图上距离和实际距离的比吗? 分析与解：图上距离和实际距离的单位不同，先要统一成相同的单位，写出比后再化简。 点评：求一幅地图的比例尺是一种比较简单的题目。做的时候唯一要注意的就是末尾 0 的问题： 一是米、千米化成厘米的时候要在米、千米那个数的末尾加上 2、5 个 0;二是在求比例尺的结果时要注 意 0 的个数。多数一数、想一想，是不会有错的。 例 2、(对比例尺的理解及比例尺的两种表示方法) 比例尺 1:1000 表示图上距离是实际距离的几分之几?实际距离是图上距离的多少倍?图上 1 厘米表 示实际距离多少米? 例 3、一个手表零件长 2 毫米，画在一幅图上长 4 厘米，这幅图的比例尺是多少? 错误解法：4 厘米 = 40 毫米 2 : 40 = 1 : 20 思路分析：无论什么样的图纸，比例尺始终是图上距离与实际距离的比，根据比例尺的定义，用“图 上距离 : 实际距离 = 比例尺”去求。 正确解答：4 厘米 = 40 毫米 40 : 2 = 20 : 1 点评：比例尺通常情况下都应该写成前项是 1 的比。但比例尺的作用除了把实际距离缩小，还可以 把实际距离扩大，这样比例尺的前项就比后项大，这时后项通常化成 1。在解答时，只要坚持好“图上 距离 : 实际距离 = 比例尺”，图上距离在前就可以了。 例 4、(根据比例尺求图上距离或实际距离) 例 5、(平面图形按照一定的比放大后，面积扩大了比的平方倍) 下面的大长方形是由一个小长方形按比例放大后得到的图形。分别量出它们的长和宽，算算大长方 形与小长方形面积的比是几比几。 例 6、(认识北偏东(西)若干度、南偏东(西)若干度等方向) 如图，一辆汽车向正北方向行驶，你能说出商场和书店分别在汽车的什么方向吗? 分析与解：从图上可以看出，以汽车为中心，书店在汽车的东北方向，商场在汽车的西北方向。 怎样才能更准确地表示它们的位置呢? 东北方向也叫做北偏东方向，书店在汽车的北偏东 60º方向。 西北方向也叫做北偏西方向，商场在汽车的北偏西 45º方向。 答：书店在汽车的北偏东 60º方向，商场在汽车的北偏西 45º方向。 例 7、(知道了物体的方向和距离，才能确定物体的具体位置) 量出上图中书店到汽车的图上距离，根据比例尺算一算，书店在汽车北偏东 60º方向的多少千米处? 商场呢? 分析与解：从图中量得书店和商场到汽车的图上距离分别是 1.2 厘米和 2.3 厘米，根据比例尺，图 上距离 1 厘米代表实际距离 3 千米，分别算出实际距离。 1.2 × 3 = 3.6(千米)┄┄┄书店 2.3 × 3 = 6.9(千米)┄┄┄商场 答：书店在汽车北偏东 60º方向的 3.6 千米处，商场在汽车北偏西 45º方向的 6.9 千米处。 点评：只有在方向词的后面添上角的度数，才能准确描述物体所在的位置。确定方向时，一定要先 确定好南或北，再看是偏东还是偏西，如果图中没有画线，要先连线。算实际距离就根据前面比例尺的 相关知识去求。 例 8、(辨析)书店在汽车的北偏东 60º方向，表示汽车也在书店的北偏东 60º方向。 分析与解：书店在汽车的北偏东 60º方向，是以汽车为中心，由北向东旋转 60º;而以书店为中心， 汽车在书店的西南方向，即南偏西 60º方向。 书店在汽车的北偏东 60º方向，表示汽车在书店的南偏西 60º方向。 例 9、(根据给定的方向和距离，有序地确定物体的具体位置) 海面上有一座灯塔，灯塔北偏西 30º方向 30 千米处是凤凰岛。 你能在图上指出凤凰岛大约在什么位置吗? 分析与解： (1)先确定北偏西 30º的方向，画一条射线。 (2)再算出灯塔到凤凰岛的图上距离是多少厘米。 30 ÷ 10 = 3(厘米) 点评：在表示凤凰岛的具体位置时，先要画出表示方向的射线，再确定灯塔到凤凰岛的图上距离。 且在画表示方向的射线时，应从表示灯塔的点开始画起，并注意正确摆好量角器。 例 10、(用方向和距离描述简单的行走路线) 下图是某市旅游 1 号车行驶的线路图，请根据线路图填空。 (1)旅游 1 号车从起点站出发，向( )行驶到达青水公园，再向 ( )偏( )( )的方向行 ( )千米到达抗战纪念碑。 (2)由绿博园向南偏( )( )的方向行 ( )千米到达购物中心，再向北偏( ) ( )的方向行( )千米到达人民公园。 分析与解：先找准方向，再说出具体的路程。(1)旅游 1 号车从起点站出发，向( 东 )行驶到达青 水公园，再向( 北 )偏(东)(40º)的方向行(1.8 )千米到达抗战纪念碑。 (2)由绿博园向南偏(东)(60º)的方向行(1.7)千米到达购物中心，再向北偏( 东 ) (70º)的方向行(1.5)千米到达人民公园。 点评：在进行描述的时候，一定要先说清楚方向再说路程。说方向的时候为了说清楚，通常情况下 不用东北、西北、东南、西南等说法，而用南偏东、南偏西、北偏东、北偏西多少度的说法更为准确。 小学数学总复习专题讲解及训练(七) 主要内容 正比例和反比例 学习目标 1、使学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量，能根据正、反比例的意义判断两种相关联的 量是否成正比例或反比例。 2、使学生初步认识正比例的图像是一条直线，能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画 出相应的直线，能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。 3、使学生在认识成正比例、反比例的量的过程中，初步体会数量之间相依互变的关系，感受有效 表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步提升思维水平。 