速算与巧算
_分组法
只有加减运算,参与计算的数很多,典型符号：……
利用符号找规律。
例：2012-2011-2010+2009+2008-2007-2006+2005 + ……+4-3-2 + 1
二(2012-2011-2010+2009 ) + ( 2008-2007-2006+2005 )
+..... + ( 4-3-2 +1)
二 0+0+0+.....+0+0
=0
!:符号成堆，分组抵消
抵消
=2+100
二找基准数法
(2+4+^4 + 100)-(牛心
一组比较接近的数的求和或求平均值
求和:和二基准数 X个数+浮动值 求平均值：平均数二基准数+浮动值 m
个数
124+131+127+129+137+132
^130x6-6+1-3-1+7+2
二 780+0
=780
三.首同尾补，尾同首补
首同尾补:23-27,46-44 （首相同，尾相加等于 10 ）
尾同首补:23-83,44-64 （尾相同，首相加等于 10 ）
行程问题
行程问题是研究物体运动的,它硏究的是物体速度、时间、行程三者之 间的关
系。
基本公式
路程二速度 X时间 路程 m 时间二速度
路程一速度=时间
确定行程过程中的位置路程 相遇问题（直线）
相遇路程-速度和二相遇时间
相遇路程-相遇时间二速度和
相遇问题（环形）
甲的路程+乙的路程二总路程
甲的路程+乙的路程二环形周长
追及问题 追及问题（直线）
追及时间=路程差-速度差
速度差=路程差一追及时间
路程差二追及时间 X速度差
追及问题(环形)
距离差二追者路程-被追者路程二速度差 X追及时间
快的路程-慢的路程二曲线的周长
船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推 送或顶
逆,在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程,叫 做流水行船问
题。
流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个 量(速
度、时间、路程)的关系在这里将要反复用到•此外，流水行船问 题还有以下
两个基本公式：(1)顺水速度二船速+水速，(2)逆水速度二船速-水速。这里，
船速是指船本身的速度，也就是在静水 中单位时间里所走过的路程•水速，
是指水在单位时间里流过的路程•顺 水速度和逆水速度分别指顺流航行时和
逆流航行时船在单位时间里所 行的路程。
根据加减法互为逆运算的关系，由公式(1)可以得到： 水速二
顺水速度■船速, 船速=顺水速度-水速。
由公式(2 )可以得到： 水速二船速-逆水速度， 船速二逆水 速度+水速。
这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际
速度和水速这三个量中的任意两个,就可以求出第三个量。
另外,已知船的逆水速度和顺水速度,根据公式(1)和公式
(2),相加和相减就可以得到:
船速二(顺水速度+逆水速度)-2 , 水速=(顺水速度-逆水速度)
m2。
例：设后面一人速度为 X ,前面得为 y ,开始距离为 s ,经时间 t后相差 a 米。
那么
(x-y)t=s-a 解得 t二 s ・ a/x ・ y.
追及路程除以速度差(快速-慢速)二追及时间 vlt+s二 v2t (vl+v2)t二 s
t=s/(vl+v2)
行程问题公式基本概念
行程问题是硏究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者
之间的关系。 基本公式
路程二速度 x时间；路程三时间二速度；路程三速度二时间 关键问题
确走行程过程中的位置路程相遇路程三速度和二相遇时间相遇路程 三相遇
时间二速度和 相遇问题(直线)
甲的路程+乙的路程二总路程 相遇问题(环形) 甲的路程+乙
的路程二环形周长追及问题
追及时间二路程差三速度差 速度差二路程差三追及时间 路程
距离差二追者路程■被追者路程二速度差 X追及时间 追及问题(环形) 快的
路程-慢的路程二曲线的周长解题关键
船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶 逆,在
这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程,叫做流水 行船问题。 流
水行船问题,是行程问题中的一种，因此行程问题
中三个量(速度、时间、路程)的关系在这里将要反复用到•此外，流水
逆水速度二船速-水速.(2) 这里，船速是指船本身的速度，也就
是在静水中单位时间里所走过的路程•水速，是指水在单位时间里流过的 路程
•顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时 间里所行
的路程。
根据加减法互为逆运算的关系，由公式(I)可以得到: 水速二顺
水速度-船速, 船速二顺水速度冰速。
由公式(2 )可以得到: 水速二船速-逆水速度， 船速二逆水 速度+水速。这
就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际
速度和水速这三个量中的任意两个,就可以求出第三个量。
另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式(1)和公式(2), 相加和相减
就可以得到:
船速二(顺水速度+逆水速度)-2 , 水速二(顺水速度・逆水速度)
m2。
行船问题还有以下两个基本公式: 顺水速度二船速+水速，(1)
例：设后面一人速度为 X ,前面得为 y ,开始距离为 s z经时间 t后相差 a米。那
么
（x-y）t=s-a 解得 t二 s ・ a/x ・ y.
