高二数学下学期期末模拟试题

高二数学下学期期末模拟试题 本试卷满分 150 分，答题时间 120 分钟 姓名 班级 分数 一．选择题：（每小题 5 分，共 50 分） 1．设 a、b、c 是三个实数，那么“a>b”是“ 22 bcac  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设向量 , ,a b c    不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是（ ） A． , ,a b a b a       B． , ,a b a b b       C． , ,a b a b c       D． , ,a b c a b c        3．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ） A． 9 1 B． 12 1 C． 15 1 D． 18 1 4．当 x∈ R 时，可得到不 等 式 x＋ x 1  2，x＋ 22 4 22 4 x xx x   3，由 此可推广为 x＋ nx P  n ＋1，其中 P 等于( ) A． nn B． nn )1(  C． 1nn D． nx 5．已知两定点    2,0 , 1,0A B ，如果动点 P 满足 2PA PB ，则点 P 的轨迹所包围的图形 的面积等于（ ） A． B． 4 C．8 D．9 6．将 1，2，3，…，9 这 9 个数字填在如图中的 9 个空格中，要求每一行从左到右， 每一列从上到下依次增大．当 3，4 固定在图中位置时，填写空格的方法种数是（ ） A．6 B．12 C．18 D．24 7．如图，正方体 AC1 的棱长为 1，过点 A 作平面 A1BD 的垂线，垂足为点 H．则以下命题中， 错误．．的命题是（ ） A．点 H 是△A1BD 的垂心 B．AH 垂直平面 CB1D1 C．AH 的延长线经过点 C1 D．直线 AH 和 BB1 所成角为 45° 8．已知集合  ZxxxP  ,81| ，直线 12  xy 与双曲线 122  nymx 有且只有一个公 3 4 共点，其中 Pnm , ，则满足上述条件的双曲线共有（ ） A．2 条 B．3 条 C．4 条 D．以上答案都不对 9．如果 ∥  ，AB 与 AC 是夹在平面 与  之间的两条线段， AB AC 且 2AB  ，直线 AB 与平面 所成的角为30 ，那么线段 AC 长的取值范围是（ ） A． 2 3 4 3,3 3       B． 1, C． 2 31, 3       D． 2 3 ,3     10．设椭圆 )0(12 2 2 2 ＞＞ba b y a x  的离心率为 e＝ 2 1 ，右焦点为 F(c，0)，方程 ax2＋bx－c＝0 的两个实根分别为 x1 和 x2，则点 P (x1，x2) 的位置（ ） A．必在圆 x2＋y2＝2 内 B．必在圆 x2＋y2＝2 上 C．必在圆 x2＋y2＝2 外 D．以上三种情形都有可能 答 题 卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二．填空题：（每小题 5 分，共 25 分） 11．用一张长宽分别为 8cm、4cm 的矩形硬纸板折成正四棱柱侧面，则四棱柱的对角线长 为___ _ cm 12．已知点 P(x, y)的坐标满足条件       1 4 x xy yx ，点 O 为坐标原点，那么|PO|的最小值等于 _________，最大值等于____________。 13．过抛物线 2 2 ( 0)x py p  的焦点 F 作倾角为30 的直线，与抛物线分别交于 A 、B 两点（ A 在 y 轴左侧），则 AF FB  。 14．一个类似于杨辉三角的三角形数组（如下图）满足：（1）第 1 行只有 1 个数 1； （2）当 n≥2 时，第 n 行首尾两数均为 n; (3)当 n>2 时，中间各数都等于它肩上两数之和，则第 n 行（n≥2）第 2 个数是______________ _。 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 ………………………………………………………… 15．已知 O 为异面直线 a、b 外任一点，给出下列命题： ①过点 O 可以作一条直线与 a、b 都相交； ②过点 O 可以作一个平面与 a、b 都平行；③过 点 O 可以作一条直线与 a、b 都垂直； ④过点 O 可以作一个平面与 a、b 都垂直。 其中真命题的编号是 （写出所有正确命题的编号）。 