4、使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强探索数学知识和规律的意识，养成积极主 动地参与学习活动的习惯，提高学好数学的信心。 考点分析 1、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比的 比值(也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关系叫做正比例关系。 如果用字母 x 和 y 分别表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子 来表示： = K(一定)。 2、用“描点法”可以得到正比例的图像，正比例的图像是一条直线。对照图像，能根据一种量的 值，估计另一种量相对应的值。 3、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘积 一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。 如果用字母 x 和 y 分别表示两种相关联的量，用 k 表示它们的积，反比例关系可以用这样的式子来 表示：xy = K(一定)。 4、两个变量的比值一定，这两个变量成正比例;两个变量的积一定，这两个变量成反比例;没有上 述两种关系，这两个变量不成比例。 典型例题 例 1、(正比例的意义)一列火车行驶的时间和路程如下表。这两种量有什么关系? 分析与解： (1)从上表可以看出，表中有时间和路程两种量。 (2)从左往右看，时间扩大，路程也扩大;从右往左看，时间缩小，路程也缩小。所以它们是两种相 关联的量。 (3)路程和时间的比值始终不变， ……这个比值就是火车的 行驶速度。 通过观察和计算，我们对路程和时间的关系有两点发现：第一点路程和时间是两种相关联的量，也 就是时间变化，路程也随着变化;第二点路程和对应的时间的比的比值(也就是速度)是一定的，有这样 的关系： 具备了这两个条件，我们就可以得到结论：行驶的路程和时间成正比例关系;行驶的路程和时间成 正比例的量。 点评：判断两种量是不是成正比例，分三步：一看它们是不是相关联的两种量;二是看一种量变化， 另一种量是不是也随着变化;满足了前面两个条件，再看它们的比值是否一定。不要省去任何一步。如 果用字母 x 和 y 分别表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示： 例 2、(判断是否成正比例) 练习本的单价一定，买练习本的数量和总价是不是成正比例?为什么? 分析与解：根据正比例的意义，看两个变量的比值是否一定，如果两个变量的比值一定，那么这两 个变量就成正比例，反之，则不成正比例。 买练习本的数量和总价是两种相关联的量，它们与练习本的单价有下面的关系： 所以练习本的数量和总价成正比例。 例 3、(正比例的图像)磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下。 (1)图中的点 A 表示时间为 1 分钟时，磁悬浮列车驶过的路程为 7 千米。请你试着描出其他各点。 (2)连接各点，它们在一条直线上吗? (3)根据图像判断，列车运行 2 分半钟时，行驶的路程是多少千米?行驶 30 千米大约需要几分钟? 分析与解：根据提供的各组数据描出图像的许多个点，再依次连成直线。路程和时间相对应的数的 比值都是 7，即速度一定，路程和时间成正比例，图像是一条直线。对照图像，可以根据时间的值估计 出路程的值，也可以根据路程的值估计出时间的值，估计时允许有一定的出入。 (1)描点、连线如图。 (2)在一条直线上，因为路程和时间成正比例，正比例的图像是一条直线。 (3)根据图像，列车运行 2 分半钟时，行驶的路程是 17.5 千米;行驶 30 千米大约需要 4.3 分钟。 例 4、(辨析)圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径成正比例? 分析与解：圆的周长和直径成正比例，而圆的面积和半径却不成正比例。 可列表判断。 圆的周长和直径的相对应的数的比值都是 3.14，所以圆的周长和直径成正比例。而圆的面积和半 径的相对应的数的比值是变化的，所以圆的面积和半径不成正比例。 圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径却不成正比例。 例 5、(反比例的意义) 下表是王师傅加工一批零件时，每小时加工零件个数随时间变化的情况。这两种量有什么关系? 分析与解： (1)从上表可以看出，表中有每小时加工零件的个数和加工的时间两种量。 (2)从左往右看，每小时加工零件的个数扩大，加工的时间反而缩小;从右往左看，每小时加工零件 的个数缩小，加工的时间反而扩大。所以它们是两种相关联的量。 (3)每小时加工零件的个数和相对应的加工的时间的积都始终不变，如 20 × 12 = 240，30 × 8 = 240，40 × 6 = 240……而这个积就是这批零件的总个数。 通过观察和计算，我们发现：每小时加工零件的个数和加工的时间是两种相关联的量，每小时加工 零件的个数随着加工的时间变化而变化，但无论它们怎么变化，相对应的积是一定的，有这样的关系： 每小时加工零件的个数 × 加工的时间 = 零件的总个数(一定)。 所以每小时加工零件的个数和加工的时间成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。 点评：判断两种量是不是成反比例，和正比例一样，分三步：一看它们是不是相关联的两种量;二 是看一种量变化，另一种量是不是也随着变化;满足了前面两个条件，再看它们的乘积是否一定，进行 判断。不要省去任何一步。