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1.设 f(x)=
3, 10{ 5 , 10
x x
f f x x
,则 f(5)的值是( )
A. 24 B. 21 C. 18 D. 16
2.设集合 2 2,A x x x R , 2| , 1 2B y y x x ,则 RC A B 等于
( ).
A. R B. , 0x x R x C. 0 D.
3.已知全集 ,2,3,4,5U ,集合 1,2,5 , 1,3,5UA B ð ,则 A B ( )
A. 5 B. 2 C. 1,2,4,5 D. 3,4,5
4.已知函数 3 3f x x x ,记 1
0.1 0.350.6 , 0.7 , 0.9a f b f c f
,
则 , ,a b c 大小关系是( )
A. b a c B. a c b C. c a b D. b c a
5.下列函数为偶函数的是( ).
A. 2 1f x x x
B. 2logf x x
C. 4 4x xf x D. 2 2f x x x
6.已知幂函数 y f x 的图象过点 2, 2 ,则此函数的解析式是
A、 2y x B、 2
2y x C、 y x D、 2
1y x
7.函数 2 , 0
2 , 0
x
x
xy x
的图象为( )
8.下列式子中,正确的是( )
A. R R
B. | 0,Z x x x Z
C.空集是任何集合的真子集
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D.
9.一列货运火车从某站出发,匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶,过了一段时间,
火车到达下一站停下,装完货以后,火车又匀加速行驶,一段时间后再次匀速行驶.下
列图象可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是( )
10.以正弦曲线 siny x 上一点 P 为切点得切线为直线 l ,则直线 l 的倾斜角的范围是
( )
A. 30, ,4 4
B. 0, C. 3,4 4
D. 30, ,4 2 4
11.下列结论错误的是
(A)“由 2 21 3 2 1 3 5 3 , 猜想
21 3 5 (2 1)n n ”是归纳推理
(B)合情推理的结论一定正确
(C)“由圆的性质类比出球的有关性质”是类比推理
(D)“三角形内角和是 180°,四边形内角和是 360°,五边形内角和是 540°,由此
得出凸多边形的内角和是(n-2)·180°”是归纳推理
12.设曲线 y lnx 在 2x 处的切线与直线 1 0ax y 垂直,则 a 的值为( )
A. 2 B. 2 C. 1
2 D. 1
2
13.设 f x 是连续的偶函数,且当 0x 时 f x 是单调函数,则满足 3
4
xf x f x
的所有 x 之和为( )
A. 3 B. 3 C. 8 D. 8
14.复数 3 43 4 3
iz i
,则| |z 等于( )
A . 3 B . 10 C . 13
D.4
15.已知全集U R ,集合 0,1,2A , 2,3,4B ,如图阴影部分所表示的集合
为( ).
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A. 2 B. 0,1 C. 3,4 D. 0,1,2,3,4
16. 0.9
0.7 1.1log 0.8, log 0.9, 1.1a b c 的大小关系是 ( )
A. c a b B. a b c C. b c a D. c b a
17.已知 a>0,a 0,函数 y=ax 与 y=loga(-x)的图象只能是( )
18.函数 3)1(log2)( xxf a
x 恒过定点为( )
A. )3,0( B. )4,0( C. )2
7,1( D. )4,1(
19.下列各组函数中,表示同一函数的是 ( )
A. 2
,f x x g x x B. 3 3,y x y x
C.
2 11, 1
xf x x g x x
D. 2 22 1, 2 1f x x x f t t t
20.函数 f(x)=1
3
x3-4x+4 的极大值为( )
A. 28
3 B. 6 C. 26
3 D. 7
21.记函数 52 4
xf x x
的定义域为集合 A , lg 5g x x a x 定义
域为集合 B .
(Ⅰ)求集合 A ;(Ⅱ)若 A B ,求 a 的取值范围.
22.已知全集 U=R,集合 M={x|x≤a-2 或 x≥a+3},N={x|-1≤x≤2}.
(1)若 0a ,求( U M )∩( U N );
(2)若 ∩ =,求实数 的取值范围.
23.已知集合 2 3A x x , 3 7 8 2B x x x
求:(1) A B ; (2) ( )RC A B
24.已知函数 bxaxxxf 23 3 ,其中 ba, 为实数.
