高二数学上学期期末试卷

高二数学第一学期期末试卷 满分 100 分，考试时间 90 分钟 一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分．） (1)如果直线 022  yax 与直线 023  yx 平行，那么系数 a 等于( ) 3. 2A  2. 3B . 3C  . 6D  (2)两名同学进行英语听力练习，甲能听懂的概率为 0.8，乙能听懂的概率为 0.5 ,则甲、乙二人 恰有一人能听懂的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.9 C. 0.5 D.0.1 (3)已知 x、y 满足条件 5 0 0 3 x y x y x         ，则 yxz 42  的最小值为（ ） A. –6 B. 5 C.10 D.–10 （4）  521 x 的展开式中第四项的系数是（ ） A.10 B. －80 C. 80 D.－8 （5）抛物线 2 2y px ( 0p  )上横坐标为 3 的点到焦点的距离是 4，则 p 等于（ ） A. ８ Ｂ. 4 C. 2 D.1 （6）已知直线l 的斜率为 2 3  ，且过双曲线 149 22  yx 的左焦点，则直线l 与此双曲线的交点 个数为（ ）个 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 （7）五个人排成一排，其中甲、乙、丙三人左、中、右顺序不变（不一定相邻）的排法种数 是（ ） A．12 B．20 C．36 D．48 （8）已知 1F 、 2F 是椭圆 124 22  yx 的左、右焦点， l 是椭圆的右准线，点 P l 且在 x 轴 上方，则 1 2F PF 的最大值是（ ） A． 15 B.30  C. 45 D. 60 二、填空题：（本大题共 6 小题，每小题 4 分 ，共 24 分．） （9）在参加 2006 年德国世界杯足球赛决赛阶段比赛的 32 支球队中，有欧洲队 14 支，美洲 队 8 支，亚洲队 4 支，大洋洲队 1 支，非洲队 5 支，从中选出一支球队为欧洲队或美洲队的 概率为 . （10）3 个班分别从 2 个风景点中选择 1 处游览，有________ 种不同的选法 . （11）若点（－２， t ）在不等式 2x－3y+6  0 所表示的平面区域内，则 t 的取值范围是 _________ . （12） 圆 cos 1 sin x y       的（ 为参数）圆心坐标为 ；直线 l 与此圆交于 A、B 两点， 且线段 AB 的中点坐标是 )2 3,2 1( ，则直线 l 的方程为 . （13）中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 3 5 ，并且虚轴长为 8 的双曲线标准方程为 __________；若 P 为此双曲线上的一点， 1F 、 2F 分别是此双曲线的左、右焦点， 且 1 2 0PF PF    ，则 1 2PF F 的面积为 . （14）过椭圆 2 2 18 4 x y  的右焦点作 x 轴的垂线交椭圆于 A，B 两点，已知双曲线的焦点在 x 轴上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过 A，B 两点，则双曲线的离心率 e 为 . 三、解答题：（本大题共 4 小题，共 44 分，） （15）（本题满分 12 分）已知点 P（2，0），  C： 044622  yxyx . （Ⅰ）当直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 1 时，求直线 l 的方程； （Ⅱ）设过点 P 的直线与  C 交于 A、B 两点，且 AB CP ，求以线段 AB 为直径的圆的 方程. （16）（本题满分 10 分）一个小朋友将七支颜色各不相同的彩笔排成一列. （Ⅰ）求红色彩笔与黄色彩笔相邻的概率; （Ⅱ）求绿色彩笔与蓝色彩笔之间恰有一支彩笔的概率. （17）（本题满分 12 分）一次小测验共有 3 道选择题和 2 道填空题，每答对一道题得 20 分， 答错或不答得 0 分.某同学答对每道选择题的概率均为 0.8，答对每道填空题的概率均为 0.5.