如果用字母 x 和 y 分别表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值，正比例 关系可以用这样的式子来表示：xy = K(一定)。 例 6、(判断是否成反比例) 总产量一定，每公顷的产量和公顷数是不是成反比例?为什么? 分析与解：根据反比例的意义，看两个变量的乘积是否一定，如果两个变量的积一定，那么这两个 变量就成反比例，反之，则不成反比例。 每公顷的产量和公顷数是两种相关联的量，它们与总产量有下面的关系： 每公顷的产量 × 公顷数 = 总产量(一定) 所以每公顷的产量和公顷数成反比例。 例 7、(辨析)和一定，一个加数和另一个加数成反比例。 分析与解：判断两个变量是否成反比例，关键是看两个变量的乘积是否一定。很明显，和一定，两 个加数的积是变化的，所以它们不成反比例。 和一定，一个加数和另一个加数不成反比例。因为它们的积不一定。 点评：有些相关联的量，虽然也是一种量变化，另一种量也随着变化，但它们不是积一定，也 不 是比值一定，它们就不成比例。像这样的还有：人的跳高高度和身高;减数一定，被减数和差等。 例 8、(综合题 1) (1)长方形的面积一定，长和宽成反比例吗?为什么? (2)长方形的周长一定，长和宽成反比例吗?为什么? 分析与解：判断时可以用列表的方式列举数据，也可以根据计算的公式来推导。 (1)因为长方形的长 × 宽 = 长方形的面积(一定)，所以长和宽成反比例。 (2)长方形的周长 = (长+宽)× 2 ，长方形的周长一定，长+宽的和一定，但不是积一定，所以长 和宽不成反比例。 例 9、(综合题 2) 分别说明大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，每两种量的比例关系。 (1)大米的总千克数一定，每天吃的千克数和天数; (2)每天吃的千克数一定，大米的总千克数和天数; (3)天数一定，大米的总千克数和每天吃的千克数。 分析与解：在大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，当某一种量一定时，另外两种 量可能成正比例关系，也可能成反比例关系。可以根据数量关系式来判断。 小学数学总复习专题讲解及训练(八) 主要内容 解决问题的策略 学习目标 1、让学生在直观的情境中想到转化，并应用图形的平移和旋转知识进行图形的等积，等周长的变 形。 2、在解决实际问题过程中体会转化的含义和应用的手段，感受转化在解决这个问题时的价值。 3、进一步积累解决问题的经验,增强解决问题的“转化”意识,提高学好数学的信心。 考点分析 转化能把新颖的问题变成已经认识、已能解决的问题，从而创造性地利用已有的知识，经验。 典型例题 例 1、(运用转化的策略巧算周长)求下面图形的周长。(单位：厘米) 分析与解：求这个图形的周长，就是求围成这个图形的所有线段的长度和。图中有的线段的长度不 知道，可以将其中的 4 条线段进行平移(如下图)，平移之后形成一个长方形，长方形的周长和原来图形 的周长是相等的。因此求原来图形周长的问题就转化成了求下图这个长方形的周长。 解答：(20 + 7 +3)× 2 = 60(厘米) 点评：通过相等面积的代换转化，把一些不规则的图形转化为规则的、容易判断的图形，这就是转 化的优点，在解答时要灵活运用。 例 2、(将复杂的图形转化成简单的图形后计算面积) 如图 1 是一块长方形草地，长方形的长是 16 米，宽是 10 米。中间有两条道路，一条是长方形，一 条是平行四边形。草地部分的面积有多大? 分析与解：求草地部分的面积，可以用大长方形的面积减去两条道路的面积，但要考虑两条道路的 重叠部分，因此计算比较复杂。可以将图 1 转化成图 2，两条道路转化到了长方形草地的边上，很明显， 图 2 草地部分(阴影部分)的面积和图 1 相等，现在求草地的面积转化成了求长方形的面积，计算比较简 单。 解答：(16 - 2 )× (10 - 2) = 112(平方米) 答：草地部分的面积是 112 平方米。 例 3、(辨析)下面图形的周长可以转化成长 15 厘米、宽 9 厘米的长方形来计算，即周长是(15 + 9) × 2 = 48(厘米)。 分析与解：如下图，将长 2 厘米的线段移到上面，转化成了一个长方形，但还多两条 3 厘米的线段。 正确解答：(15 + 9)× 2 + 3 × 2 = 54(厘米) 小学奥数知识点回顾(一) 1、和差倍问题 和差问题 和倍问题 差倍问题 已知条件 几个数的和与差 几个数的和与倍数 几个数的差与倍数 公式适用范围 已知两个数的和，差，倍数关系 公式： ①(和-差)÷2=较小数 较小数+差=较大数 和-较小数=较大数 ②(和+差)÷2=较大数 较大数-差=较小数 和-较大数=较小数 和÷(倍数+1)=小数 小数×倍数=大数 和-小数=大数 差÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数 小数+差=大数 关键问题 求出同一条件下的 和与差 和与倍数 差与倍数 2、年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的; ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的; ③两个人的年龄的倍数是发生变化的; 3、归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样 的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量; 4、植树问题 基本类型 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都 