(Ⅰ) 若 xf 在 1x 处取得的极值为 2 ,求 ba, 的值;
(Ⅱ)若 xf 在区间 2,1 上为减函数,且 ab 9 ,求 a 的取值范围.
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25.已知函数 )0(1ln)( xaxxxf
(1)若对任意的 0)(),,1[ xfx 恒成立,求实数 a 的最小值.
(2)若 2
5a
且关于 x 的方程
bxxf 2
2
1)(
在 1,4 上恰有两个不相等的实数根,
求实数b 的取值范围;
( 3 ) 设 各 项 为 正 的 数 列 { }na 满 足 :
*
1 11, ln 2, .n n na a a a n N 求 证 :
12 n
na
26.(本小题满分 14 分)
27.选修 4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 x = 2cosθ
y = 3sinθ (θ为参数),直线 l 经过点
P 1,1 ,斜率为3
4
,直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点.
(1)写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程;
(2)求 PA − PB 的值.
28.已知函数 (2x 1) 3x 2f ,且 (t) 4f ,则t .
29.若定义域为 ]4,2[ aa 的函数 axkxaxf )1()2()( 2 是偶函数,则
|)(| xfy 的递减区间是 .
30.已知函数
4),1(
4,)2
1()(
xxf
xxf
x
,则 )3log2( 2f 的值为
31.设 2 iz (i 是虚数单位),则| |z = .
32.已知集合
NxNxA 6
8| ,试用列举法表示集合 A =
33.学校艺术节对同一类的 , , ,A B C D 四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,
甲、乙、丙、丁四位同学对四项参赛作品预测如下:
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甲说:“是C 或 D 作品获得一等奖”
乙说:“ B 作品获得一等奖”
丙说:“ ,A D 两项作品未获得一等奖”
丁说:“是C 作品获得一等奖”
若这四位同学中有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是__________.
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答案第 1页,总 9页
参考答案
1.A
【解析】∵f(x)=
3, 10{ 5 , 10
x x
f f x x
∴f(5)= 5 5 10f f f f ,而 10 15 18 21f f f f
∴f(5)= 10 21 24f f f
故选:A
2.B
【解析】A=[0,4], [ 4,0]B ,所以 {0}R RC A B C ,故选 B.
3.B
【解析】因为全集 ,2,3,4,5U ,所以由 1,3,5U B ð ,得 = 2,4B ,又集合 1,2,5A ,
故 2A B ,故选 B.
4.A
【解析】 3 3f x x x
2
2
3 , 3
{
3 , 3
x x
x x
所以函数 f x 在R 上单调递减;
1
50.7
0.1 0.1 0.30.49 0.6 1 0.9 0 ,故
1
50.7f
< 0.10.6f < 0.30.9f 即
b a c
故选 A
5.D
【解析】试题分析:对于函数 2 1f x x x
,不满足 ,所以 2 1f x x x
不是偶函数;对于函数 2logf x x ,不满足 ,所以 2logf x x 也不
是偶函数;对于 4 4x xf x ,满足,有 ,满足 ,
所以函数 4 4x xf x 为奇函数,故选 D
考点:函数的奇偶性.
6.C
【解析】
7.C
【解析】
试题分析:由题意得,当 0x 时, 2xf x ;当 0x 时, 12 ( )2
x xf x ,根据指
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答案第 2页,总 9页
数函数的图象可知,函数 f x 的图象如 C 选项所示,故选 C.
考点:指数函数的图象.
【易错点晴】本题考查了指数函数的图象及其应用,属于基础题,解答本题的关键在于根据
实数指数幂的运算化简函数 f x 为指数函数的形式,利用指数的函数的图象,得到 f x 的
图象,其中熟记指数函数的图象是本题的一个易错点.
【答案】D
【解析】
试题分析:由 R R , | 0,Z x x x Z , ,故 A,B,C 错误, 正确,
选 D.