各 道题答对与否互不影响. （Ⅰ）求该同学恰好答对 1 道选择题和 2 道填空题的概率； （Ⅱ）求该同学至少答对 1 道题的概率； （Ⅲ）求该同学在这次测验中恰好得 80 分的概率. （18）(本题满分 10 分普通校学生做，重点校学生不做)已知两点    2,0 , 2,0M N ，动点  ,P x y 在 y 轴上的射影为 ,H PH  是 2 和 PM PN  的等比中项. （I）求动点 P 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线 1x y  交以点 M、N 为焦点的双曲线 C 的右支于点 Q，求实轴长最长的双曲 线 C 的方程. （本题满分 10 分重点校学生做，普通校学生不做） (18)已知椭圆 )0(12 2 2 2  ba b y a x 的左、右焦点分别是 1 2( ,0), ( ,0)F c F c ，Q 是椭圆外的 动点，满足 1| | 2 .FQ a 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点，点 T 在线段 F2Q 上，并且满足 2 20,| | 0.PT TF TF     （I）设 1x 为点 P 的横坐标，求证： 1 1| | cF P a xa   ； （Ⅱ）求点 T 的轨迹 C 的方程； （Ⅲ）在点 T 的轨迹 C 上，是否存在点 M， 使△F1MF2 的面积 S= .2b 若存在，求∠F1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由. 高二数学学科期末试卷答案 一.选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A B C C B B 二.填空题 9. 11 16 10 .8 11. 2 3t  12. （0，1）； 2 0x y   13. 1 169 22  yx ；16 14. 6 2 (注 12，13 小题每空 2 分) 三.解答题 15. （Ⅰ）解：设直线 l 的斜率为 k（若 k 存在），则方程为 )2(0  xky …（2 分） 又  C 的圆心为 C(3,-2) ， r=3,由 1 1 223 2    k kk 4 3 k ， …… （4 分） 直线 l 的方程为 )2(4 3  xy ，即 0643  yx ………（5 分） 当 k 不存在时，l 的方程为 x=2. ………… （7 分） （Ⅱ）依题意 AB  CP ,得 P 为线段 AB 的中点，即为以 AB 为直径的圆的圆心……（9 分） 已知 C(3,-2) ，P（2,0），由两点间距离公式得 5CP . …… （10 分） 在直角三角形 BCP 中，可求半径 2BP  . …………（11 分） 故以 AB 为直径的圆的方程为 4)2( 22  yx . …………（12 分） 16.解：七支彩笔可排列总数为 7 7A ，每一种排列出现的机会是等可能的 …………（3 分） （Ⅰ）记红色彩笔与黄色彩笔相邻为事件 A，红色彩笔与黄色彩笔相邻的排列有 6 6 2 2 AA 种， 则 P（A）= 7 2 7 7 6 6 2 2  A AA . ……………… （7 分） （Ⅱ）记绿色彩笔与蓝色彩笔之间恰有一支彩笔的事件为 B，则 绿色彩笔与蓝色彩笔之间恰有一支彩笔的概率为 2 1 5 2 5 5 7 7 5( ) 21 A A AP B A   . … （10 分） （注：学生（1）问求出红色彩笔与黄色彩笔相邻的概率可得满分，未写出是等可能的不扣分） 17. 解：（Ⅰ）该同学恰好答对 1 道选择题和 2 道填空题的概率为 125 35.05.0)2.0()8.0( 2 2 211 3  CCP . ……………… （4 分） （Ⅱ）该同学至少答对 1 道题的概率为 500 499 2 1 5 11 23          . ……… （8 分） （Ⅲ）设该同学在这次测验中恰好得 80 分为事件 A，他恰好答对 2 道选择题和 2 道填空题为事件 B1，他恰好答对 3 道选择题和 1 道填空题为事件 B2 则 A=B1+B2，B1，B2 为互斥事件. 