高二年级数学上学期期末考试

高二年级数学上学期期末考试 数 学 试 题 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 1 考试时间 1. 注意事项： 1．各题的答案或解答过程均写在答题纸内的指定处，写在试卷上的无效. 2．答题前，考生务必将自己的“姓名”，“班级”和“学号”写在答题纸上. 3．考试结束，只交答题纸. 第Ⅰ卷（选择题 共 48 分） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1．不等式 1 3x  等价于 （ ） A． 10 3x  B． 1 03x x 或 C． 1 3x  D． 0x  2．如果直线 2 2 0ax y   与直线3 2 0x y   平行, 那么实数 a 等于 （ ） A． 6 B． 3 C． 3 2  D． 2 3 3．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连结这个空间四边形各边的中点，所组成的 四边形是 （ ） A．正方形 B．矩形 C．平行四边形 D．梯形 4．抛物线 2 8 1 xy  的焦点坐标是 （ ） A．(0,－4) B．(0,－2) C． )0,2 1( D．      0,32 1 5．如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角的大小关系是 （ ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 6．若 , ,l m n 是 互 不 相 同 的 空 间 直 线 ， ,  是 互 不 重 合 的 两 个 平 面 ， 则 下 列 命 题 中 为 真 命 题 是 （ ） A．若 // , ,l n     ，则 //l n B．若 , //l m  且 ，则l m C．若 ,l n m n  ，则 //l m D．若 , //l l  ，则 //  7．满足方程 2 2( 2) ( 1) 1x y    的 y x 的最大值是 （ ） A． 3 3 B． 4 3 C． 3 D． 3 4 8．已知点 ),( yxP 在直线 12  yx 上运动，则 yx 42  的最小值是 （ ） A． 2 B．2 C．2 2 D．4 2 9．已知 ,a b 是一对异面直线，且 ,a b 成 80角，则在过空间一定点 P 的直线中与 a，b 所成 角均为 80的直线有 （ ） A．4 条 B．3 条 C．2 条 D． 1 条 10．在△ABC 中，AB=AC=10cm, BC=12cm, PA  平面 ABC，PA = 8cm, 则点 P 到边 BC 的 距离为 （ ） A．10 cm B．13 cm C．8 2 cm D．12 2 cm 11．关于函数 )0(22  baxaa by 的叙述不．正确的是 （ ） A．图象关于 y 轴对称 B．值域是 b，0 C．图象是椭圆的一部分 D．图象是双曲线的一部分 12．直线 2 3y x  与曲线 2 | | 19 4 y x x  的交点个数是 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷（非选择题，共 72 分） 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分） 13．过抛物线 2 8y x 的焦点，倾斜角为 45的直线被抛物线截得的弦长为 ； 14．已知双曲线的虚轴长是实轴长与焦距的等比中项，则此双曲线的离心率是 ； 15．函数  ( ) (4 3) 2 0,1 ( ) 2f x a x b a x f x     ， ，若 恒成立， 则 a b 的最大值 为 ； 16．下面有四个命题： ①经过空间一点与两条异面直线都相交的直线有且只有一条； ②经过空间一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条； ③经过空间一点与两条异面直线都平行的平面有且只有一个； ④经过空间一点与两条异面直线都垂直的平面有且只有一个． 其中真命题的序号是_______________（把符合要求的命题序号都填上）. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 56 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤） 17．（本小题满分 8 分）已知直线l 与直线3 4 7 0x y   的倾斜角相等，并且与两坐标轴 1 围成的三角形的面积等于 24，求直线l 的方程． 18．（本小题满分 8 分）长方体 1 1 1 1A B C D ABCD 中， 12, 1, ,AB BC AA E F   分别是 1 1 1A B BB和 的中点， 求： 1EF AD与 所成角的余弦值． 19．（本小题满分 10 分）点 P 为双曲线 2 2 112 4 x y  的渐近线与右准线在第一象限内的交点， 圆 C 与双曲线的两条渐近线都相切，且 P 为切点，求圆 C 的标准方程. 本小题满分 10 分）如图，点 P 是矩形 ABCD 所在的平面外一点， E、F 分别是 AB、PC 的 中点． （1）求证：EF∥平面 PAD； （2）若 PA⊥平面 ABCD，且 PA=AD，求证：EF⊥平面 PCD. 21．（本小题满分 10 分）已知动点 ),( yxM 与定点 )0)(0,2( ppF 和定直线 2 px  的距 离相等． （1）求动点 M 的轨迹 C 的方程； （2）设 M、N 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点，直线 OM 和 ON 的倾斜角分别为 和  ，当 、  变化，且 90  时. 求证：直线 MN 恒过一定点． A E B C P F D C1 B D D1 E B1 F C A1 A 22．