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第一讲 图形面积
本次阴影专题是在阴影专题（一）的基础上加深对三角形的认识，再引入圆形阴
影部分。
1、r2 的运用 涉及圆的面积有：
圆的面积公式 S 圆= r2； 扇形面积公式 S 扇=
360
n r2
“月牙形”面积公式 S 月牙=0.285 r2； “风筝形”面积公式 S 风筝=0.215 r2
通过以上公式，我们发现一个共同的特点，即在计算圆的阴影面积时，从本质上
讲，我们不用求出 r 的值，只要求出 r2 是多少，把 r2 作为一个整体，即可求解。这是
学习圆的阴影面积时首先需要掌握的。
2、割补法 学习圆的阴影面积时，有一个解题办法非常重要，它是“割补法”。
很多看似无法解的问题，运用割补法，解起来非常巧妙、简洁。
3、“容斥”原理 在例题中讲解。
总体看，与三角形相比，求圆的阴影面积，变化不多，题型较为简单。因此本讲
仍将把三角形阴影面积的求法做为学习重点，继续运用“等底等高，高相等底倍数”
的办法解题，达到熟练掌握的程度，同时学习用代数法、等分法、旋转法、割补法、
填补法等方法解题。
[关键词]：r2 的运用 割补法 代数法
例 1、如图，三角形 ABC 的面积是 1 平方厘米，且 BE=2EC，F 是 CD 的中点。那么阴影
部分的面积是多少平方厘米？
例 2、如图正方形 ABCD 的边长为 10cm，EC=2BE，求阴影部分面积？
例 3、如图正方形边长 10 厘米，E、F、H 分别为三边中点，阴影四边
形面积是多少平方厘米？ H
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例 4、如图：有一张斜边为 22 厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为 36 厘米的蓝色
直角三角形的纸片，一张黄色正方形纸片，拼成一个直角三角形，红、蓝两张三角形
纸片的面积之和为多少平方厘米？
例 5、如图所示四边形 ABCD，线段 BC 长为 6 厘米，角 ABC 为直角，角 BCD 为 135o，而
且点 A 到边 CD 的垂线 AE 的长为 12 厘米，线段 ED 的长为 5 厘米，求四边形 ABCD 的面
积。
例 6、有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相
叠放，如图所示。已知露出部分中红色面积是 20，黄色部分是 14，绿色部分是 10，那
么正方形盒子的面积是多少？
例 7、如图⑴把线段 OA 绕点 O 向右旋转 90°，图中阴影 部分即为
OA 扫过的面积。如图⑵AB=6，BC=2，AC=5，把三角形 ABC 绕点 B 向右旋转 90°，AC 边
必扫过一个部分。
⑴请画出三角形 ABC 旋转后的图形，并用阴影表示 AC 边扫过的面 积。
⑵求出阴影部分的面积。
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综练：1、如图，把△ABC 的 BA 边延长一倍到 D 点，CB 边延长两倍到 F 点，AC 边延长
三倍到 E 点，连接 DE，EF，FD 得到△DEF，△DEF 是△ABC 面积的几倍？
2、已知三角形 ABC 的面积是 36 平方厘米，AC 长 8 厘米，DE 长 3 厘米，求阴影部分的
面积。
3、如图：长方形中，求阴影部分的面积。（单位：cm）
4、计算如图四边形的面积。
5、如图，边长是 10 厘米和 14 厘米的两个正方形并放在 一起，三角
形 ABC（阴影部分）的面积是多少平方厘米？
6、如图：把正方形的一组对边平均分成 4 等分，B、C 为四等分点，连接 AB、BC；再
把 AB、BC 分别平均分成 4 等分，D、E 为四等分点，连接 CD、DE；再把 CD 四等分，F
为四等分点，连接 EF。若正方形边长为 16 厘米，求三角 形 DEF
的面积。
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7、用两条直线把某三角形分割为 4 块，已知其中 3 块的面积如图所示为：3、7、7，
请问标问号那部分的面积是多少？
8、小圆半径是大圆直径的
6
1 ，小圆面积是 5cm2，大圆面 积是多少
平方厘米？
9、求阴影部分的面积。（用 a、b 表示， =3）
10、求图中阴影部分的面积。（单位：厘米 π=3.14）
11、半径为 7 个单位的三个圆弧围成如右图所示的区域， 其中 AB
弧与 AD 弧是四分之一圆，而 BCD 弧是一个半圆，则此区 域面积
是多少平方单位？
12、如图所示（单位：厘米），阴影部分的面积是多少平方厘米？
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13、如图，大圆直径为 30，4 个小圆的直径都是大圆直径的一半，求阴影部分的面积。
14、如图，有一个直径为 3 厘米的半圆，再将半圆以 A 点为轴沿逆时针方向旋转 60°，
B 点移到 C 点，阴影部分的面积是多少平方厘米？
第二讲速算和巧算
速算和巧算是数学学习中的一个重要内容，同学们也一定希望自己在计算时，算
得正确迅速又合理灵活吧！那么怎样才能做到这些呢？
首先必须掌握一些计算法则，定律、性质和拆、拼等一些技巧性方法。其次是要
整体观察题目，找出数据特点及它们之间的联系。三是联想一些相关的运算定律和性
质，选择最佳算法，从而使较复杂的计算题能很快的计算出结果。
例题 1、计算： 4.981.874.2989.12
试一试 1、 4.2863.7643.5434.3867.2357.456
例题 2、计算： 4996949962981
试一试 2、计算： 79884256214383842
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例题 3、计算： 24864242088241344
试一试 3、计算： 91017199171715
例题 4、 24.73941.11
试一试 4、 75.01.87.25.24.25.78.425.2
例题 5、 62.1259869.12.197371972
试一试 5、 2.498.154.236
例题 6、 4.69.434.316.3
试一试 6、 8.28.733.612.7
例题 7、 19199199919999199999
试一试 7、 49999949999499949949
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例题 8、 999999999999
试一试 8、 9999999999999999999999999
例题 9、 991.191.191.1991991
试一试 9、 994.194.194.1991994
综合练习：
1、 23.9112.8991.7889.6778.5667.4556.3445.2334.12
2、 238.05.238.06.738.0
3、 )493929199()413121111(
4、 1.025.668625.0625.099
5、 11.237.911.237.1589.737.989.737.15
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6、 3.562.148.353.078.248.717.3
7、 38.027242.64.172 8、 8.0925.376.13
9、 8)2612574125( 10、 )397281(397562
11、 35.04.2)25.15.34.1( 12、 4.69.684.316.3
13、 19951996199619971997199819981999
14、 25.036.263.12.0)242.3825.016.35(
考查练习：
1、 71.19971.9777.9977.199
2、 68.92468.72468.52468.32468.124
3、 200115)4.2175.025786.06.78(
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4、 8.28.733.612.7 5、
