高二数学上学期期末统考试题

高二数学上学期期末统考试题及答案（理） 1 月 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在各题所给出的四个选项中，有且只有一个 是正确的，请将正确选项的代号填在答题卡上） 1.已知命题 pxRxp  则,012,: 2 是 （ ） A． 012, 2  xRx B． 012, 2  xRx C． 012, 2  xRx D． 012, 2  xRx 2.椭圆 xyyx 3134 22  的右焦点到直线 的距离是 （ ） A． 2 1 B． 2 3 C．1 D． 3 3.条件 P：“直线 l 在 y 轴上的截距是在 x 轴上截距的两倍”；条件 q：“直 l 的斜率为－2”， 则 p 是 q 的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分也非必要条件 4. 已知 x>2，则 2 4 5( ) 2 4 x xf x x    有 A 最大值 1.25 B 最小值 1.25 C 最大值 4 D 最小值 1 5.在△ABC 中，边 a、b、c 所对角分别为 A、B、C，且 c C b B a A coscossin  ，则△ABC 的形状为 （ ） A．等边三角形 B．有一个角为 30°的直角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个角为 30°的等腰三角形 6.若互不相等的实数 、 、 成等差数列 、 、 成等比数列，且 ＋ ＋ ＝ 则 等于 ． ． ．－  ．－ 7.已知 F1、F2 的椭圆 )0(12 2 2 2  ba b y a x 的焦点，M 为椭圆上一点，MF1 垂直于 x 轴， 且 ,6021  MFF 则椭圆的离心率为 （ ） A． 3 3 B． 2 3 C． 2 1 D． 2 2 8.已知等差数列 中 是它的前 项和，若   则当 取最大值时， 的值为 ． ．  ．  ． 9. 如图所示，在三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AA1⊥底面 ABC，AB=BC=AA1， ∠ABC=90°。点 E、F 分别是棱 AB、 BB1 的中点，则直线 EF 和 BC1 所成 的角是 （ ） A．45° B．60° C．90° D．1 10.已知点 )0,2()4,0(),( BAyxP 和到 的距离相等，则 yx 42  的最小值为 （ ） A．2 B．4 C． 28 D． 24 11.已知 )11)(11(,1,0,0 22  ba baba 则 的最小值为 （ ） A．6 B．7 C．8 D．9 12. 如图所示，在正方体 1111 DCBAABCD  的侧面 1 1ABB A 内有一动点 P 到直线 11BA 和直线 BC 的距 离相等，则动点 P 所在曲线形状为 (A) (B) (C) (D) 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二 填空：（每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上） 13.命题“若 ba  ，则 122  ba ”的逆否命题为 。 13.若 122  ba , 则 ba  14. 设等差数列 na 的公差 d  0，又 1 3 9, ,a a a 成等比数列，则 1 3 9 2 4 10 a a a a a a     。 14.16 13 15.已知实数 x、y 满足条件 |42|, 052 04 02        yxz yx yx yx 则 的最大值为 . 15．21                       16．如图，双曲线 C 的中心在原点，虚轴两端点 分别为 B1、B2，左顶点和左焦点分别为 A、F， 若 12 FBAB  ，则双曲线 C 的离心率为 . 16． 2 15  三、 解答题：（本大题 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分 12 分） 在⊿ABC 中，已知 030,1,3  Bbc . （1）求出角 C 和 A ； （2）求⊿ABC 的面积 S. 17.（1） b c B C  sin sin ， 2 3sin C ………………………………………………3 分 0000 30,120,90,60,,  ACACBCbc 此时或者此时 ………6 分 （2）S=0.5bcsinA= 4 3,2 3 ……………………………………………………12 分 18. （本小题满分 12 分） 已知一个数列 }{ na 的各项是 或 ．首项为 ，且在第 k 个 和第 1k 个 之间有 12 k 个 ， 即 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．记数列的前 n 项的和为 nS ． （ ）试问第 1m  个 为该数列的第几项？ （ ）求 2006a ； （ ）求 2006S ； 解：记（ ， ）为第 对，共 项；（ ， ， ， ）为第 对，共 （ ） 项； 2 1 (1,2,2,2, ,2) k  共 个2 为第 对，共 （ ） 项， 故前 对共有项数为 2+4+6+ +2k=k(k+1) 分 （Ⅰ）第 1m  个 所在的项为前 m 对所在全部项的后 项， 即为 ( 1) 1m m   ，即 2 1m m   分 （Ⅱ）因 4 ， × ，故第 项在第 对内，从而 2006 2a  分 （ Ⅲ ） 由 （ Ⅱ ） 可 知 ， 前 项 中 共 有 个 ， 其 余 个 数 均 为 ， 于 是 2006s ． 分 19. （本小题满分 12 分） 日照市某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调 查，得出下表： 资金 每台空调或冰箱所需资金（百元） 月资金供应数量 （百元）空调 冰箱 成本 30 20 300 工人工资 5 10 110 每台利润 6 8 问：该商场怎样确定空调或冰箱的月供应量，才能使总利润最大？ 19.