考点:元素、集合的关系
9.A
【解析】
试题分析:根据题意,符合的图象应为选项 A。注意纵轴表示的是速度。
考点:函数图象。
10.A
【解析】∵ siny x
∴ ' cosy x
∵ cos 1,1x
∴切线的斜率范围是 1,1
∴倾斜角的范围是 30, ,4 4
故选 A
11.B
【解析】解:因为
(A)“由 2 21 3 2 1 3 5 3 , 猜想
21 3 5 (2 1)n n ”是归纳推理,成立
(B)合情推理的结论一定正确,错误
(C)“由圆的性质类比出球的有关性质”是类比推理,成立
(D)“三角形内角和是 180°,四边形内角和是 360°,五边形内角和是 540°,由此得出
凸多边形的内角和是(n-2)·180°”是归纳推理,成立。
12.A
【解析】 由 1y nx ,则 1f x x
,所以 12 2f ,
又切线与直线 1 0ax y 垂直,即 1 12 a ,所以 2a ,故选 A.
13.C
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【解析】试题分析:根据已知函数 f x 是连续的偶函数,且当 0x 时 f x 是单调函数,
且 有 3
4
xf x f x
, 则 说 明 而 来 3
4
x xx
, 那 么 解 方 程 可 知 满 足 方 程 的 解
3 3,4 4
x xx xx x
求解得到方程的根满足 2 23 3 0, 5 3 0x x x x ,那么结合韦
达定理可知四个根的和为-8,故选 C.
考点:本试题考查了函数与方程的问题。
点评:对于方程根的求解,要结合函数的偶函数性质的对称性质,以及函数的单调性来分析
得到结论,属于基础题。
视频
14.B
【解析】
试题分析:由题意得
3 4 4 33 43 3 34 3 4 3 4 3
i iiz ii i i
,所以 2 23 1 10z ,
故选 B.
考点:复数的运算.
15.B
【解析】阴影部分表示的集合为 UA C B .
∵ 0,1,2A , 2,3,4B ,
∴ 0,1UA C B .
故选 B .
16.A
【解析】试题分析:因为 0.70 log 0.8 1a , 1.1log 0.9 0b , 0.91.1 1c ,所以
c a b ,故选 A.
【方法点睛】(1)比较两个指数幂或对数值大小的方法:①分清是底数相同还是指数(真
数)相同;②利用指数、对数函数的单调性或图像比较大小;③当底数、指数(真数)均
不相同时,可通过中间量过渡处理;(2)多个指数幂或对数值比较大小时,可对它们先进行
0,1 分类,然后在每一类中比较大小.
考点:函数的单调性.
17.B
【解析】略
18.B
【解析】
试题分析:由题意可得,当 0x 时, 4)0( f 为定值,所以 )(xf 恒过点(0,4),故选 B
考点:1.指数函数的性质;2.对数函数的性质.
19.D
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【解析】 f x x 的定义域为 R, 2
g x x 的定义域为 0, ,定义域不同,A
不是同一函数; y x 与 3 3y x x 对应法则不同,B 不是同一函数; 1f x x 定
义域为 R,
2 1
1
xg x x
定义域为 1x R x ,定义域不同,C 不是同一函数;D.
2 22 1, 2 1f x x x f t t t 定义域相同,对应法则也相同,时同一函数,选 D.
20.A
【解析】y′=x2-4=0,得 x=±2.
当 x<-2 时,y′>0;
当-2<x<2 时,y′<0;
当 x>2 时,y′>0.
∴当 x=-2 时,y 极大值=28
3
,故选 A.
21.(Ⅰ) {3 4}A x ;(Ⅱ) 4a .
【解析】【试题分析】(1)先解不等式 52 04
x
x
求出集合 {3 4}A x ;(2)对 5a与
的大小关系进行分类讨论,分别求出集合当 5a 时, ,5 ,B a 与当 5a 时,
, 5,B a ,然后数形结合建立不等式 4a 求出实数 a 的取值范围。
解:(Ⅰ)由 52 04
x
x
得 {3 4}A x
(Ⅱ)当 5a 时, ,5 ,B a 满足 A B
当 5a 时, , 5,B a
由 A B 得 4a
综上,实数 a 的取值范围为 4a
22.(1){x|-2<x<-1 或 2<x<3};(2){a|-1<a<1}
【解析】结合数轴求解.