135135852852852135
6、 12543508251400
7、 1369141311913139
8、 28423.05.1275.33.426.3 9、 1.9323225.025.1
10、 )22242527()111094321(
11、 62.048.538.151.048.619.2
12 、 2.0255.0)5.26(26
13、 )305.105.1()7.95.24.8(
第三讲 分数应用题
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在解答分数应用题时，有些题通过方程正向思考简便，还有些题根据题目的特点，
可以采用一些独特的方法进行分析、解答。下面介绍几种常用的方法：
“王大妈卖鸡蛋，见人卖一半，还送半个蛋；见了四个人，卖光篮中蛋，王大妈共卖多
少个蛋？”如果按照题目的条件设未知数列式解答是很困难的，这时我们可以从最后的
结果出发，倒着往前一步步推算，解答就简便了。这种解答方法称为倒推还原法。
又如，“有一堆糖果，其中奶糖占
20
9 ，再放入 16 块水果糖后，奶糖就只占
4
1 ，
这堆糖果原来共有多少块”。分析单位“1”时，我们发现
20
9 与
4
1 虽然单位“1”都是
糖果总数量，但前后两个糖果总数量已经改变，即单位“1”不统一了。这样就要用不
变的量作为单位“1”进行解答。而此题中我们发现奶糖块数前后是不变的，可以把它
确定为单位“1”，即原来的糖是奶糖的
9
20 ，现在的糖是奶糖的
1
4 ，从而找出 16 块水
果糖的对应分率，求出奶糖，进而求出问题。这种方法称为抓住不变量解题。
再如：“合唱队共有 84 人，男生人数的
8
5 与女生人数的
4
3 共 58 人，问男女生各
有多少人？”此题中含有两个未知量，而他们各自的分率不同，所以 84 人就不能直接
利用，这时我们可以假设男生也选出
4
3 ，这样男生女生人数的
4
3 就是全班 84 人的
4
3 ，
可以求出是 84
4
3 =63（人），比实际 58 人多 63—58=5（人），分析原因可知这是男
生分率减少导致的，从而可知 5 人的对应分率是
4
3 －
8
5 =
8
1 ，求出男生人数为 5
8
1 =40
（人），继而求出女生有 44 人。这种方法在五年级学习鸡兔同笼问题时采用过，称作
假设法。
从上面的讲解中，我门知道了在解答分数应用题时除了要熟练掌握常规解法外，
还要灵活运用还原法，抓不变量，假设法等方法，这样你的分析能力，解题能力就会
有很大的提高。
[关键词]：方程法 倒推还原法 抓住不变量转化单位“1” 假设法
例 1、食堂有一篮鸡蛋，第一天吃了
3
1 ，第二天吃了剩下的
3
1 ，第三天吃了第二天剩下
的
4
1 ，这时篮中还有 6 个鸡蛋，那么，原来篮中共有鸡蛋多少个？
例 2、杨树、柳树共 200 棵，杨树的
4
1 比柳树的
10
1 多 22 棵，杨树、柳树各多少棵？
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例 3、红星小学五年级学生中男生占
12
7 ，后来又转来了 15 名男生，这样男生占到五年
级总人数的
5
3 ，五年级原来有学生多少人？
例 4、有一堆苹果和一堆梨，苹果的
3
1 和梨的
5
2 放在一起是 21 千克，苹果的
5
2 和梨的
3
1 放在一起是 23 千克。那么，苹果有多少千克？
例 5、小红看一本科技书，看了 3 天，剩下 66 页，如果用这样的速度看 4 天，就剩下
全书的
5
2 ，这本书有多少页？
例 6、王先生、李先生、赵先生、杨先生四个人比年龄，王先生的年龄是另外三人年龄
和的
2
1 ，李先生的年龄是另外三人年龄和的
3
1 ，赵先生的年龄是其他三人年龄和的
4
1 ，
杨先生 26 岁，你知道王先生多少岁？
例 7、某班一次集会，请假人数是出席人数的
9
1 ，中途又有一人请假离开，这样一来，
请假人数是出席人数的
22
3 ，那么这个班共有多少人？
综练：1、李师傅加工一批零件，第一天加工了全部零件的
7
4 ，第二天又加工了余下零
件的
5
3 ，这时还剩下 36 个，这批零件共多少个？
2、红红口袋装有饼干，第一次她吃掉了全部饼干的一半又半块，第二次她吃掉了余下的
一半又半块，第三次她仍吃掉了余下的一半又半块，第四次她又吃掉了余下的一半又半
块，这时，红红发现口袋里已经没有饼干了，红红口袋里原有多少块饼干？
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3、一瓶酒精，第一次倒出
3
1 ，然后倒回瓶中 40 克，第二次再倒出瓶中酒精的
9
5 ，第
三次倒出 180 克，瓶中还剩下 60 克，原来瓶中多少克的酒精？
4、一袋米第一次取出
3
1 又
3
1 千克，第二次取出剩下的
4
1 又
4
1 千克，第三次取出剩下的
3
1 又
3
1 千克，袋里还剩 1 千克，这袋米原重多少千克？
5、三只猴子分桃子。第一只猴子分到全部的
7
2 多 2 个，第二只猴子分到余下的
3
2 少 4
个，第三只猴子分到 20 个，共有多少个桃子？
6、甲、乙、丙三人共有 220 元钱，甲拿出一些给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增
加 1 倍；乙又拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加 1 倍；丙又拿出一
些钱给甲和乙，使甲、乙的钱数比原来也增加 1 倍。结果，丙的钱数是乙的 2.5 倍，
乙的钱数又是甲的一半，那么三人原来各有多少元钱？
7、甲、乙两个粮食仓库，甲仓库存粮是乙仓库的
10
7 ，如果从乙仓库调 50 吨到甲仓库，
甲仓库存粮是乙仓库的
5
4 ，甲仓库原存粮多少吨？
8、一杯盐水，盐占盐水的
5
1 ，再加入 26 克盐后，盐占盐水的
4
1 ，原来盐水有多少
克？
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9、五年级一班和二班共有学生 96 人。抽一班人数的
4
3 ，二班人数的
5
3 ，组成 66 人的
鼓号队。五年级一班和二班各有学生多少人？
10、由于浮力作用，金放在水中称量，其重量减轻了
19
1 ；银放在水中称量，其重量减
轻了
10
1 。有一重 500 克的金银合金，放在水中称量，其重量减轻了 32 克，这块合金
中含金多少克？
11、梨和苹果共 140 个，卖出梨的
4
1 和 7 个苹果后，梨和苹果的个数相等，梨和苹果
原来各有多少个？
12、幼儿园大班人数是小班的
5
3 ，老师给他们发画片，大班每人发 17 张，小班每人发
13 张，结果小班比大班多发 126 张，小班有多少人？
13、甲、乙两人共有人民币 108 元，甲用去了自己钱数的
4
3 ，乙用去了自己钱数的
5
4 ，
两人剩下的钱数相等，乙原来有多少元钱？
14、有两堆煤，第一堆运走了它的
3
2 ，第二堆运走了它的
4
3 ，两堆剩下的合在一起相
当于第二堆的
4
3 。如果两堆原来共有 105 吨，那么两堆煤原来各有多少吨？
15、甲、乙、丙三所学校共有学生 2900 人，如果甲校学生减少
11
1 ，乙校学生增加 14
人，则三校学生数相等，甲、乙、丙三校各有学生多少人？
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16、有两只桶，共装油 44 千克，第一桶里倒出
5
1 ，第二桶里倒入 2.8 千克，则两只桶
内油量相等。原来每只桶各装油多少千克？
17、四个工程队合修一条路。第一队修的是另外三个队总数的
2
1 ，第二队修的是另外
三个队总数的
3
1 ，第三队修的是另外三个队总数的
4
1 ，第四队修了 104 米，这条路长多
少米？
18、小丽看一本书。早上看了一些，已看的页数是剩下的
7
1 ，中午她又看了 8 页，这
时已看的页数是未看的
6
1 ，这本书共有多少页？
19、希望小学六年级三个班捐款，一班捐款是另两个班的
3
2 ，二班捐款是另两班的
5
3 ，
三班比二班少捐 57 元，问三个班共捐多少元?