设空调和冰箱的月供应量分别为 yx, 台，月总利润为 z 百元 则 yxz Nyx yx yx 86, , 110105 3002030 *        ………………………………………3 分 作出可行域……………………………………………………………………………6 分 84 3 zxy  ，纵截距为 8 z ， 斜 率 为 k= 4 3 ， 满 足 20 30 10 5  k 欲 z 最大，必 8 z 最大，此时，直 线 84 3 zxy  必 过 图 形       *, 110105 3002030 Nyx yx yx 的一个交点（4，9）， yx, 分别为 4，9 ∴ 空 调 和 冰 箱 的 月 供 应 量 分 别 为 4 、 9 台 时 ， 月 总 利 润 为 最 大.…………… ……12 分 （本小题满分 12 分） 已知数列 ).2(353,2,}{ 111   nSaaSaSna nnnnnn 且有项和为的前 （Ⅰ）求数列 na 的通项公式； （Ⅱ）若 ,)12( nn anb  求数列 }{ nb 的前 n 项和 .nT ： （Ⅰ） )2(533 11   naaSS nnnn ……………………2 分 2 1,2 1 1    n n nn a aaa …………………………………………………………3 分 又 21 a ， .2 12}{ 的等比数列为首项公比为是以na ………………………………4 分 nnn na   221 2)2 1()2 1(2 ……………………5 分 （Ⅱ） n n nb  22)12( n n nT   2101 2)12(252321  …………………………7 分 nn n nnT   1210 2)12(2)32(23212 1  ……………………8 分 nn n nT   1210 2)12()222(222 1  ……………………9 分 n n n       1 1 11 2)12( 21 ])2(1[22 nn  12)32(6 ………………………………………………11 分 n n nT  22)32(12 ……………………………………12 分 21. （本小题满分 12 分） 如图，已知 ABCD 是正方形，PD⊥平面 ABCD，PD=AD. (1)求二面角 A-PB-D 的大小； (2)在线段 PB 上是否存在一点 E,使 PC⊥平面 ADE?若存在,确定 E 点的位置,若不存在,说明理由. 21.解：（1）以向量 , ,DA DC DP    为正交基底，建立空间直角坐标系. 联结 AC,交 BD 于点 O,取 PA 中点 G,联结 DG. ∵ABCD 是正方形,∴AC⊥DB. 又 PD⊥平面 ABCD,AC  平面 ABCD, ∴AC⊥PD, ∴AC⊥平面 PBD. ∵PD⊥平面 ABCD，AB⊥AD，∴PA⊥AB. ∴AB⊥平面 PAD. ∵PD=AD,G 为 PA 中点, ∴GD⊥平面 PAB. 故向量 DGAC与 分别是平面 PBD 与平面 PAB 的法向量. 令 PD=AD=2，则 A(2，0，0)，C(0，2，0)，∴ AC =(-2，2，0). ∵P(0,0,2),A(2,0,0), ∴G(1,0,1),∴ DG =(1,0,1). ∴向量 DGAC与 的夹角余弦为 2 1 222 2cos      DGAC DGAC ， ∴ 0120 ,∴二面角 A-PB-D 的大小为 060 . （2） ∵PD⊥平面 ABCD，AD⊥CD，∴AD⊥PC. 设 E 是线段 PB 上的一点，令 )10(  PBPE . ∴ AP (-2,0,2), PB (2,2,-2), PC (0,2,-2).∴ )2,2,2(  PE . ∴ )22,2,22(   PEAPAE . 令 得,0 PCAE 2 22   ( 2 - 2 )=0,得 2 1 . ∴当 2 1 ,即点 E 是线段 PB 中点时,有 AE⊥PC. 又∵PD⊥平面 ABCD，AD⊥CD，∴AD⊥PC. ∴当点 E 是线段 PB 中点时,有 PC⊥平面 ADE. 22. （本小题满分 14 分） 已知定点 F（1，0），动点 P 在 y 轴上运动，过点 P 做 PM 交 x 轴于点 M，并延长 MP 到点 N，且 .||||,0 PNPMPFPM  （Ⅰ）求点 N 的轨迹方程； （Ⅱ）直线 l 与点 N 的轨迹交于 A、B 不同两点，若 4OBOA ，且 304||64  AB ，求直 线 l 的斜率 k 的取值范围. 22．解： （Ⅰ）由于 |,||| PNPM  则 P 为 MN 的中心， 设 N（x，y），则 M（－x,0）,P（0， 2 y ），……………………2 分 由 ,0 PFPM 得 ,0)2,1()2,(  yyx ,0)2()2(1)(  yyx ,42 xy  所以点 N 的轨迹方程为 ,42 xy  …………………………5 分 （Ⅱ）设直线 l 的方程是 ),0(  kmkxy 与 得联立消去yxy 42  ： ,0)42(4)( 2222  mxkmxkxmkx 整理得 ……………………6 分 设 ),,(),,( 2211 yxByxA 则： ,,42 2 2 21221 k mxx k kmxx  ,)())(( 2 2121 2 2121 mmmkxmkxyy  ,4)42( 2 2 2 k mm k kmkmm  ……………………7 分 由 ,44 2121  yyxxOBOA 得 ,44 2 2  k m k m 即 ,0)2( 2  k m ,2km  …………………………9 分 由于直线与 N 的轨迹交于不同的两点， 则 ,1,04)42( 222  kmmkkm 即 把 ,122 2  kkm 代入上式得 ,0 点的轨迹恒有两个不同交与时直线且当 NlkRk  而 ]4))[(1(|| 21 2 21 2 xxAB  ]4)42()[1( 2 2 4 2 2 k m k kmk  )1616)(1( 4 2 k kmk  )3216)(1( 4 2 2 k kk  )12)(1(4 22 2  kk k 又因为 ,304||64  AB ,30)12)(1(6 4 22  k kk 解得 ,12 1 2 11  kk 或 综上可知 k 的取值范围是 }12 1 2 11|{  kkk 或 .……………………14 分