三．解答题： 16．（本小题满分 12 分）已知函数        12 1 )( 2c x cx xf )1( )0(   xc cx ,且 8 9)( 2 cf ． （1）求常数 c 的值；（2）解不等式 18 2)( xf 。 17．（本小题满分 12 分）在 1，2，3，，…，30，这 30 个数中。（1）每次取互不相等的 2 个数， 使其积为 7 的倍数，有多少种取法？(2）每次取互不相等的 3 个数，使其和是 4 的倍数，有多少 种取法？ 18．（本小题满分 12 分）四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面 SBC  底面 ABCD ．已知 45ABC  ∠ ， 2AB  ， 2 2BC  ， 3SA SB  ．（Ⅰ）证明 SA BC ；（Ⅱ） 求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小． 19．（本小题满分 12 分）如图，设 ABCDEF 为正六边形，一只青 蛙从顶点 A 开始随机跳动，每次随机地跳到与它所在顶点相邻的 两顶点之一，每次按顺时针方向跳动的概率为 3 2 ． (1)求青蛙从 A 点开始经过 3 次跳动所处的位置为 D 点概率； (2)求青蛙从 A 点开始经过 4 次跳动所处的位置为 E 点概率． A B C D F E D BC A S 20．（本小题满分 13 分）如图，正三棱柱 1 1 1ABC A B C 的所有棱长都为 2 ，D 为 1CC 中点 （Ⅰ） 求 证 ： 1AB ⊥ 平 面 1A BD ；（ Ⅱ ） 求 二 面 角 1A A D B  的大小；（Ⅲ）求点C 到平面 1A BD 的 距离 21．（本小题满分 14 分）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 6 3 ，短轴一个端点到右焦 点的距离为 3 ．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设直线 l 与椭圆 C 交于 A B， 两点，坐标原点O 到 直线 l 的距离为 3 2 ，求 AOB△ 面积的最大值． A B C D A 1 B 1 C 1 湖北省安陆一中高二下学期期末模拟试题参考答案 一．选择题：（每小题 5 分，共 50 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B A B A D C D A 二．填空题：（每小题 5 分，共 25 分） 11． 2 6 66或 12． 2, 10 13． 3 1 14． ( 1) 12 n n   15．③ 三．解答题： 16．解：（1）因为 10  c 所以 10 2  cc 又由于 8 9)( 2 cf 。所以 8 912 cc 可得 2 1c （2）由（1）知          )12 1(12 )2 10(12 1 )( 4 ＜ ＜＜ x xx xf x 当 2 10  x 时， 4 218 212 1  xx ，因为 2 1 4 2  ，所以 2 1 4 2x  当 12 1  x 时， 8 518 212 4  xx ，所以 8 5 2 1  x 综上得不等式的解集为 2 5| 4 8x x        17．解：（1）被 7 整除的数有 7，14，21，28 四个，不被 7 整除的有 26 个，满足题意的取法共 有 2 1 1 4 4 26C C C ＝6+104=110 （2）记 iA 表示被 4 除余i 的数组成的集合（i ＝0，1，2，3） }28,24,20,16,12,8,4{0 A 共有 7 个元素， }29,25,21,17,13,9,5,1{1 A 共有 8 个元素 }30,26,22,18,14,10,6,2{2 A 共有 8 个元素， }27,23,19,15,11,7,3{3 A 共有 7 个元素 满足题意的取法：1、在 0A 中取 3 个，有 3 7C ＝35 种。 2、在 0A 中取 1 个、 2A 中取 2 个，有 2 8 1 7CC ＝196 种。 3、在 0A 中取 1 个、 1A 和 3A 中各取 1 个，有 1 7 1 8 1 7 CCC ＝392 种。 4、在 1A 中取 2 个、 2A 中取 1 个，有 1 8 2 8 CC ＝224 种 5、在 2A 中取 1 个、 3A 中取 2 个，有 2 7 1 8CC ＝168 种。故共有 1015 种取法。 18．