20、某班学生缺勤的人数是出勤人数的
26
1 ，后又有一名学生请假，于是出勤人数是缺
勤人数的 17 倍。这个班一共有学生多少人？
21、职工食堂三天用完一桶油，第一天用去了 9 千克，第二天用去余下的
11
4 ，第三天
用去的正好是这桶油的一半，这桶油共多少千克？
考题：1、有一堆糖果，其中奶糖占 45%，再放入 16 块水果糖后，奶糖就只占 25%，那
么奶糖有多少块？
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2、有两堆煤，第一堆比第二堆重 60%，那么第二堆比第一堆轻 %
3、某校五年级举行语文和数学竞赛，参加竞赛人数占全年级总人数的 40%，参加语文
竞赛的人数占竞赛人数的
5
2 ，参加数学竞赛的人数占竞赛人数的
6
5 ，两项都参加的有
14 人。那么该校五年级共有学生多少名？
4、三种动物赛跑，已知狐狸的速度是兔子的
3
2 ，兔子的速度是松鼠的 2 倍，1 分钟松
鼠比狐狸少跑 14 米，那么半分钟兔子比狐狸多跑多少米？
5、水果店运进两筐苹果共 65 千克。如果将甲筐苹果的
6
1 装入乙筐，这时，甲、乙两
筐苹果的重量比是 7:6。甲、乙两筐各有苹果多少千克？
6、有甲、乙、丙、丁四桶酒，先把乙中的
2
1 倒入甲，再把丙中的
3
1 倒入乙，再把丁中
的
4
1 倒入丙，这时，四桶中的酒都是 30 升，求每桶原来各装酒多少升？
7、修一段路，第一天修了全长的
5
1 又 100 米，第二天修了余下的
7
2 ，还剩 500 米，这
段公路长多少米？
8、小明和小红共有 50 张邮票，如果小明拿出
3
1 给小红，小红再拿出
2
1 给小明，这时
小明和小红的邮票的比是 7:3，小明、小红原来各有邮票多少张？
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9、某校六年级男生人数是女生的
3
2 ，后来转走了 3 名女生，转进了 2 名男生，这时男
生人数是女生人数的
4
3 。六年级现在男、女生各有多少人？
10、农贸市场上，一个个体菜贩运来西红柿和茄子共 385 千克。西红柿卖掉
3
2 ，茄子
卖掉
5
3 后，剩下的两种菜质量相等。求运来西红柿和茄子各多少千克？
第四讲 行程问题
我们把研究路程、速度、时间这三者之间关系的问题称为行程问题。行程问题主
要包括相遇问题和追及问题。
相遇问题和追及问题常见的数量关系有：
相遇路程 ＝ 速度和 × 时间
追及距离 ＝ 速度差 × 时间
例题 1、东西两镇相距 20 千米，甲、乙两个人分别从两镇同时出发相背而行，甲每小
时行的路程是乙的 2 倍，3 小时后两人相距 56 千米，两人速度各是多少？
试一试 1、甲、乙两城相距 472 千米，两辆汽车分别从两城同时相对开出，一辆汽车每
小时行 58 千米，比另一辆汽车每小时少行 2 千米。两车几小时相遇？
例题 2、王欣和陆亮两人同时从相距 2000 米的两地相向而行，王欣每分钟行 110 米，
陆亮每分钟行 90 米，如果一只狗与王欣同时同向而行，每分钟行 500 米，遇到陆亮后，
立即回头向王欣跑去，遇到王欣再向陆亮跑去，这样不断来回直到王欣和陆亮相遇为
止，狗共行了多少米？
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试一试 2、丽丽放学回家，在离家 280 米时，妹妹和小狗一起向她跑去，丽丽的速度是
每分钟 50 米，妹妹的速度是每分钟 40 米，小狗的速度是每分钟 200 米，小狗遇到丽
丽后用同样的速度不停地往返于两人之间。当两人相距 10 米时，小狗一共跑了多少
米？
例题 3、甲、乙两人在环形跑道上以各自的不变速度跑步，如果两人同时同地相背而行，
乙跑 4 分钟两人第一次相遇，甲跑一周要 6 分钟，乙跑一周要多少分钟？
试一试 3、赵杨和李华在周长 400 米的环形跑道上练长跑，两人从一点朝相反方向跑，
从第一次相遇到第二次相遇经过了 50 秒。已知赵杨每秒跑 5 米，问李华每秒跑多少
米？
例题 4、甲、乙两人骑车同时从东、西两地相向而行，8 小时相遇。如果甲每小时少行
1 千米，乙每小时多行 3 千米，这样经过 7 小时就可以相遇，东、西两地相距是多少千
米？
试一试 4、甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，匀速前进，则 4 小时相
遇。如果两人各自都比原计划每小时少走 1 千米，则 5 小时相遇。那么 A、B 两地相距
多少千米？
例题 5、甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，在距 A 地 60 千米处第一次相遇，各自
到达对方出发地后立即返回，途中又在距 A 地 40 千米处相遇。A、B 两地相距多少千
米？
试一试 5、甲、乙两辆汽车分别从 A、B 两地相对开出。甲每小时行 40 千米，乙每小时
行 45 千米，甲、乙两车第一次相遇后继续前进，甲、乙两车各自到 B、A 两地后，立
即按原路原速返回，两车从开始到第二次相遇共行 6 小时，那么 A、B 两地相距多少千
米？
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例题 6、小王和小李同时从 A、B 两地相向而行，小王每小时行 4 千米，小李每小时行
3 千米，两人在距中点 2 千米处相遇。A、B 两地相距多少千米？
试一试 6、王海和张亮同时从家出发相对而行，两人在距两家中点 80 米处相遇，王海
每分钟行 38 米，张亮每分钟行 42 米。两家之间相距多少米？
例题 7、甲、乙两人分别从相距 24 千米的两地同时同向而行，甲骑自行车每小时行 13
千米，乙步行每小时走 5 千米，几小时后甲可以追上乙？
试一试 7、小王步行每分钟行 60 米，12 分钟后，小李骑车去追他。如果要在 5 分钟内
追上小王，小李每分钟应行多少米？
例题 8、甲、乙二人同时从 A 地去 B 地。甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 90 米，乙到达
B 地后立即返回，在离 B 地 180 米处与甲相遇，A、B 两地间的的距离长多少米？
试一试 8、兄妹二人同时从家去学校。哥哥每分钟走 80 米，妹妹每分钟走 65 米，哥哥
到学校后发现忘带课本，立即沿原路返回，在距学校 90 米处和妹妹相遇。他的家离学
校多少米？
例题 9、甲、乙、丙三人行的速度分别是每分钟 30 米、40 米、50 米，甲、乙在 A 地，
丙在 B 地同时相向而行，丙遇到乙后 10 分钟和甲相遇。求 A、B 两地间的路长多少
米？
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试一试 9、甲、乙、丙三人行走的速度分别为每分钟 30 米、40 米和 50 米。甲、乙在 A
地，丙在 B 地同时相向而行，丙遇到乙后 15 分钟和甲相遇，求 A、B 两地相距多少
米？
综合练习：
1、甲、乙两车分别从相距 480 千米的 A、B 两城同时出发，相向而行，已知甲车从 A
城到 B 城需要 6 小时，乙车从 B 城到 A 城需 12 小时，两车出发后多少小时相遇？
2、A、B 两地相距 400 千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行 38 千米，
乙车每小时行 42 千米，一只燕子以每小时 50 千米的速度和甲车同时出发，向乙车飞
去，遇到乙车又折回向甲车飞去。这样一直飞下去，燕子飞了多少千米，两车才相
遇？
3、小冬和小刚两人在环形跑道上以各自不同的不变速度跑步，如果两人同时从同地相
背而行，小刚跑 6 分钟后两人第一次相遇，小冬跑一周要 8 分钟，小刚跑一周要几分
钟？
4、甲、乙两车同时从 A、B 两地相对开出，6 小时后相遇。甲车从 A 地到 B 地要 9 小时，
乙车从 A 地到 B 地要几小时？
5、小明骑摩托车，小军骑自行车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，5 小时相遇。
小军从甲地到乙地要 15 小时，小明从乙地到甲地要几小时？