不植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树 封闭曲线上植树 基本公式 棵数=段数+1 棵距×段数=总长 棵数=段数-1 棵距×段数=总长 棵数=段数 棵距×段数=总长 关键问题 确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5、鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来; 基本思路： ①假设，即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样)： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少; ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因; ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数) ②把所有兔子假设成鸡：兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数) 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 6、盈亏问题 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种 结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量. 基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出 参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量. 基本题型： ①一次有余数，另一次不足; 基本公式：总份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差 ②当两次都有余数; 基本公式：总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数的差 ③当两次都不足; 基本公式：总份数=(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。 关键问题：确定对象总量和总的组数。 7、牛吃草问题 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差;再找 出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的; 关键问题：确定两个不变的量。 基本公式： 生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-短时间); 总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量; 8、周期循环与数表规律 周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。 周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。 关键问题：确定循环周期。 闰 年：一年有 366 天; ①年份能被 4 整除;②如果年份能被 100 整除，则年份必须能被 400 整除; 平 年：一年有 365 天。 ①年份不能被 4 整除;②如果年份能被 100 整除，但不能被 400 整除; 9、平均数 基本公式：①平均数=总数量÷总份数 总数量=平均数×总份数 总份数=总数量÷平均数 ②平均数=基准数+每一个数与基准数差的和÷总份数 基本算法： ①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算. ②基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数;一般选与所有数比较接近的数或者中间 数为基准数;以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数; 最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式②。 10、抽屉原理 抽屉原则一：如果把(n+1)个物体放在 n 个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有 2 个物体。 例：把 4 个物体放在 3 个抽屉里，也就是把 4 分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况： ①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1 观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有 2 个或多于 2 个物 体，也就是说必有一个抽屉中至少放有 2 个物体。 抽屉原则二：如果把 n 个物体放在 m 个抽屉里，其中 n>m，那么必有一个抽屉至少有: ①k=[n/m ]+1 个物体：当 n 不能被 m 整除时。 ②k=n/m 个物体：当 n 能被 m 整除时。 理解知识点：[X]表示不超过 X 的最大整数。 例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2; 关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。 