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1．设 f(x)＝
3, 10{ 5 , 10
x x
f f x x
，则 f(5)的值是( )
A. 24 B. 21 C. 18 D. 16
2．设集合 2 2,A x x x R ， 2| , 1 2B y y x x ，则 RC A B 等于
（ ）.
A． R B． , 0x x R x C． 0 D．
3．已知全集 ,2,3,4,5U ，集合 1,2,5 , 1,3,5UA B ð ，则 A B ( )
A. 5 B. 2 C. 1,2,4,5 D. 3,4,5
4．已知函数 3 3f x x x ，记 1
0.1 0.350.6 , 0.7 , 0.9a f b f c f
，
则 , ,a b c 大小关系是（ ）
A. b a c B. a c b C. c a b D. b c a
5．下列函数为偶函数的是( ).
A. 2 1f x x x
B. 2logf x x
C. 4 4x xf x D. 2 2f x x x
6．已知幂函数 y f x 的图象过点 2, 2 ，则此函数的解析式是
A、 2y x B、 2
2y x C、 y x D、 2
1y x
7．函数 2 , 0
2 , 0
x
x
xy x
的图象为（ ）
8．下列式子中，正确的是（ ）
A． R R
B． | 0,Z x x x Z
C．空集是任何集合的真子集
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D．
9．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，
火车到达下一站停下，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶．下
列图象可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是（ ）
10．以正弦曲线 siny x 上一点 P 为切点得切线为直线 l ，则直线 l 的倾斜角的范围是
（ ）
A. 30, ,4 4
B. 0, C. 3,4 4
D. 30, ,4 2 4
11．下列结论错误的是
（A）“由 2 21 3 2 1 3 5 3 ， 猜想
21 3 5 (2 1)n n ”是归纳推理
（B）合情推理的结论一定正确
（C）“由圆的性质类比出球的有关性质”是类比推理
（D）“三角形内角和是 180°，四边形内角和是 360°，五边形内角和是 540°，由此
得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°”是归纳推理
12．设曲线 y lnx 在 2x 处的切线与直线 1 0ax y 垂直，则 a 的值为（ ）
A. 2 B. 2 C. 1
2 D. 1
2
13．设 f x 是连续的偶函数,且当 0x 时 f x 是单调函数,则满足 3
4
xf x f x
的所有 x 之和为( )
A. 3 B. 3 C. 8 D. 8
14．复数 3 43 4 3
iz i
，则| |z 等于（ ）
A ． 3 B ． 10 C ． 13
D．4
15．已知全集U R ，集合 0,1,2A ， 2,3,4B ，如图阴影部分所表示的集合
为（ ）．
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A. 2 B. 0,1 C. 3,4 D. 0,1,2,3,4
16． 0.9
0.7 1.1log 0.8, log 0.9, 1.1a b c 的大小关系是 （ ）
A. c a b B. a b c C. b c a D. c b a
17．已知 a>0，a 0，函数 y=ax 与 y=loga(-x)的图象只能是( )
18．函数 3)1(log2)( xxf a
x 恒过定点为（ ）
A． )3,0( B． )4,0( C． )2
7,1( D． )4,1(
19．下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）
A. 2
,f x x g x x B. 3 3,y x y x
C.
2 11, 1
xf x x g x x
D. 2 22 1, 2 1f x x x f t t t
20．函数 f(x)＝1
3
x3－4x＋4 的极大值为( )
A. 28
3 B. 6 C. 26
3 D. 7
21．记函数 52 4
xf x x
的定义域为集合 A ， lg 5g x x a x 定义
域为集合 B ．
（Ⅰ）求集合 A ；（Ⅱ）若 A B ，求 a 的取值范围．
22．已知全集 U＝R，集合 M＝{x|x≤a－2 或 x≥a＋3}，N＝{x|－1≤x≤2}．
(1)若 0a ，求( U M )∩( U N )；
(2)若 ∩ ＝，求实数 的取值范围．
23．已知集合 2 3A x x , 3 7 8 2B x x x
求：（1） A B ； （2） ( )RC A B
24．已知函数 bxaxxxf 23 3 ，其中 ba, 为实数.