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6、甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行，甲每小时行 20 千米，乙每小时 18 千米。
两人相遇时距全程中点 3 千米，求全程长多少千米？
7、解放军某部从营地出发，以每小时 6 千米的速度向目的地前进，8 小时后部队有急
事，派通讯员骑摩托车以每小时 54 千米的速度前去联络，多长时间后，通讯员能赶上
队伍？
8、小华和小亮的家相距 380 米，两人同时从家中出发，在同一条笔直的路上行走，小
华每分钟走 65 米，小亮每分钟走 55 米，三分钟后两人可能相距多少米？
9、甲、乙二人同时从 A 地去 B 地，甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 90 米，乙到达 B 地
后立即返回，在离 B 地 180 米处与甲相遇。A、B 两地相距多少米？
10、甲、乙、丙三人，甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 67 米，丙每分钟走 73 米，甲、
乙从南镇，丙从北镇同时相向而行，丙遇乙后 10 分钟遇到甲，求两镇相距多少米？
考查练习：
1、A、B 两地相距 900 米，甲、乙两人同时从 A 去 B，甲每分钟行 70 米，乙每分钟行
50 米，当甲到达 B 地后立即返回与乙在途中相遇。两人从出发到相遇共经过多少分
钟？
2、甲、乙两车分别从相距 285 千米的两地同时出发，相向而行 3 小时相遇。已知，甲
车比乙车每小时多行 5 千米，求甲、乙两车的速度？
3、一条环形跑道长 400 米，小强每分钟跑 300 米，小星每分钟跑 250 米，两人同时同
地同向出发，经过多长时间小强第一次追上小星？
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4、甲、乙两人绕周长为 1000 米的环形广场竞走，已知甲每分钟走 125 米，乙的速度
是甲的 2 倍，现在甲在乙后面 250 米，乙追上甲需要多少分钟？
5、甲、乙两人同时从正方形花坛（如图）的 A 点出发，沿着花坛的边上走，甲顺时针
每分钟行 40 米，乙逆时针每分钟行 45 米，两人在距 C 点 5 米处相遇，问这个花坛的
周长是多少米？
6、龟兔赛跑，全程 2000 米。龟每分钟爬 25 米，兔每分钟跑 300 米，兔自以为速度快，
在途中睡了一觉，结果龟到终点时兔离终点还有 200 米。兔在途中睡了几分钟？
7、甲、乙两人同时从 A、B 两地相向而行，相遇时距 A 地 128 米，相遇后继续前进，
到达目的地后立即返回，在距 A 地 150 米处再次相遇。A、B 两地相距多少米？
8、A、B 两车同时从甲、乙两站相对开出，两车第一次在距甲站 50 千米处相遇。相遇
后继续前进，各自到达乙、甲两站后立即返回，第二次距乙站 30 千米处相遇。甲、乙
两站相距多少千米？
9、甲骑自行车每小时行 15 千米，乙步行每小时行 5 千米，如果两人同时同地同一方
向出发，甲行 20 千米到达某地，马上从原路返回，在途中与乙相遇，从出发到相遇，
共经过几小时？
10、甲、乙两车同时从 A、B 两地出发，相向而行，4 小时相遇，相遇后甲车继续行驶
3 小时到达 B 地，乙车每小时行 45 千米，A、B 两地相距多少千米？
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第五讲 百分数应用题
本讲百分数应用题主要学习盈利问题
小明的爸爸和小亮的爸爸最近心情都不错，因为快到夏天，他们的生意越来越好
做了。小明的爸爸是销售空调的，现在咨询的人是络绎不绝。小亮的爸爸经营超市，
矿泉水的销量不错。小明问小亮：“矿泉水怎么卖呢？”小亮说：“我爸爸销售的矿
泉水，进价 1 元，卖 1.2 元。”小明神气地说：“那可比我爸爸差远了，我爸爸空调
进价 3000 元，卖 3500，每台就赚 500 元呢！”你认为应该如何比较谁赚的更多呢？
小亮爸爸每瓶矿泉水赚 0.2 元和小明爸爸每台空调赚 500 元，叫利润。但他们投
入的本钱不同，如果按投入的本钱相同计算，小亮爸爸投入 3000 元，可售 3000÷1×
1.2=3600 元，获利 3600－3000=600 元，比小明爸爸赚的多。因此，从事商业活动，除
了要看所赚的钱数，即利润大小，还要看利润占所投资比例的大小，我们将后者称为
利润率，一般用百分数表示。
下面我们来学习一些常用概念：
商品进价：购进这种商品的价格，也叫成本价，买入价等。
商品标价：出售商品时标出的价格，也叫定价。
商品售价：出售商品时的实际价格，也叫卖出价或卖价。
折扣= 100标价
售价 %
打折后的商品，售价=标价×折扣
在学习利润问题时，题目中经常会出现求利润率及求成本的问题，因此以下两个
公式非常重要：
利润率= 100成本
成本—售价 %
成本=售价÷（1＋利润率）
为了方便记忆以上两个公式，一是要联系生活中的实际例子来记，二是通过找准
单位“1”来记。你知道以上两个公式中的单位“1”分别是谁吗？
[关键词]：利润率 成本 假设法
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例 1、服装店计划采购一批服装销售，按 20%的利润定价销售，每件正好 60 元。采购
时，这种服装进价降低了 20%，如果商店仍按 20%的利润定零销售价，每件应是多少
元？
例 2、某商品按定价打八折出售，仍能获得 20%的利润，定价时期望的利润率是多少？
例 3、某电子产品去年按定价的 80%出售，能获 20%的利润。由于今年成本降低，按同样
价格的 75%出售，能获得 25%的利润。问今年成本比去年成本下降百分之几？
例 4、一件衣服进货价 80 元，按标价打六折出售仍获 52 元利润，则这件衣服打八折后
可获利多少元？
例 5、有一种练习本，按 40%的利润定价出售，当销售了 80%时，对剩下的练习本降价
出售，结果获利润是预定的 86%，问剩下的练习本是按定价降了百分之几出售的？
例 6、某种商品按定价卖出可得利润 960 元，如果按定价的 80%出售，要亏损 832 元，
该商品购入价是多少元？
例 7、某商品按定价出售，每个可以获得 45 元钱的利润。现在按定价打 8.5 折出售 8
个，所获得的利润与按定价每个减价 35 元出售 12 个所获得利润一样。问这一商品每
个定价是多少元？
例 8、张先生向商店订购了每件定价 100 元的某种商品 80 件。张先生对商店经理说：
“如果你肯减价，那么每减价 1 元，我就多订购 4 件。”商店经理算了一下，若减价
5%，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多 100 元。问：这种商品的成本多
少元？
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例 9、某商场按如下规定对顾客实行优惠：
①若一次购物不超过 200 元，则不予优惠；
②若一次购物超过 200 元，但不超过 500 元，按标价给予九折优惠；
③若一次购物超过 500 元，其中 500 元按第 2 条规定给予优惠，超过 500 元部分给予
八折优惠。某人两次去购物，分别付款 168 元与 423 元，如果他把这两次购买的商品
一次购买，则应付多少元？
综练：1、商店以每双 13 元购进一批凉鞋，售价为 14.8 元，卖到还剩 5 双时，除去购
进这批凉鞋的全部开销外，还获利 88 元，问这批凉鞋共多少双？
2、一种服装每套标价 600 元，现降价出售。第一次打八折出售，每件仍能获利 20%。
售出 100 套后，对剩下的 8 套服装再打八五折出售，当全部售完后，商店共可获利多
少元？
3、同一种商品，甲店比乙店的进货价便宜 10%。甲店按 20%的利润定价，乙店按 15%的
利润定价，甲店的定价比乙店便宜 11.2 元，乙店的进价是多少元？
4、一件衣服打 6 折后的价格是 72 元，那么这件衣服打 8 折后的价格是多少元？
5、一商店把某商品按标价的九折出售，仍可获利 20%。若该商品进价为 1980 元，问该
商品的标价是多少元？
6、某商场在国庆期间商品展销，将一批电器商品降价出售。如果减去定价的 10%出售，