11.定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本 运算过程、规律进行运算。 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 12.数列求和 等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。 基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用 a1 表示; 项数：等差数列的所有数的个数，一般用 n 表示; 公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用 d 表示; 通项：表示数列中每一个数的公式，一般用 an 表示; 数列的和：这一数列全部数字的和，一般用 Sn 表示. 基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n,sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三 个，就可求出第四个;求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。 基本公式：通项公式：an = a1+(n-1)d; 通项=首项+(项数一 1) ×公差; 数列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2; 数列和=(首项+末项)×项数÷2; 项数公式：n= (an+ a1)÷d+1; 项数=(末项-首项)÷公差+1; 公差公式：d =(an-a1))÷(n-1); 公差=(末项-首项)÷(项数-1); 关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式; 13.二进制及其应用 十进制：用 0～9 十个数字表示，逢 10 进 1;不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的 2 表示 2 0，百位上的 2 表示 200。所以 234=200+30+4=2×102+3×10+4。 =An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A 2×101+A1×100 注意：N0=1;N1=N(其中 N 是任意自然数) 二进制：用 0～1 两个数字表示，逢 2 进 1;不同数位上的数字表示不同的含义。 (2)= An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7 +……+A3×22+A2×21+A1×20 注意：An 不是 0 就是 1。 十进制化成二进制： ①根据二进制满 2 进 1 的特点，用 2 连续去除这个数，直到商为 0，然后把每次所得的余数按自下 而上依次写出即可。 ②先找出不大于该数的 2 的 n 次方，再求它们的差，再找不大于这个差的 2 的 n 次方，依此方法一 直找到差为 0，按照二进制展开式特点即可写出。 14.加法乘法原理和几何计数 加法原理：如果完成一件任务有 n 类方法，在第一类方法中有 m1 种不同方法，在第二类方法中有 m2 种不同方法……，在第 n 类方法中有 mn 种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+ m2....... +mn 种不同的方法。 关键问题：确定工作的分类方法。 基本特征：每一种方法都可完成任务。 乘法原理：如果完成一件任务需要分成 n 个步骤进行，做第 1 步有 m1 种方法，不管第 1 步用哪一 种方法，第 2 步总有 m2 种方法……不管前面 n-1 步用哪种方法，第 n 步总有 mn 种方法，那么完成这件 任务共有：m1×m2....... ×mn 种不同的方法。 关键问题：确定工作的完成步骤。 基本特征：每一步只能完成任务的一部分。 直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。 直线特点：没有端点，没有长度。 线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。 线段特点：有两个端点，有长度。 射线：把直线的一端无限延长。 射线特点：只有一个端点;没有长度。 ①数线段规律：总数=1+2+3+…+(点数一 1); ②数角规律=1+2+3+…+(射线数一 1); ③数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数： ④数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数 15.质数与合数 质数：一个数除了 1 和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。 合数：一个数除了 1 和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。 质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。 分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。 任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。 分解质因数的标准表示形式：N=，其中 a1、a2、a3……an 都是合数 N 的质因数，且 a1