追及路程除以速度差（快速-慢速）二追及时间 vlt+s=v2t （vl+v2）t=s
t=s/（vl+v2）
行程问题公式基本概念
行程问题是研究物体运动的，它硏究的是物体速度、时间、行程三者
之间的关系。 基本公式
路程二速度 X时间；路程 m 时间二速度；路程三速度二时间 关键问题
确定行程过程中的位置路程相遇路程三速度和二相遇时间相遇路程 m相遇时
间二速度和 相遇问题（直线）
甲的路程+乙的路程二总路程 相遇问题（环形） 甲的路程+乙
的路程二环形周长追及问题
追及时间二路程差 m 速度差 速度差=路程差 m 追及时间 路程
距离差二追者路程-被追者路程二速度差 X追及时间 追及问题（环形） 快
的路程-慢的路程二曲线的周长解题关键
船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶
逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水
差二追及时间 X速度差 追及问题（直线）
行船问题。 流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题
中三个量(速度、时间、路程)的关系在这里将要反复用到•此外,流水
行船问题还有以下两个基本公式: 顺水速度二船速+水速，(1)
逆水速度二船速-水速.(2) 这里，船速是指船本身的速度,也就
是在静水中单位时间里所走过的路程•水速，是指水在单位时间里流过的 路程
•顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时 间里所行
的路程。
根据加减法互为逆运算的关系，由公式(I)可以得到: 水速二顺
水速度-船速, 船速二顺水速度-水速。
由公式(2 )可以得到: 水速二船速-逆水速度， 船速二逆水 速度+水速。这
就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际
速度和水速这三个量中的任意两个,就可以求出第三个量。
另外，已知船的逆水速度和顺水速度,根据公式(1)和公式(2),相加和相减就
可以得到：
船速二(顺水速度+逆水速度)-2 , 水速=(顺水速度-逆水速度)
m2。
例：设后面一人速度为 x z前面得为 y ,开始距离为 s ,经时间 t后相差 a 米。
那么
(x-y)t=s-a 解得 t二 s ・ a/x ・ y.
追及路程除以速度差(快速■慢速)二追及时间 vlt+s=v2t (vl+v2)t=s
t=s/(vl+v2)
（—）相遇冋题
两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时 间的发
展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。它的特点是两 个运动物体共
同走完整个路程。
相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间,
求速度。它们的基本关系式如下: 总路程二（甲速+乙速）X相遇时间
相遇时间=总路程一（甲速+乙速）
另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度
（二）追及问题
追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可 以不同，
但方向一般是相同的。由于速度不同，就发生快的追及慢的问 题。
根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，罕用下面的公 式：
距离差=速度差 X 追及时间
追及时间二距离差一速度差
速度差=距离差 m 追及时间
速度差二快速-慢速
解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及
时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。
（三）相离问题
两个运动物体由于背向运动而相离,就是相离问题。解答相离
问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距离（速度和）。基本公 式有：
两地距离=速度和 X 相罔时间
相罔时间=两地距离 m 速度和 速度和二两地距离 m 相离时间
流水问题
顺流而下与逆流而上问题通常称为流水问题，流水问题属于行 程问题，
仍然利用速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。解答时 要注意各种速度
的涵义及它们之间的关系。船在静水中行驶，单位时 间内所走的距离叫做划行
速度或叫做划力；顺水行船的速度叫顺流速度; 逆水行船的速度叫做逆流速度;
船放中流，不靠动力顺水而行,单位时 间内走的距离叫做水流速度。各种速度的
关系如下：（1）划行速度+ 水流速度二顺流速度（2 ）划行速度-水流速度二
逆流速度（3）（顺 流速度+逆流速度）一 2=划行速度（4）（顺流速度-逆流
速度）-2 = 水流速度
流水问题的数量关系仍然是速度、时间与距离之间的关系。即:
速度 X时间二距离 距离―速度二时间
距离 m 时间二速度
但是,河水是流动的，这就有顺流、逆流的区别。在计算时，要 把各种
速度之间的关系弄清楚。
解比例应用题
解比例:根据比例的性质可以得出：已知比例中的任意三项，就可以求 出另外
一项。
分数应用题
1、找准单位"1"的量。
2、确定单位“T是已知还是未知。