可获盈利 320 元，如果减去定价的 25%出售，就会亏损 250 元，那么这批商品的成本是
多少元？
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7、某商店进了一批笔记本，按 30%的利润定价，当出售这批笔记本的 80%后，为了尽
早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售，问销售完后，商店实际获得利润的百
分数是多少？
考题：1、甲、乙两种商品成本共 200 元，甲商品按 30%的利润定价，乙商品按 20%的
利润定价。后来两种商品都按定价的 90%出售，结果获利润 27.7 元，甲、乙两种商品
的成本各是多少元？
2、一个商店把货物按标价的九折出售，仍可获利 20%，若该物品的进价为 21 元，则每
件的标价应为多少元？
3、某商店将进价为 600 元的商品按标价的 8 折销售，仍可获 120 元的利润，问：商品
的标价为多少元？
4、某药店经营的抗病毒药品，在市场紧缺的情况下提价 150%后再打八折销售，物价部
门查处后，限定其提价幅度只能是原价的 20%，则该药店现在需降价百分之几？
5、一种火腿肠，人人乐超市比某小商店的进货价便宜 10%，人人乐超市按 20%的利润
定价，这个小商店按 15%的利润定价。结果人人乐超市的定价比这个小超市的定价便宜
0.28 元。问小商店的进价是多少元？
6、小华和小明星期天去书店买书，小华说：“听说这里花 20 元办一张会员卡，买书
可以享受八折优惠”，小明说：“是的，我上次买了几本书，加上办卡的费用还省了
12 元呢”，那么小明上次所买书籍的原价是多少元？
7、一批服装在进价基础上加价 80%后标价，尽管商家打折销售，但还是销售不畅。于
是商家进行促销，实行一口特价，即：直接加价 20%出售，结果销售量也增加 20%，并
保持销售总额不变，问商家原来销售时打的折为几折？
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第六讲 比例应用题
小亮看到小明手中最新款的“MP4”，非常羡慕。小明说这是妈妈用这个月的奖金
给他买的生日礼物。我们来看这样一组数据：由于小明妈妈发奖金，小明家的本月收
入比小亮家多，小明家与小亮家收入钱数之比是 8:5。小明妈妈给小明买了礼物后，小
明家和小亮家开支钱数比是 8:3，结果小明家只结余了 720 元，而小亮家却结余了 810
元钱。已知小明妈妈给小明买礼物花了全家本月总收入的
3
1 ，那么一个“MP4”多少
元？
这道生活中的数学题，巧妙地融入了比和比例的知识，根据所设未知数不同，可
以得到多种解法。
1、根据“总收入－结余=支出”的关系来解题
①设小明家收入为 x 元，得出小亮家收入，减去各自结余，得到支出比，列比例
等式解。
②还可设小明家收入为 8x 元，则小亮家收入为 5x 元，然后列等式。这种方法列
等式计算比较方便，但一定要注意，所得的 x 值并非最终结果，还要代入开始设的收
入中进一步推出结果。
2、根据“支出＋结余=总收入”，还可用两种办法设，然后根据题目要求求解。
这道题讲解了用方程法来解比例应用题的办法，在本讲中还有以下几个学习重点：
第一、掌握比例应用题转化为分数应用题。六年级数学及思维提升学习始终是围
绕“分数应用题”来学习的，很多比例应用题要用到分数应用题的概念或实际就是分
数应用题，所以学会熟练地将比例应用题转化为分数应用题是很多题解题的关键。
第二、掌握将两个单比化为连比的办法。例如：甲﹕乙=5:6，乙﹕丙=5:7，求甲:
乙:丙= 。
第三、学会正确判断正反比以及应用正反比解题。
比例应用题中还有一些其他题型，如：按比例分配，解比例，用假设法解题等，
这些内容也将在今后的学习中不断练习。
[关键词]：比例化分数 连比 用比例解应用题 假设法
例 1、小亮读一本故事书，第一天读了全书的
5
1 ，第二天比第一天多读 6 页，这时已读
的页数和剩下的页数比是 9:11，小亮再读多少页就可以读完全书？
例 2、第一小学六年级分三组参加植树活动。第一组和第二组的人数之比是 5:4，第二
组和第三组的人数比是 3:2。已知第一组人数比二、三组人数总和少 15 人，问六年级
参加植树的共有多少人？
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例 3、三人合买一台电视机，甲所付钱数的
2
1 ，恰好是乙所付钱数的
3
1 ，也恰好是丙所
付钱数的
7
3 。已知丙比甲多付了 120 元。那么，这台电视机多少元?
例 4、某校新生入学考试，参加考试的男、女生人数比是 4:3。结果录取 91 人，其中
男、女生人数比是 8:5。未被录取的学生中，男生与女生人数比是 3:4，问参加入学考
试的学生共有多少人？
例 5、甲、乙、丙三位同学同时参加 400 米赛跑，自始至终保持匀速，结果甲得第一，
当甲到达终点时，乙距终点还有 30 米，丙距终点还有 50 米，那么当乙到达终点时，
丙离终点还有多少米？
综练：1、甲、乙、丙三数的和是 2450，甲数的
5
1 是乙数的
3
1 ，是丙数的
2
1 ，问甲、乙、
丙三数各是多少？
2、刘杰与王平 8 月份收入的钱数之比是 8:5，8 月份支出的钱数之比是 8:3，月底刘杰
结余 800 元，王平结余 980 元。8 月份两人各收入多少元？
3、亮亮、星星、明明三人去书店买书，他们共有 54 元。亮亮用了自己钱数的
5
3 ，星
星用了自己钱数的 75%，明明用了自己的钱数的
3
2 ，各买了一本《趣味数学》。那么亮
亮和明明两人剩下的钱数共有多少元？
4、一条路全长为 30 公里，分为上坡、平路和下坡三段，各段路程长的比是 1:2:3，某
人走各段路程所用的时间之比是 4:5:6，已知他上坡的速度是每小时 3 公里，问此人走
完全程共用多少小时？
5、一间会议厅有
3
2 的座位上坐了人，如果再坐进 60 人，则已坐座位和未坐座位的比
是 4:1，这间会议厅有多少个座位？
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6、小明读一本书，已读和未读的页数比是 1:5。如果再读 30 页，则已读和未读的页数
之比为 3:5。这本书共有多少页？
考题：1、一个车间有两个小组，一组与二组人数比是 5:3，如果从一组调 14 人到二
组，一、二组人数比变为 1:2，求原来两组各多少人？
2、一条绳子，第一次剪下全长的
9
5 ，第二次剪下的长度与第一次剪下长度的比是 9:20，
结果还剩 7 米，求这条绳子的长是多少米？
3、学校阅览室有 48 名同学在看书，其中女生人数和男生人数的比是 5:7。后来又进来
了几名女生，这时女生和男生的人数比是 11:14。问又进来了几名女生？
4、一批零件，原计划按 8:5 分给甲、乙两人加工，在完成任务中，甲实际加工 21600 个，
超过分配任务的 25%，乙只完成分配任务的 60%，问乙实际加工零件多少个？
5、甲、乙两个长方形的周长相等，甲长方形的长与宽的比是 3:2，乙长方形的长与宽
的比是 7:5，那么甲、乙两个长方形的面积之比是多少？
6、一批零件，甲独做比乙独做所需的时间多
4
1 ，如果两人合做，则完成任务时乙比甲
多做 40 个零件，这批零件有多少个？
第七讲浓度问题
我们在冲糖水喝时，一般采用“尝”的办法来确定甜度，太甜了，加点儿水，不
甜，就再加一些糖。可是在越来越标准化的今天，要求我们要采用更加科学的方法来
度量甜度（即“浓度”），今天我们引进“浓度”的概念。
浓度= 100总溶液
溶质 %
（如糖水中溶质就是“糖”，“水”是溶剂，总溶液是“糖+水”）
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解浓度问题，有一个普遍而又实用的办法，即“抓溶质，列等式”。两种溶液混合形成新的溶液，新溶液中的溶
质只能有一种来源，即来自原来两种溶液中，所以虽然我们对有些题还会找到更简洁的方法，但用列方程的方式，
抓住溶液混合前后的溶质相等来列等式解题却是一个最基本，最需要掌握的方法。
在我们已经能熟练掌握“抓溶质，列等式”后，我们学习抓“不变量”，利用溶
质（如盐，糖，纯酒精，苹果干等）不变，或溶剂（如水）不变来更快捷地解题。解
题原理是利用分数应用题中“分量÷对应分率=单位‘1’的量”的办法来解。抓“不