解：（Ⅰ）作 SO BC⊥ ，垂足为O ，连结 AO ，由侧面 SBC ⊥底面 ABCD ，得 SO⊥底面 ABCD ．因为 SA SB ，所以 AO BO ，又 45ABC  ∠ ，故 AOB△ 为等腰直角三角形， AO BO⊥ ，由三垂线定理，得 SA BC⊥ ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 SA BC⊥ ，依题设 AD BC∥ ， 故 SA AD⊥ ，由 2 2AD BC  ， 3SA  ， 2AO  ，得 1SO  ， 11SD  ． SAB△ 的 面 积 2 2 1 1 1 22 2S AB SA AB      ．连结 DB ， 得 DAB△ 的面积 2 1 sin135 22S AB AD  设 D 到 平 面 SAB 的 距 离 为 h ， 由 于 D SAB S ABDV V  ，得 1 2 1 1 3 3h S SO S  ，解得 2h  ． 设 SD 与平面 SAB 所成角为 ，则 2 22sin 1111 h SD     ．所以，直线 SD 与平面 SBC 所成的我为 22arcsin 11 ． 解法二：（Ⅰ）作 SO BC⊥ ，垂足为 O ，连结 AO ， 由 侧 面 SBC ⊥ 底 面 ABCD ， 得 SO⊥ 平 面 ABCD ． 因 为 SA SB ， 所 以 AO BO ． 又 45ABC  ∠ ， AOB△ 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， AO OB⊥ ．如图，以O 为坐标原点，OA 为 x 轴正 向 ， 建 立 直 角 坐 标 系 O xyz ， ( 2 0 0)A ，， ， (0 2 0)B ， ， ， (0 2 0)C ， ， ， (0 01)S ，， ， ( 2 0 1)SA   ，， ， (0 2 2 0)CB  ， ， ， 0SA CB    ，所以 SA BC⊥ ． （Ⅱ）取 AB 中点 E ， 2 2 02 2E       ， ， ，连结 SE ，取 SE 中点G ，连结 OG ， 2 2 1 4 4 2G       ， ， ． O D BC A S D B C A S O E G y x z 2 2 1 4 4 2OG       ， ， ， 2 2 12 2SE       ， ， ， ( 2 2 0)AB   ， ， ． 0SE OG  ， 0AB OG  ， OG 与平面 SAB 内两条相交直线 SE ， AB 垂直．所以OG  平面 SAB ，OG 与 DS 的夹角记为  ， SD 与平面 SAB 所成的角记为  ，则 与  互余． ( 2 2 2 0)D ， ， ， ( 2 2 21)DS   ， ， ． 22cos 11 OG DS OG DS     ， 22sin 11   ， 所以，直线 SD 与平面 SAB 所成的角为 22arcsin 11 ． 19．解：设青蛙顺时针跳动 1 次为事件 A，逆时针跳动 1 次为事件 B，则， P(A)＝ 3 2 ，P(B) ＝1－P(A)＝ 3 1 。 青蛙从 A 点开始经过 3 次跳动到达 D 点有两种方式：顺时针跳动 3 次或逆时针跳动 3 次，故 所求概率为 P(A·A·A)＋P(B·B·B)＝ 3 1)3 1()3 2( 33  (2)青蛙从 A 点开始经过 4 次跳动到达 E 点有两种方式：逆时针跳动 4 次，或顺时针跳动 3 次而逆时针跳动 1 次，逆时针跳动 4 次的概率为 4)3 1( ，顺时针跳动 3 次而逆时针跳动 1 次的概 率为 )3 1()3 2( 33 4C 。故所求概率为 27 11)3 1()3 2()3 1( 33 4 4  C ． 20．解法一：（Ⅰ）取 BC 中点O ，连结 AO ABC△ 为正三角形， AO BC ⊥ 正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，平面 ABC ⊥平面 1 1BCC B ， AO ⊥ 平面 1 1BCC B 连结 1B O ，在正方形 1 1BB C C 中， O D， 分别为 1BC CC， 的中点， 1B O BD ⊥ ， 1AB BD ⊥ 在正方形 1 1ABB A 中， 1 1AB A B⊥ ， 1AB ⊥平面 1A BD （Ⅱ）设 1AB 与 1A B 交于点G ，在平面 1A BD 中，作 1GF A D⊥ 于 F ，连结 AF ，由（Ⅰ）得 1AB ⊥ 平面 1A BD 1AF A D ⊥ ， AFG∠ 为二面角 1A A D B  的平面角 在 1AA D△ 中，由等面积法可求得 4 5 5AF  ，又 