3、 单位"1"的量 x 分率二分率对应量
分率对应量（已知数）-对应分率二单位"1啲量
4、比单位"1 〃多就用（1+…）,比单位"1〃少就用（1 -…）。
方法一：将一个数的几分之几的几分之几转化为这个数的几分之几。
方法二:甲数是乙数的几分之几，转化为乙数是甲数的几分之几。
方法三:甲数比乙数多（少）几分之几转化为乙数比甲数少（多）几分 之几。
方法四：甲数的几分之几等于乙数的几分之几转化为甲数是乙数的几分 之几
（或乙数是甲数的几分之几）
方法五：假设在解题中的妙用:有些应用题数量关系比较复杂隐蔽， 按一般
的方法，难以找到数量间的关系及内在联系。但是通过假定某个 条件或现象
成立,往往可以找到解答的途径。
方法六:找已知量对应的分率,用已知量除以它所对应的分率就可以得 到单位
"1"的量
工程问题
工程应用题是典型的一种分数应用题，它讲的内容是一项工 作（工
程）给谁做,或者合做,需要几天?等有关这样的内容。它也有 一般的解题思路。
1、先定出甲乙（丙）几个量的工作效率。
2、知道给谁做？谁做了多少？
3、一般情况下，有下面的关系：
甲做的工作量=甲的效率 x时间 乙做的工作量=乙的效率 X 时间
合做的工作量=合作的效率 X合作时间
4、给谁做就用（需要做的工作量"隹得工作效率） 5、单位一先做的工作量
二剩下的工作量 6、甲的效率+乙的效率=
效率和
百分数应用题
百分数应用题解题技巧基本关系式单位 q 〃已知:
率二对应数量求单位“1〃或单位 T未知: 对应数量-对应分率 二单
位 f （或用方程解）
1. 已知 A比 B多（少）几分之几（百分之几）。求 A或 B1、找关键句子
2、找单位 1
3. 判断单位 1是否已知
4、已知单位 1用乘、未知单位 1用除法，多加少减 2、求一个数是另一个 数
的几分之几（或百分之几）公式:一个数三另一个数=_个数是 另一个数的几分
之几（或百分之几）
3、求一个数比另一个数多几分之几（或百分之几）公式:多的数量三
单位"1 〃二一个数比另_个数多几分之几（或百分之几）
4、求一个数比另一个数少几分之几（或百分之几）公式:少的数量三 单位 T =
一个数比另一个数少几分之几（或百分之几）求一个数比另
一个数多（或少）百分之几 实际生活中，人们常用增加了百分之几、 减少了
百分之几、节约了百分之几等来表示增加、或减少的幅度。
平面图形
平面图形指的是如直线、射线、角、三角形、平行四边形、长
方形（正方形）、梯形和圆都是几何图形,这些图形所表示的各个部分 都在同
一平面内，称为平面图形。
圆是由曲线围成的封闭图形，而其他由线段围成的封闭图形叫 做多
边形。
立体图形
立体图形是各部分不在同一平面内的几何图形，由一个或多个 面围成
的可以存在于现实生活中的三维图形。点动成线，线动成面，面 动成体。即
由面围成体,看一个长方体，正方体等的规则立体图形最多 看到立体图形实物
的三个面。
方程
只含有一个未知数（即“元"），并且未知数的最高次数为 1（即 "
次"）的整式方程叫做一元一次方程。一元一次方程的标准形式（即所 有一元
一次方程经整理都能得到的形式）是 ax+b=O（ a , b为常数,x 为未知数，
且 a工 0 ）。求根公式：x=-b/a0
利率问题
利率表示一定时期内利息量与本金的比率,通常用百分比表示,
按年计算则称为年利率。其计算公式是:利息率二利息量/本金 X时间 X
100%。加上 X100%是为了将数字切换成百分率,与乘一的意思相同，
计算中可不加，只需记住即可。
（1）单利问题:
本金 X利率 X时期=利息
本金 X （ 1+利率 X时期）二本利和；
本利和 m （ 1+利率 X时期）二本金。
年利率"2二月利率；
月利率 X12二年利率。
（2 ）复利问题：
本金 x （ 1+利率）存期期数二本利和。
浓度问题
浓度是生活中常见常用的数学问题，如溶液的稀释与蒸发，溶 液的混
合配制等,在解答浓度问题时,要掌握以下数量关系,和始终抓 住变化中的不变
量解题。
浓度问题公式分成 4种，分别是求溶液的质量、浓度、溶质的
重量、溶液的重量,其中题目中最常见的就是已知溶液的重量和浓度求 溶质的
重量。
浓度问题公式:
溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量
溶质的重量一溶液的重量 X100% =浓度
溶液的重量 X 浓度=溶质的重量
溶质的重量-浓度=溶液的重量
税率问题
1•税率,是对征税对象的征收比例或征收额度。
2•税率是计算税额的尺度,也是衡量税负轻重与否的重要标志。
3•中国现行的税率主要有比例税率、超额累进税率、定额税率、超率累 进税
率。
和差倍问题
和差问题是已知大小两个数的和与这两个数的差,求大小两个 数各是
多少的应用题。为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差 多少的不同叙
述方式•有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两 个数的差"暗藏”
起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。
知道两个数的和，以及它们的差，要求这两个数，解决和差问题 需要我
们画线段图来分析,方法如下：
方法一:
（和+差）-2=大数
和-大数二小数
方法二:
（和-差）+2=小数
和-小数=大数
数的认识
_概念
（—）整数
1 •整数的意义：自然数和 0都是整数。
2启然数:我们在数物体的时候,用来表示物体个数的 1 , 2 , 3””叫 做自然数。