变量”是解浓度问题的常用方法之一，更是对分数应用题学习的深化。
[关键词]：抓溶质，列等式 抓“不变量”
例 1、浓度是 20%的盐水 50 千克，再加入 30 千克水后，浓度为多少？
例 2、浓度为 25%的盐水 60 克，要稀释为浓度 10%的盐水，应加水多少克？
例 3、有浓度 25%的酒精溶液 10 千克与浓度 50%的酒精溶液 5 千克混合，问混合后溶液
的浓度是多少？
例 4、有含盐 8%的盐水 40 千克，要配制成含盐 20%的盐水需加含盐 40%的盐水多少千
克？
例 5、有含盐 8%和含盐 5%的两种盐水，要配成含盐 6%的盐水 300 克，问这两种盐水各
要多少克？
综练：1、在浓度为 35%的 10 千克的盐水中加入 4 千克水，这时的盐水浓度是多少？
2、100 克浓度为 25%的食盐水，若想达到 40%的浓度，需蒸发掉多少克水？
3、现有浓度为 20%的糖水 20 千克，要得到浓度为 10%的糖水，需加水多少千克？
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4、有含盐 20%的盐水若干千克，加清水 30 千克，含盐量变为 5%，问原有盐水多少千
克？
5、现有浓度为 10%的盐水 20 千克，再加入多少千克浓度为 30%的盐水，可以得到浓度
为 22%的盐水？
6、有含碘 15%和含碘 40%的两种碘酒，现要混合成含碘 23%的碘酒 30 克，需两种碘酒
各多少克？
7、有含盐 15%的盐水 20 千克，要使盐水的浓度变为 20%，需加盐多少千克？
第七讲 圆柱与圆锥
按照数学学习规律，在学完图形的“面”后，自然要学习“体”的概念。
圆柱的体积公式与长方体体积公式一致，也是底面积乘高。圆柱的表面积包括圆
柱的两个底面积和圆柱的侧面积。底面积即圆的面积，侧面展开是一个长方形，它的
面积是底面周长乘高。
圆锥只掌握体积公式。圆锥体的体积是与它等底等高的圆柱体体积的
3
1 。
V 圆柱＝sh＝ r2h
V 圆锥＝
3
1 sh＝
3
1 r2h
S 圆柱表＝2S 底＋S 圆柱侧＝2 r2＋2 rh
[关键词]： 圆柱、圆锥体积公式 圆柱表面积公式
例 1、一个圆柱和一个圆锥底面周长的比是 3:4，它们体积的比是 9:7，圆锥与圆柱高
的最简单的整数比是
例 2、在一个底面半径是 30 厘米的圆柱形储水桶里，浸没着一个高为 24 厘米的圆锥形
实物，当把这个实物从储水桶中取出时，桶里的水面下降了 2 厘米，这个圆锥形实物
的底面半径是多少？
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例 3、一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，它的表面积增加 6.28 平方厘米；如
果沿着直径劈成两个半圆柱体，它的表面积将增加 80 平方厘米，求原圆柱体的表面积。
例 4、把图中阴影部分做一个圆柱体（单位：厘米），这个圆柱体的容积是多少毫升？
例 5、如图，一个物体由三个圆柱组成，它们的底面圆半径分别为 1.5 分米，3 分米，
5 分米，而高都是 2 分米，则这个物体的表面积是多少平方分米？
综练：1、一块直角三角板，两条直角边的长度分别是 4 cm 和 3 cm，分别绕两条直角
边旋转一圈，都可以得到一个圆锥体，这两个圆锥体的体积比是几比几？
2、一个圆锥与一个圆柱的体积之比是 1:2，底面积之比是 3:4，圆柱的高是 9 厘米，
求圆锥的高是多少厘米？
3、一个圆柱体的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱底面直径与高的比是多少？
4、一个圆锥的高 12 厘米，体积是 40 立方厘米，比与它同底的圆柱体积少 20 立方厘
米，这个圆柱的高是多少厘米？
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5、有两个边长为 8 厘米的正方体盒子。A 盒中放入直径为 8 厘米、高为 8 厘米的圆柱
体铁块一个，B 盒中放入直径为 4 厘米、高为 8 厘米的圆柱体铁块四个。现在 A 盒注
满水，把 A 盒的水倒入 B 盒，使 B 盒也注满水。问 A 盒余下的水是多少平方厘米？
6、打谷场上有一堆圆锥形的稻谷，底面周长 18.84 米，高 1.5 米，把这堆稻谷装入一
个内直径 6 米的圆柱形粮囤内，稻谷堆的高度是几米？
第八讲 最佳方案
小红的妈妈出差去了，双休日赶不回来。而这天一早，爸爸又到单位加班。小红
想：今天我可要好好“表现表现”给出差的妈妈和加班的爸爸一份惊喜。
她计划用 20 分钟擦玻璃，用 15 分钟整理书房、用 30 分钟淘米、洗菜，45 分钟的
时间用全自动洗衣机洗衣服（包括先搓领口和放水的时间），用 10 分钟晾衣服、用 8
分钟烧水，把这六件家务活加起来一共要用 128 分钟的时间。可聪明的小红只用了 75
分钟就干完了所有的活。你知道小红是怎样安排这六件家务事的呢？
完成同样一件事，有时会有几种方案，如果能够找到一种方案，使所用的时间最
少，或所耗的费用最少，或所需的人数最少等等，这种方案就是最佳方案。
统筹规划是专门研究“最优化”问题的；列举比较也能够比较出一些方案的优劣；
还可以运用渐进法，逐渐接近最优；另外，我们还可以想“极端”，从而得出最佳方
案。
[关键词]：统筹规划 极端法 列举比较 渐进法
例 1、在一条公路上，每隔 100 千米有一座仓库（如图），共有五座，图中数字表示各
仓库库存货物的重量。现在要把所有的货物集中存入一个仓库里，如果每吨货物运输 1
千米需要运费 0.5 元，那么集中到哪个仓库运费最少？需多少钱？
10 吨 30 吨 20 吨 10 吨 60 吨
A B C D E
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例 2、有一个水塔要供应某条公路旁的 6 个居民点用水（如图，单位：千米），要安装
的水管有粗细两种，粗管足够供应 6 个居民点用水，细管只能供应 1 个居民点用水，
粗管每千米花费 7000 元，细管每千米花费 2000 元。粗细管怎样互相搭配，才能使费
用最省？费用应是多少？
例 3、某厂车队有 3 辆汽车给 A、B、C、D、E 五个车间组织循环运输，如图标出的数是
各车间所需装卸工人数，为了节省人力，让一部分装卸工跟车走，最少安排几名装卸
工就能保证各车间需要？
例 4、某种健身球由一个黑球和一个白球组成一套。已知两个车间都生产这种健身球，
甲车间每月用
5
3 的时间生产黑球，
5
2 的时间生产白球，每月生产 270 套；乙车间每月
用
3
2 的时间生产黑球，
3
1 的时间生产白球，每月生产 300 套。现在两个车间联合起来
生产，每月最多能生产多少套健身球？
综练：1、学校要买 60 个足球，王老师去了三个店，他们都有不同的促销方式：甲店
的政策是：买 10 个免费送 2 个，不满 10 个不赠送；乙店的政策是：打八折销售；丙
店的政策是：购物满 200 元，返还现金 30 元。
三个店的足球单价都是 25 元，你认为王老师到哪个店买合算？为什么？
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2、小刚骑在牛背上，赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁四头牛，过河依次需 1、2、5、6
分钟。如果每次只能赶两头牛过河（包括小刚骑的牛），要把四头牛都赶到对岸去，
最少需要多少分钟？
3、甲、乙两厂生产同一规格的上衣和裤子，甲厂每月用
15
8 时间生产上衣，
15
7 时间生
产裤子，共生产 448 套衣服（每套上衣、裤子各一件）；乙厂每月用
5
2 时间生产上衣，
5
3 时间生产裤子，共生产 720 套衣服。两厂合并后，每月最多可以生产多少套衣服？
4、某电视机厂要印制产品宣传资料，甲印刷厂提出：每份材料收 1 元印制费，另收
1500 元制版费；乙厂提出：每份材料收 2.5 元印制费，不收制版费。
（1） 印制 800 份宣传材料，选哪家印刷厂比较合算？
（2） 电视机厂拟拿出 3000 元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂比较合算？
（3） 印制多少份时，两家收费相同?