1 2( ) ( ) ( )P A P B P B  = 2 2 3 2 2 2 3 1 3 2 3 2 4 1 1 4 1 44( )5 5 2 5 2 125C C C C                       ……（12 分） 18. A（普通校） 解：（Ⅰ）动点为  ,P x y ，则        0, , ,0 , 2 , , 2 ,H y PH x PM x y PN x y           …………………………… （2 分） ∴ 2 24PM PN x y     ，且 2 2PH x . …………………………… （4 分） 由题意得 2 2PH PM PN    ，即  2 2 22 4x x y   ， 2 2 18 4 x y  . …… （5 分） PH   是 2 和 PM PN  的等比中项，点 P 不能与点 H 重合， 0x  . ∴ 2 2 18 4 x y  （ 0x  ）为所求点 P 的轨迹方程. ………………………… （6 分） （Ⅱ）当直线 1x y  与双曲线 C 右支交于点 Q 时，而  2,0N 关于直线 1x y  的对称点为  1, 1E  ，则 QE QN ∴双曲线 C 的实轴长 2 10a QM QN QM QE ME      （当且仅当 Q，E，M 共线时取“=”），此时，实轴长 2a 最大为 10 ；……………… （8 分） 所以，双曲线 C 的实半轴长为 10 2 又∵ 1 22c MN  ，∴ 2 2 2 3 2b c a   ∴双曲线 C 的方程为 2 2 15 3 2 2 x y  . …………………………… （10 分） 18.B（重点校） 解：（Ⅰ）证明：设点 P 的坐标为 1 1( , ).x y 椭圆的左准线方程为 c ax 2  . 由椭圆第二定义得 1 2 1 | | | | F P c a ax c    ，即 2 1 1 1| | | | | |.c a cF P x a xa c a     由 1 1, 0cx a a x c aa       知 ，所以 1 1| | .cF P a xa   …………… 3 分 （Ⅱ）解法一：设点 T 的坐标为 ).,( yx 当| 0||0| 2  TFPT 且 时，由 0|||| 2  TFPT ， 得 2TFPT  .又由椭圆定义得 aPFPF 221  ，如图可得 aPQPF 21  则 |||| 2PFPQ  ，所以 T 为线段 F2Q 的中点. 在△QF1F2 中， aQFOT  ||2 1|| 1 ，所以有 .222 ayx  ………5 分 当 0|| PT 时，点（ a ，0）和点（－ a ，0）在轨迹上. 综上所述，点 T 的轨迹 C 的方程是 .222 ayx  …………………6 分 解法二：设点 T 的坐标为 ).,( yx 当| 0||0| 2  TFPT 且 时，由 02 TFPT ，得 2TFPT  . 又 |||| 2PFPQ  ，所以 T 为线段 F2Q 的中点. 设点 Q 的坐标为（ yx , ），则        .2 ,2 yy cxx 因此      .2 ,2 yy cxx ① 由 aQF 2|| 1  得 .4)( 222 aycx  ② 将①代入②，可得 .222 ayx  ………………5 分 当 0|| PT 时，点（ a ，0）和点（－ a ，0）在轨迹上. 综上所述，点 T 的轨迹 C 的方程是 .222 ayx  ………………6 分 （Ⅲ）解法一：C 上存在点 M（ 00 , yx ）使 S= 2b 的充要条件是      .||22 1 , 2 0 22 0 2 0 byc ayx 由③得 ay || 0 ，由④得 2 0| | .by c  所以，当 c ba 2  时，存在点 M，使 S= 2b ； 当 c ba 2  时，不存在满足条件的点 M. …………………8 分 当 c ba 2  时， ),(),,( 002001 yxcMFyxcMF  ， 由 2222 0 22 021 bcaycxMFMF  ， 212121 cos|||| MFFMFMFMFMF  ， 2 2121 sin||||2 1 bMFFMFMFS  ，得 .2tan 21  MFF ……10 分 解法二： 由上解法当 c ba 2  时，存在点 M，使 S= 2b ； 当 c ba 2  时，不存在满足条件的点 M. ………………………8 分 当 2ba c  时， 1 0 0 F M yk x c   ， 2 0 0 F M yk x c   ，由 1 2 2F F a ，知 1 2 90F MF   ， 所以 0 0 2 0 0 0 1 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2tan 2 1 y y x c x c cy bF MF y b b x c         . ………10 分 ③ ④