_个物体也没有,用 0表示。0也是自然数。
3计数单位：一（个）、十、百、干、万、十万、百万、干万、亿”” 都是
计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是 10。这样的计数 法叫做十进
制计数法。
4. 数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数
位。整数的读法和写法
5. 整数的读法:从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时,先按 照个级
的读法去读,再在后面加一个亿”或万”字。每一级末尾的 0都不 读岀来,其
它数位连续有几个 0都只读一个零。
6. 整数的写法：从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位 也没有,
就在那个数位上写 0。
（二）小数
1小数的意义
把整数 1平均分成 10份、100份、1000份〃得到的十分之几、百分之 几、
干分之几 I 可以用小数表示。
一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之
// //
一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小 数点,
小数点左边的数叫做整数部分,小数点左边的数叫做整数部分, 小数点右边的
数叫做小数部分。
在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是 10。小数部分的最高分 数单
位“十分之和整数部分的最低单位之间的进率也是 10。
2小数的分类
纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如：0.25、0.368都 是纯小数。
带小数:整数部分不是零的小数,叫做带小数。例如： 3.25、5.26都是带小数。
有限小数:小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。例如：41.7、
25.3、0.23都是有限小数。 无限小数：小数部分的数位是无限的 小数,叫做
无限小数。例如：4.33 ”” 3.1415926 ””无限不循环 小数：一个数的小数部分，
数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫 做无限不循环小数。例如：H
3.555 ...... 0.0333 ……12.109109 ......
一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数 的循环
节。例如：3.99 „„的循环节是“9”，0.5454 „„的循环节是 “ 54 ”。
纯循环小数:循环节从循环小数:一个数的小数部分,有一个数字或者 几个数字
依次不断重复 3出现，这个数叫做循环小数。例如：
小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。例如：3.111，”, 0.5656，”,
混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的,叫做混循环小数。3.1222 ””
0.03333 ””
写循环小数的时候,为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节, 并在这个
循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有_
个数字，就只在它的上面点一个点。例如：3777 ””简写作 0.5302302
，”，简写作。小数的读法和写法
1. 小数的读法:读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读 作
“点”,小数部分从左向右顺次读岀每一位数位上的数字。
2. 小数的写法:写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点 写在
个位右下角,小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
探索规律
1 •数字猜想型：在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系洗 猜想，
然后通过适当的计算回答问题
2数式规律型： 通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结
论,以列代数式即函数关系式为主要内容.
3 •图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中 的特
点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，注意对 应思想和数
形结合
4・数形结合猜想型:首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将 图形
的变化以数或式的形式反映出来,从而得出图形与数或式的对应 关系・
5・动态规律型：要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，明确 哪些
结果发生了变化，哪些结果没有发生变化，从而逐步发现规律.
微信/支付宝扫码支付