(Ⅰ) 若 xf 在 1x 处取得的极值为 2 ，求 ba, 的值;
（Ⅱ）若 xf 在区间 2,1 上为减函数，且 ab 9 ，求 a 的取值范围.
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25．已知函数 )0(1ln)( xaxxxf
（1）若对任意的 0)(),,1[ xfx 恒成立，求实数 a 的最小值.
（2）若 2
5a
且关于 x 的方程
bxxf 2
2
1)(
在 1,4 上恰有两个不相等的实数根，
求实数b 的取值范围；
（ 3 ） 设 各 项 为 正 的 数 列 { }na 满 足 ：
*
1 11, ln 2, .n n na a a a n N 求 证 ：
12 n
na
26．（本小题满分 14 分）
27．选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x = 2cosθ
y = 3sinθ （θ为参数），直线 l 经过点
P 1,1 ，斜率为3
4
，直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点.
（1）写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程；
（2）求 PA − PB 的值.
28．已知函数 (2x 1) 3x 2f ，且 (t) 4f ，则t .
29．若定义域为 ]4,2[ aa 的函数 axkxaxf )1()2()( 2 是偶函数，则
|)(| xfy 的递减区间是 ．
30．已知函数
4),1(
4,)2
1()(
xxf
xxf
x
，则 )3log2( 2f 的值为
31．设 2 iz （i 是虚数单位），则| |z = ．
32．已知集合
NxNxA 6
8| ，试用列举法表示集合 A =
33．学校艺术节对同一类的 , , ,A B C D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，
甲、乙、丙、丁四位同学对四项参赛作品预测如下：
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甲说：“是C 或 D 作品获得一等奖”
乙说：“ B 作品获得一等奖”
丙说：“ ,A D 两项作品未获得一等奖”
丁说：“是C 作品获得一等奖”
若这四位同学中有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是__________．
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参考答案
1．A
【解析】∵f(x)＝
3, 10{ 5 , 10
x x
f f x x
∴f(5)= 5 5 10f f f f ，而 10 15 18 21f f f f
∴f(5)= 10 21 24f f f
故选：A
2．B
【解析】A=[0，4]， [ 4,0]B ，所以 {0}R RC A B C ，故选 B.
3．B
【解析】因为全集 ,2,3,4,5U ，所以由 1,3,5U B ð ，得 = 2,4B ，又集合 1,2,5A ，
故 2A B ，故选 B.
4．A
【解析】 3 3f x x x
2
2
3 , 3
{
3 , 3
x x
x x
所以函数 f x 在R 上单调递减；
1
50.7
0.1 0.1 0.30.49 0.6 1 0.9 0 ，故
1
50.7f
< 0.10.6f < 0.30.9f 即
b a c
故选 A
5．D
【解析】试题分析：对于函数 2 1f x x x
,不满足 ，所以 2 1f x x x
不是偶函数；对于函数 2logf x x ，不满足 ，所以 2logf x x 也不
是偶函数；对于 4 4x xf x ，满足，有 ，满足 ，
所以函数 4 4x xf x 为奇函数，故选 D
考点：函数的奇偶性.
6．C
【解析】
7．C
【解析】
试题分析：由题意得，当 0x 时， 2xf x ；当 0x 时， 12 ( )2
x xf x ，根据指
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数函数的图象可知，函数 f x 的图象如 C 选项所示，故选 C．
考点：指数函数的图象．
【易错点晴】本题考查了指数函数的图象及其应用，属于基础题，解答本题的关键在于根据
实数指数幂的运算化简函数 f x 为指数函数的形式，利用指数的函数的图象，得到 f x 的
图象，其中熟记指数函数的图象是本题的一个易错点．
【答案】D
【解析】
试题分析：由 R R ， | 0,Z x x x Z ， ，故 A,B,C 错误， 正确，
选 D．
考点：元素、集合的关系
9．A
【解析】
试题分析：根据题意，符合的图象应为选项 A。注意纵轴表示的是速度。
考点：函数图象。
10．A
【解析】∵ siny x
∴ ' cosy x
∵ cos 1,1x
∴切线的斜率范围是 1,1
∴倾斜角的范围是 30, ,4 4
故选 A
11．B
【解析】解:因为
（A）“由 2 21 3 2 1 3 5 3 ， 猜想
21 3 5 (2 1)n n ”是归纳推理，成立
（B）合情推理的结论一定正确，错误
（C）“由圆的性质类比出球的有关性质”是类比推理，成立
（D）“三角形内角和是 180°，四边形内角和是 360°，五边形内角和是 540°，由此得出
凸多边形的内角和是(n－2)·180°”是归纳推理，成立。
12．A
【解析】 由 1y nx ，则 1f x x
，所以 12 2f ，
又切线与直线 1 0ax y 垂直，即 1 12 a ，所以 2a ，故选 A.