根据以上计算，你认为什么条件下选择甲厂？什么条件下选择乙厂？
5、某工厂生产某种产品很畅销，但在生产过程中，平均每生产一件产品有 0.5 立方米
污水排出，为了净化环境，工厂设计两种方案对污水进行处理，并准备实施。
方案一：工厂污水先净化处理后再排出，每处理 1 立方米污水所用原料费为 2 元，并
且每月排污设备损耗费为 30000 元；（1 立方米的水重 1 吨）
方案二：工厂将污水排到污水厂统一处理，每处理 1 立方米污水需 14 元的排污费。
⑴ 如果每个月该厂生产过程中共产生污水 3000 吨，那么应采用哪种污水处理方案合
算？
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⑵ 如果每个月该厂生产产品 3000 件，那么应采用哪种污水处理方案合算？
第十讲 综合应用题
应用题有简单应用题和复合应用题两类，复合应用题又分一般应用题和典型应用题。
一般应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在一起，有的已知条件是间接的，
数量关系比较复杂，叙述的方式和顺序也比较多样。因此，一般应用题没有明显的结
构特征和解题规律可循。解答时可以按下面步骤进行：
1、弄清题意，找出已知条件和所求问题；
2、分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径；
3、拟订解答计划，列出算式，算出得数；
4、检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。
分析一般应用题的思路多种多样，概括起来分为：一般解题思路和特殊解题思路。
一般解题思路有两种：
（1）综合法：从条件出发，逐渐推出所求问题。
（2）分析法：从问题出发，找出必须的两个条件。
特殊的解题思路有以下几种：
（1）图解法：利用各种图形来分析解答应用题的方法。
（2）代替法：根据题里所给条件，用一个未知数量代替另一个未知数量，从而找出解
题途径。
（3）逆推法：从最后结果出发，根据题目中的已知条件一步一步逆向推理，逐步靠拢
已知条件，从而解决问题。
此外，类比法、假设法、划归法等等也是特殊的解题思路。
例 1、六个同学有同样多的存款，若每人拿出 15 元捐给“希望工程”后，六位同学剩
下的钱正好等于原来 4 人的存款数，原来每人存款多少元？
试一试 1、五年级有 5 班，每班人数都相等。从每班选 20 人参加集体舞排练，剩下的
同学相当于原来 3 个班的人数，原来每个班多少人？
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例 2、张新，纪伟和林凡三人外出活动，张新带了 5 个面包，纪伟带了 4 个同样的面包，
林凡没带面包，中午三人将面包平均分吃了，林凡按市价拿出 5.4 元。张新、纪伟各
得多少元？
试一试 2、六一儿童节同学们做彩花，小明买来 8 张彩纸，小红买来 10 张同样的彩纸。
老师把这些纸平均分给小明、小军和小红三位同学，结果小军付给老师 12 元。问老师
应把 12 元怎样分给小明和小红？
例 3、王师傅原计划每天做 50 个零件，实际每天比计划多做 20 个，结果提前 6 天完成
任务。王师傅一共做了多少个零件？
试一试 3、机床厂生产一批机床，原计划每天生产 15 台，实际每天比原计划多生产 5
台，这样比原计划提前 4 天完成任务。这批机床一共有多少台？
例 4、把一根竹竿插入水底，竹竿湿了 50 厘米，然后将竹竿倒转过来插入水底，这时，
竹竿湿的部分比它的一半长 20 厘米，求竹竿的长。
试一试 4、有一根铁丝，两头各截去 15 厘米，截去的部分比原来铁丝的长的一半短 10
厘米，这根铁丝原来长多少厘米？
例 5、小李和小张二人加工零件。小李比小张每天多加工 10 个零件，小张中途休息了
15 天。40 天后，小张所加工的零件个数正好是小李的一半。这时两人各加工了多少个
零件？
试一试 5、甲、乙二人加工一批帽子，乙每天比甲多加工 8 个，中途甲因事休息了 5 天，
20 天后，甲加工的帽子正好是乙的一半，这时两人各加工了多少个帽子？
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例 6、师、徒二人生产同一种零件，徒弟比师父早 2 小时开工，当师傅生产了 2 小时后，
发现自己比徒弟少做了 50 个零件，二人又生产了 3 小时，师傅反而比徒弟多生产了 10
个。师、徒二人每小时各做多少个零件？
试一试 6、张明和李凡同时从 A 地去 B 地，前 3 小时内，张明因修车用去 1 小时，所以，
李凡领先于张明 5 千米。又经过 3 小时，张明反而领先了李凡 22 千米，求二人的速度。
综合训练
1、把一堆砖平均分给 6 个小组运，当每组都运了 120 块时，正好剩下了这堆砖的一半，
这堆砖有多少块？
2、外出游泳时玲玲和明明拿出同样多的钱共买了 6 个汉堡包，中午发现红红没带食品，
结果三人平分了这些汉堡包，而红红分别付给玲玲和明明 3 元，求每个汉堡包多少
元？
3、食堂准备了一批煤，原计划每天烧 0.6 吨，实际每天比原计划节约了 0.1 吨，这样
比原计划多烧了 2 天，这批煤共有多少吨？
4、两堆煤，第一堆 21 吨，第二堆 15 吨，5 天内两堆煤烧掉同样多吨数，这样第一堆
剩下的煤正好是第二堆所剩下煤的 4 倍。问 5 天中两堆煤各被烧掉了多少吨？
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5、师、徒二人承包一项工程，共得 1200 元，已知师傅工作了 12 天，徒弟工作了 10
天，且师傅 4 天的工资和徒弟 5 天的工资同样多。求二人各分得多少元？
6、纪亮和李云同时打印一份稿件，前 2 小时内，纪亮因事外出了 0.5 小时，因此，李
云比纪亮多打 2000 个字。又同时打印了 2 小时，纪亮与李云打印的总字数同样多。纪
亮每小时打印多少个字？
7、甲、乙两个粮店共存面粉 92 吨，从甲店调出 28 吨后，乙店存的面粉比甲店的 4 倍
少 4 吨，两个粮店原来各存面粉多少吨？
8、甲地有 89 吨货物要运到乙地，大卡车的载重量是 7 吨，小卡车的载重量是 4 吨，
大卡车运一趟耗油 14 升，小卡车运一趟耗油 9 升，运完这些货物最少耗油多少升？
考查训练
1、老师将一批手工制作材料平均分给四个小组制作，当每组制作 6 件时，发现剩下的
材料数正好是原来每组分得的件数。原来每组分到几件制作材料？
2、张师傅在水果市场买来 7 千克苹果，王师傅也买来同样单价的苹果 5 千克，在车间
他们将所有苹果与李师傅平分，因此李师傅拿出 6 元付给他们，请问张师傅和王师傅
各应得多少元？
3、汽车从甲地开往乙地，计划每小时行 50 千米，实际每小时比计划多行 15 千米，结
果提前 3 小时到达。甲、乙两地的距离是多少千米？