（本小题满分 10 分）已知椭圆的中心为坐标原点 O，其中一个焦点坐标为（ 2 ，0）， 离心率为 3 6 ． （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知向量 (0, 1)OB   ，是否存在斜率为 ( 0)k k  的直线 l，l 与曲线 C 相交于 M、 N 两点，使向量 BM  与向量 BN  的夹角为 60 ，且 BM BN  ? 若存在，求出 k 值， 并写出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由． 参考答案 BAABD BDCAC DC 13．16 14． 1 5 2  15． 4 17 16．② 17．解：∵直线 3x+4y－7=0 的斜率是 4 3 ， ∴直线 l 的斜率为 4 3 ，设直线 l 的方程为 bxy  4 3 . 设 x=0, 得 y=b; 设 y=0, 得 x= b3 4 ， 所以 24|||3 4|2 1  bb ， ∴ 6b . ∴直线 l 的方程为 .02443,64 3  yxxy 即 18．解:连结 1 1 1 1, ,BA BC AC ，则 EF ∥ 1,BA 1AD ∥ 1,BC 1 1A BC 即为 EF 与 1AD 所成角或其补角， 且 1 1 1 1 1 1 5 5 8 15, 2 2, cos .2 5 5BA BC AC A BC         19．解：右准线方程为：x=3， 一条渐进线方程为： 3 3, ,3 3y x k   o即 倾斜角 =30 1 所以 (3, 3)P (1) 当圆心 C 在 x 正半轴上时, 2 212 2 3, 2, 4, ( 4) 4OP PC OC x y       则 (2) 当圆心 C 在 y 正半轴上时， 1 1 1 160 , 30 , 4 3, 6o oOCC OC C OC r PC      则 2 2( 4 3) 36x y   圆的方程为： 明：(1)取 PD 的中点 G 联结 AG，GF， ∵G，F 分别是 PD， PC 的中点∴GF//CD 又∵AB//CD∵AE//GF 且 AE=GF ∴四边形 AEFG 为平行四边形 ∴EF//AG∵AG  平面 PAD ∴EF//平面 PAD (2)∵PA=AD 且 PG=GD∴AG⊥PD, 又∵CD⊥AD, ∵PA⊥平面 ABCD, ∴CD⊥PA∵PA∩AD=A, ∴CD⊥平面 PAD, ∵AG  平面 PAD∴AG⊥CD ∵AG//EF∴EF⊥CD,EF⊥PD ∵PD∩CD=D,∴EF⊥平面 PCD 21．解：（1）由抛物线的定义可知：点 M 的轨迹 C 的方程为抛物线，所以 M 的轨迹 C 的 方程为 )0(22  ppxy 。 （2）方法 1：设 ),( 11 yxM ， ),( 22 yxN ，由题意得 21 xx  ，直线 MN 的斜率存在， 设直线去 x ，得 0222  pbpyky ，由韦达定理知： k pbyyk pyy 2,2 2121  当 90  时， 1tantan   ， 01 2121 2 2 1 1  yyxxx y x y 2 2121 2 2 2 1 4022 pyyyyp y p y  可得 pkbpk pb 242 2  ，因此直线 MN 的方程为： pkkxy 2 ，当 0y 时， px 2 ，所以，直线 MN 过定点 )0,2( p 。 方法 2：直线 OM 的方程为：y=k1x，直线 ON 的方程为：y=k2x 由 tanαtanβ =1 可得 k1k2=1， 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1( , ), ( , ) MN p p p pM N kk k k k k k    A E B C P F D G 2 1 1 2 1 2 1 2: ( )p pMN y xk k k k    直线 ， 令 y=0，则 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 ( ) 2 2 2 22 2p k k p pk pk k pkpx pk k k k          所以，直线 MN 过定点 )0,2( p 。 22．解：（1）∵ 3 6 a c ， 2c  ∴ 3a ， 1b . ∴椭圆 C 的方程为： 1y3 x 2 2  (2)设直线 l 的方程为： mkxy  ， 设 )y,N(x),,( 2211 yxM ，      33yx mkxy 22 ，消去 y，得 033m6kmxx3k1 222  )( ， 2 2 21221 3k1 33mxx; 3k1 6kmxx     0]1m3k[12)3k1)(1m(12m36k 222222  ………① 线段 MN 的中点 G )y,x( 00 ， 2 21 0 3k1 3km 2 xxx   ； 22 2 00 3k1 mm 3k1 m3kmkxy     ， 线段 MN 的垂直平分线的方程为： ) 3k1 3kmx(k 1 3k1 my 22     ∵ |||| BNBM  ， ∴线段 MN 的垂直平分线过 B（点， ∴ 222 3k1 3m 3k1 3km k 1 3k1 m1-       ∴ 2 3k1m 2 … ……② B x y OM N G ②代入①，得 01)2 3k1(3k 2 2 2  ， 解得这个不等式，得 .01,k1  k且 ………③ ∵△BMN 为等边三角形，∴点 B 到直线 MN 的距离 |MN|2 3d  ， 而 2 2 2 2 k12 3 k1 |2 3k11| k1 |m1|d       2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | MN | 1 k | x x | 1 k (x x ) 4x x 6km 3m 3 1 k1 k ( ) 4 12(3k m 1)1 3k 1 3k 1 3k 1 k 1 3k 1 k12 3k ( ) 1 3 1 k .1 3k 2 1 3k                                ∴ 2 2 2 2 k1 3k1 k132 3k12 3    ， 解得 3 1k 2  ，即 3 3k  ，满足③式. 代入②，得 12 11 2 3k1m 2  . 直线 l 的方程为： 1x3 3y  .