13．C
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【解析】试题分析：根据已知函数 f x 是连续的偶函数,且当 0x 时 f x 是单调函数，
且 有 3
4
xf x f x
， 则 说 明 而 来 3
4
x xx
， 那 么 解 方 程 可 知 满 足 方 程 的 解
3 3,4 4
x xx xx x
求解得到方程的根满足 2 23 3 0, 5 3 0x x x x ，那么结合韦
达定理可知四个根的和为-8，故选 C.
考点：本试题考查了函数与方程的问题。
点评：对于方程根的求解，要结合函数的偶函数性质的对称性质，以及函数的单调性来分析
得到结论，属于基础题。
视频
14．B
【解析】
试题分析：由题意得
3 4 4 33 43 3 34 3 4 3 4 3
i iiz ii i i
，所以 2 23 1 10z ，
故选 B．
考点：复数的运算．
15．B
【解析】阴影部分表示的集合为 UA C B ．
∵ 0,1,2A ， 2,3,4B ，
∴ 0,1UA C B ．
故选 B ．
16．A
【解析】试题分析：因为 0.70 log 0.8 1a ， 1.1log 0.9 0b ， 0.91.1 1c ，所以
c a b ，故选 A．
【方法点睛】（1）比较两个指数幂或对数值大小的方法：①分清是底数相同还是指数（真
数）相同；②利用指数、对数函数的单调性或图像比较大小；③当底数、指数（真数）均
不相同时，可通过中间量过渡处理；（2）多个指数幂或对数值比较大小时，可对它们先进行
0,1 分类，然后在每一类中比较大小．
考点：函数的单调性．
17．B
【解析】略
18．B
【解析】
试题分析：由题意可得，当 0x 时， 4)0( f 为定值，所以 )(xf 恒过点（0，4），故选 B
考点：1.指数函数的性质；2.对数函数的性质.
19．D
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答案第 4页，总 9页
【解析】 f x x 的定义域为 R， 2
g x x 的定义域为 0, ，定义域不同，A
不是同一函数； y x 与 3 3y x x 对应法则不同，B 不是同一函数； 1f x x 定
义域为 R，
2 1
1
xg x x
定义域为 1x R x ，定义域不同，C 不是同一函数；D.
2 22 1, 2 1f x x x f t t t 定义域相同，对应法则也相同，时同一函数，选 D.
20．A
【解析】y′=x2-4=0，得 x=±2.
当 x＜-2 时，y′＞0；
当-2＜x＜2 时，y′＜0；
当 x＞2 时，y′＞0.
∴当 x=-2 时，y 极大值=28
3
，故选 A.
21．（Ⅰ） {3 4}A x ；（Ⅱ） 4a .
【解析】【试题分析】（1）先解不等式 52 04
x
x
求出集合 {3 4}A x ；（2）对 5a与
的大小关系进行分类讨论，分别求出集合当 5a 时， ,5 ,B a 与当 5a 时，
, 5,B a ，然后数形结合建立不等式 4a 求出实数 a 的取值范围。
解：（Ⅰ）由 52 04
x
x
得 {3 4}A x
（Ⅱ）当 5a 时， ,5 ,B a 满足 A B
当 5a 时， , 5,B a
由 A B 得 4a
综上，实数 a 的取值范围为 4a
22．（1）{x|－2＜x＜－1 或 2＜x＜3}；（2）{a|－1＜a＜1}
【解析】结合数轴求解.