4、有一根铁丝，截去一半多 10 厘米，剩下部分正好做一个边长 8 厘米的正方形框架。
这根铁丝原来长多少厘米？
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5、快车和慢车同时从 A、B 两地相对开出，快车比慢车每小时多行 25 千米。途中慢车
因修车用了 2 小时，6 小时后快车到达两地中点，而慢车才行了快车所行路程的一半。
问：A、B 两地相距多少千米？
6、王新、陈冬二人加工一批零件。王新先花去 2.5 小时改装机器，因此前 4 小时王新
比陈冬少做 400 个零件，又同时加工 4 小时后，王新总共加工的零件反而比陈冬多
4400 个。问王新、陈冬每小时各加工多少个零件？
7、小兵和小强各要加工 600 个零件。他们同时开始加工，但小兵比小强早做完 4 小时，
这时小强已做了 400 个零件，求小兵完成任务共需要几小时？
8、甲城有 177 吨货物需要一次运到乙城。大卡车的载重量是 5 吨，小卡车的载重量是
2 吨，大、小卡车跑一趟的耗油量分别是 10 升和 5 升。问用多少辆大卡车和小卡车来
运输时耗油量最少？
9、甲、乙两人以相同的速度加工一种零件，乙问甲现在加工了多少个，甲说：“当我
完成你现在的个数时，你只加工 58 个，当你完成我现在的个数时，我已加工了 154
个。”那么，乙现在加工了多少个零件？
10、自来水公司为鼓励居民节约用水，规定如下水费计算方法：每月用水超过 10 吨，
按每吨 3.2 元收费；超过 10 吨的部分按每吨 5 元收费。小红家上月平均每吨水费 4 元，
她家上月用了多少吨水？
第十一讲：工程应用题初步
我们这一讲要学习的内容叫工程应用题。先来看下面的这个例子。假设一条地铁
线有 15 千米长，工程队每个月可以修 3 千米，同学们肯定马上就能看出，共需要 5 个
月的时间修好整条地铁。
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在这个例子中，总长度 15 千米叫做工作总量，五个月即为工作时间，而工程队每
月修 3 千米就叫做工作效率。
工程问题有如下公式：
工作效率×工作时间＝工作总量
工作总量÷工作时间＝工作效率
工作总量÷工作效率＝工作时间
这是工程问题最为基本的关系式，同学们必须熟练掌握！
工程问题有它自己独特之处。在工程问题中，经常无法从题目中找到工作总量，
此时将工程问题量化，换句话说就是从分率的角度研究工作总量、工作时间、工作效
率三者之间的关系，即可以把工作总量设为单位“1”。例如，一个工程队 5 天修完一
段公路，我们就可以把修这段公路的工作总量设为单位“1”，那么工程队每天就能修
完公路的
5
1 ，每天完成的工作量就是“
5
1 ”，而“
5
1 ” 就是这个工程队的工作效率。
当多人合作的时候，单位时间内完成的工作总量就是这些人工作量的总和，那么
多人合作时的“总工效”就是他们的“工效和”。
【练一练】
1、张师傅要完成 120 个零件，他预计 6 个小时完成，若以这批零件的总量为单位
“1”，那么张师傅的工作效率是
，如果张师傅依此效率工作了 3 个小时，那么
他做完了的零件个数为 个，完成了全部工作的
。
2、明明要用 10 个小时完成写大字的作业，那么明明 3 个小时能完成作业的
，
如果这时他写好了 30 个大字，那么他总共要写 个大字。
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3、吃饭的时候，妈妈给乐乐盛了一碗米饭，乐乐发现自己用了 5 分钟就吃掉了半碗，
如果一碗米饭为单位“1”，那么乐乐吃米饭的效率是
。按照这个效率，乐乐
分钟能吃掉
5
4 碗的米饭。
4、阿呆和阿瓜两个人打扫屋子，阿呆自己打扫 50 分钟能完成打扫，阿瓜 75 分钟能完
成打扫，那么阿呆每分钟能完成全部工作的
，阿瓜每分钟能完成全部工作的
，如果两个人同时工作的话，那么每分钟能完成全部工作的
。
例 1、修筑一段公路，由甲队单独修筑要 20 天才能完成，由乙队单独修筑要 30 天才能
完成。问两队合修要多少天才能完成？
【试一试 1】春天的时候，学校组织同学们去果园给果树浇水。甲班的学生单独去做需
要 12 天完成，乙班的学生单独去做需要 18 天完成。那么两班共同做需要多少天能完
成？
例 2、一项工程，师徒两人合做 12 天完成，徒弟单独做要 30 天才能完成。问：若师傅
单独去做需要多少天可以完成？
【试一试 2】一件工作，哥哥做 4 天完成了工作的一半，剩下的工作由哥哥和弟弟一起
用了 3 天完成。问：如果这件工作由弟弟一个人做，需要几天才能完成？
例 3、一项工作，甲、乙两人合做 8 天完成，乙、丙两人合做 9 天完成，甲、丙两人合
做 18 天完成。那么，丙一个人来做，需要多少天完成这项工作？
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【试一试 3】一项工程，甲、乙两人合做需 6 天完成，乙、丙两人合做需 7 天完成，甲、
丙两人合做需 12 天完成。问：甲、乙、丙合做需多少天完成？
例 4、一批文稿，如果甲抄需 30 小时完成，如果乙抄需 20 小时完成。现在由甲先抄 3
小时后改为乙抄余下部分，问乙还需抄多少小时？
【试一试 4】仓库中粮食可供甲城人吃 40 天，供乙城人吃 48 天，现在先供甲城人吃
10 天后，再仅供乙城人吃，问能供乙城人吃多少天？
综合练习：
1、快车从甲地到乙地要开 10 小时，慢车从乙地到甲地要开 15 小时，两车分别从甲、
乙两地同时相向而行，经过多少小时两车相遇？
2、飞毛腿队和大力士队两队共同加工一批零件，8 小时可以完成任务，若飞毛腿队单
独加工，需要 12 小时完成，大力士队单独做需要多长时间完成？
3、某工程，若甲、丙二人合做需
2
15 天完成，甲、乙两人合做需
7
60 天完成，乙、丙两
人合做需
3
20 天完成，三人合做需要多少天完成？
4、一件工程，甲队单独做 10 天完成，乙队单独做 8 完成，甲队先做一天后，然后由
乙队去做，还需要多少天才能完成？
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考查练习：
1、一条公路，由火箭队修建要 80 天，热火队修建要 120 天，两队共同修建需要多少
天？
2、甲、乙两车从两地同时相向行驶，需 6 小时相遇，已知甲行完全程需要 10 小时，
那么乙行完全程需要几小时？
3、甲、乙、丙三队合做一项工程，甲、乙合做 10 天完成，乙、丙合做 12 天完成，甲、
丙合做 15 天完成，问：甲、乙、丙合做需要多少天完成？
4、一项工程，甲队单独做要 5 小时，乙队单独做要 6 小时。甲队先做了 3 小时，然后
由乙队去做，还要几小时才能完成？
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