1 1 22AG AB  ， A B C D A 1 B 1 C 1 F G o 2 10sin 44 5 5 AGAFG AF    ∠ 所以二面角 1A A D B  的大小为 10arcsin 4 （Ⅲ） 1A BD△ 中， 11 15 2 2 6A BDBD A D A B S    △， ， ， 1BCDS △ 在正三棱柱中， 1A 到平面 1 1BCC B 的距离为 3 设点C 到平面 1A BD 的距离为 d 由 1 1A BCD C A BDV V  得 1 1 133 3BCD A BDS S d △ △ ， 1 3 2 2 BCD A BD Sd S   △ △ 点C 到平面 1A BD 的距离为 2 2 解法二：（Ⅰ）取 BC 中点O ，连结 AO ABC△ 为正三角形， AO BC ⊥  在正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，平面 ABC ⊥ 平面 1 1BCC B ， AD ⊥平面 1 1BCC B 取 1 1B C 中点 1O ，以 O 为原点， OB  ， 1OO  ， OA  的方向为 x y z， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 (1 0 0)B ，， ， ( 11 0)D  ，， ， 1(0 2 3)A ，， ， (0 0 3)A ，， ， 1(1 2 0)B ，， ， 1 (1 2 3)AB   ，， ， ( 21 0)BD   ，， ， 1 ( 1 2 3)BA   ，， 1 2 2 0 0AB BD         ， 1 1 1 4 3 0AB BA        ， 1AB BD ⊥ ， 1 1AB BA  ⊥ 1AB ⊥ 平面 1A BD （Ⅱ）设平面 1A AD 的法向量为 ( )x y z ， ，n ( 11 3)AD    ，， ， 1 (0 2 0)AA  ，， AD  ⊥n ， 1AA ⊥n ， 1 0 0 AD AA      ， ， n n 3 0 2 0 x y z y      ， ， 0 3 y x z    ， ． 令 1z  得 ( 3 01)  ，，n 为平面 1A AD 的一个法向量 由（Ⅰ）知 1AB ⊥平面 1A BD ， 1AB 为平面 1A BD 的法向量 cos  n ， 1 1 1 3 3 6 42 2 2 ABAB AB          n n 二面角 1A A D B  的大小为 6arccos 4 （Ⅲ）由（Ⅱ）， 1AB  为平面 1A BD 法向量， 1( 2 0 0) (1 2 3)BC AB      ，，， ，， 点C 到平面 1A BD 的距离 1 1 2 2 22 2 BC AB d AB        A B C D x A 1 B 1 C 1 O 1 o z y 21．解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 c ，依题意 6 3 3 c a a     ， ， ， 1b  ，所求椭圆方程为 2 2 13 x y  ． （Ⅱ）设 1 1( )A x y， ， 2 2( )B x y， ．（1）当 AB x⊥ 轴时， 3AB  ． （2）当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y kx m  ． 由 已 知 2 3 21 m k   ， 得 2 23 ( 1)4m k  ． 把 y kx m  代 入 椭 圆 方 程 ， 整 理 得 2 2 2(3 1) 6 3 3 0k x kmx m     ， 1 2 2 6 3 1 kmx x k     ， 2 1 2 2 3( 1) 3 1 mx x k   ． 2 2 2 2 1(1 )( )AB k x x    2 2 2 2 2 2 2 36 12( 1)(1 ) (3 1) 3 1 k m mk k k        2 2 2 2 2 2 2 2 2 12( 1)(3 1 ) 3( 1)(9 1) (3 1) (3 1) k k m k k k k        2 4 2 2 2 12 12 123 3 ( 0) 3 419 6 1 2 3 69 6 k kk k k k            ≤ ． 当且仅当 2 2 19k k  ，即 3 3k   时等号成立．当 0k  时， 3AB  ， 综上所述 max 2AB  ．当 AB 最大时， AOB△ 面积取最大值 max 1 3 3 2 2 2S AB    ．