解：(1)当 a＝0 时，M＝{x|x≤－2 或 x≥3}，
所以 CUM＝{x|－2＜x＜3}，CUN＝{x|x＜－1 或 x＞2}，
所以(CUM)∩(CUN)＝{x|－2＜x＜－1 或 2＜x＜3}． (5 分)
(2)若 M∩N＝， ，解得－1＜a＜1．
故当 M∩N＝时，实数 a 的取值范围是{a|－1＜a＜1}． (10 分)
23．（1） A B = 2 3x x （2） 3, 3x x x 或
【解析】
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试题分析：（1） 2 3A x x 3B x x 4 分
A B = 2 3x x 7 分
（2） RC A = 2, 3x x x 或 10 分
( )RC A B = 3, 3x x x 或 13 分
考点：集合交集和补集
点评：解决关键是根据数轴法来表示集合，运用交集和补集的定义得到结论，属于基础题。
24．（1） ( )f x 无极值;（2） 20 5
3 3c ，或 9c
【解析】
试 题 分 析 ：（ 1 ） 由 题 意 2( ) 2 ,f x x ax a 假 设 ( 1) 0f 得 1a 此 时
2 2( ) 2 1 ( 1) 0,f x x x x ， 所以 ( )f x 无极值
（2）设 ( ) ( )f x g x ，则有 3 21 3 03 x x x c ， 3 21 33c x x x
设 3 21( ) 33F x x x x ， ( )G x c ，令 2( ) 2 3 0F x x x 解得 1x 或 3x
当 ( 3, 1),(3,4)x 时 ( )F x 为增函数，当 ( 1,3)x 时 ( )F x 为减函数
当 1x 时， ( )F x 取得极大值 5( 1) 3F ，当 3x 时， ( )F x 取得极小值 (3) 9F ，且
20( 3) 9, (4) 3F F 函数 ( )G x 与 ( )F x 有两个公共点所以 20 5
3 3c ，或 9c
考点：利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性。
点评：中档题，利用导数研究函数的极值，一般遵循“求导数、求驻点、研究导数的正负、
确定极值”，利用“表解法”，清晰易懂。研究曲线有公共点的问题，往往利用导数研究函数
图象的大致形态加以解答。
25．（1） 1min a ； （2） 122ln b ； （3） 2 1n
na
【解析】
试题分析：（I）依题意，对任意的 0)(),,1[ xfx 恒成立，即 ln 1 0x ax 在 x 1
恒成立．则 a ln 1x
x
.
而 '
2
ln 1 ln( )x x
x x
0，所以， ln 1xy x
在[1, ) 是减函数， ln 1xy x
最大值为 1，
所以， 1a ，实数 a 的最小值。
（II）因为 2
5a
，且
bxxf 2
2
1)(
在 1,4 上恰有两个不相等的实数根，
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答案第 6页，总 9页
即 21ln 1 2x ax x b 在 1,4 上恰有两个不相等的实数根，
设 g（x）= 21ln 12x x ax b ，则 g'（x）=
21 1 (2 1)( 2)
2
x ax x xx ax x x
列表：
X (0, 1
2
) 1
2
( 1
2
,2) 2 (2,4)
' ( )g x + 0 - 0 +
( )g x 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数
所以，g（x）极大值=g（ 1
2
）=17
8
-ln2-b，g（x）极大值=g（2）=ln2-b-2， (1) 1g b ，
g（4）=2ln2-b-1
因为，方程 g（x）=0 在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．
则
g 1 0
g 2 0
g 4 0
＜ ，解得 122ln b ．
（III）设 h（x）=lnx-x+1，x∈[1，+∞），则 h'（x）= 1
x
-1≤0
∴h（x）在[1，+∞）为减函数，且 h（x）max=h（1）=0，故当 x≥1 时有 lnx≤x-1．
∵a1=1，假设 ak≥1（k∈N*），则 ak+1=lnak+ak+2＞1，故 an≥1（n∈N*）
从而 an+1=lnan+an+2≤2an+1∴1+an+1≤2（1+an）≤…≤2n（1+a1）
即 1+an≤2n，∴an≤2n-1
考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极（最）值，研究函数的图象和性质，数
列不等式的证明。
点评：难题，不等式恒成立问题，常常转化成求函数的最值问题。（II）（III）两小题，均
是通过构造函数，研究函数的单调性、极值（最值），认识函数图象的变化形态等，寻求得
到解题途径。有一定技巧性，对学生要求较高。
26．
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【解析】略
27．（1）见解析（2）20
7
【解析】分析：（1）消参得到曲线 C 的普通方程，代直线的参数方程得到直线 l 的参数方程.(2)
利用直线参数方程求 PA − PB 的值.
详解：（Ⅰ）曲线 C： x = 2cosθ
y = 3sinθ (θ为参数)
则 x
2
2
+ y
3
2
= cos2θ + sin2θ = 1，即x2
4 + y2
3 = 1
直线 l 的参数方程为：
x = 1 + 4
5 t
y = 1 + 3
5 t
t 为参数 .
（Ⅱ）直线 l：
x = 1 + 4
5 t
y = 1 + 3
5 t
t 为参数 ，将直线 l 代入x2
4 + y2
3 = 1 中，
得 84t2 + 240t − 125 = 0
由于12
4 + 12
3 < 1，故点 P(1,1)在椭圆的内部，因此直线 l 与曲线 C 的交点 A,B 位于点 P 的两侧，
即点 A,B 所对应的 t 值异号.设点 A 的对应值为t1，点 B 的对应值为t2，
则t1 + t2 =− 20
7
，t1t2 =− 125
84
故 PA − PB = t1 − t2 = t1 + t2 = − 20
7 = 20
7
.
点睛：（1）本题主要考查曲线的参数方程普通方程的互化，考查直线的参数方程，意在考查
学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 直线参数方程中参数 t 的几何意义是这样的：如果点
A 在定点 P 的上方，则点 A 对应的参数tA就表示点 A 到点 P 的距离|PA|,即tA = |PA|.如果点
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答案第 8页，总 9页
B 在定点 P 的下方，则点 B 对应的参数tB就表示点 B 到点 P 的距离|PB|的相反数，即tB =− |PB|.
（2）由 直线参数方程中参数的几何意义得：如果求直线上 A,B 两点间的距离|AB|,不管 A,B
两点在哪里，总有|AB| = |tA − tB|.
28． 5
【解析】
试题分析：令 ,12t x 则
2
1 tx ，所以 22
13)(f tt ，即
2
7
2
3)( ttf ，令
42
7
2
3 t ，所以 5t .
考点：函数的解析式.
29． 3, 1 , 0,1
【解析】
试题分析：因为 axkxaxf )1()2()( 2 是偶函数，所以定义域关于原点对称，即
2 ( 4)a a ，即 1a ，此时 2( ) ( 1) 1f x x k x ，由 ( )f x 是偶函数，所以此
时 1 0k ，即 1k ，因此 2( ) 1f x x ， 所以 |)(| xfy 在 3, 1 和 0,1 上是减
函数，所以答案应填： 3, 1 , 0,1 ．
考点：1、偶函数的性质；2、函数图象的变换；3、函数的增减性．
【方法点晴】本题主要考查的是偶函数的性质、函数的增减性及二次函数图象的变换，属于
中档题．本由题关键是利用函数的偶函数性质，分析函数定义域关于原点对称，从而分析出
函数解析式，在解此类题目时，特别注意函数定义域的问题，否则很容易出错，然后由
( )y f x 图象得 | ( ) |y f x ，再根据图象写出递减区间．
30．
24
1
【 解 析 】 2 2 23 2 log 2 2 log 3 2 log 4 4 ， 所 以
2 23 log 3 log 33
2 2
1 1 1 1 1(2 log 3) (3 log 3) ( ) ( ) ( )2 2 2 8 3 24f f
31． 5
【解析】
试题分析： 2| | 2 1 5.Z
考点：复数模的定义
【答案】{2,4,5}
【解析】
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答案第 9页，总 9页
试题分析：依题意 8, 6x N Nn
，则 6 n 为 8 的正约数，故 6 1,2,4,8n 经检验
2,4,5n ．
考点：列举法表示集合
33． 1
12
【解析】若 A 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，
若 B 为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，
若 C 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，
若 D 为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，
故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 B
故答案为：B
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