解:(1)当 a=0 时,M={x|x≤-2 或 x≥3},
所以 CUM={x|-2<x<3},CUN={x|x<-1 或 x>2},
所以(CUM)∩(CUN)={x|-2<x<-1 或 2<x<3}. (5 分)
(2)若 M∩N=, ,解得-1<a<1.
故当 M∩N=时,实数 a 的取值范围是{a|-1<a<1}. (10 分)
23.(1) A B = 2 3x x (2) 3, 3x x x 或
【解析】
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答案第 5页,总 9页
试题分析:(1) 2 3A x x 3B x x 4 分
A B = 2 3x x 7 分
(2) RC A = 2, 3x x x 或 10 分
( )RC A B = 3, 3x x x 或 13 分
考点:集合交集和补集
点评:解决关键是根据数轴法来表示集合,运用交集和补集的定义得到结论,属于基础题。
24.(1) ( )f x 无极值;(2) 20 5
3 3c ,或 9c
【解析】
试 题 分 析 :( 1 ) 由 题 意 2( ) 2 ,f x x ax a 假 设 ( 1) 0f 得 1a 此 时
2 2( ) 2 1 ( 1) 0,f x x x x , 所以 ( )f x 无极值
(2)设 ( ) ( )f x g x ,则有 3 21 3 03 x x x c , 3 21 33c x x x
设 3 21( ) 33F x x x x , ( )G x c ,令 2( ) 2 3 0F x x x 解得 1x 或 3x
当 ( 3, 1),(3,4)x 时 ( )F x 为增函数,当 ( 1,3)x 时 ( )F x 为减函数
当 1x 时, ( )F x 取得极大值 5( 1) 3F ,当 3x 时, ( )F x 取得极小值 (3) 9F ,且
20( 3) 9, (4) 3F F 函数 ( )G x 与 ( )F x 有两个公共点所以 20 5
3 3c ,或 9c
考点:利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性。
点评:中档题,利用导数研究函数的极值,一般遵循“求导数、求驻点、研究导数的正负、
确定极值”,利用“表解法”,清晰易懂。研究曲线有公共点的问题,往往利用导数研究函数
图象的大致形态加以解答。
25.(1) 1min a ; (2) 122ln b ; (3) 2 1n
na
【解析】
试题分析:(I)依题意,对任意的 0)(),,1[ xfx 恒成立,即 ln 1 0x ax 在 x 1
恒成立.则 a ln 1x
x
.
而 '
2
ln 1 ln( )x x
x x
0,所以, ln 1xy x
在[1, ) 是减函数, ln 1xy x
最大值为 1,
所以, 1a ,实数 a 的最小值。
(II)因为 2
5a
,且
bxxf 2
2
1)(
在 1,4 上恰有两个不相等的实数根,
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答案第 6页,总 9页
即 21ln 1 2x ax x b 在 1,4 上恰有两个不相等的实数根,
设 g(x)= 21ln 12x x ax b ,则 g'(x)=
21 1 (2 1)( 2)
2
x ax x xx ax x x
列表:
X (0, 1
2
) 1
2
( 1
2
,2) 2 (2,4)
' ( )g x + 0 - 0 +
( )g x 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数
所以,g(x)极大值=g( 1
2
)=17
8
-ln2-b,g(x)极大值=g(2)=ln2-b-2, (1) 1g b ,
g(4)=2ln2-b-1
因为,方程 g(x)=0 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.
则
g 1 0
g 2 0
g 4 0
< ,解得 122ln b .
(III)设 h(x)=lnx-x+1,x∈[1,+∞),则 h'(x)= 1
x
-1≤0
∴h(x)在[1,+∞)为减函数,且 h(x)max=h(1)=0,故当 x≥1 时有 lnx≤x-1.
∵a1=1,假设 ak≥1(k∈N*),则 ak+1=lnak+ak+2>1,故 an≥1(n∈N*)
从而 an+1=lnan+an+2≤2an+1∴1+an+1≤2(1+an)≤…≤2n(1+a1)
即 1+an≤2n,∴an≤2n-1
考点:本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极(最)值,研究函数的图象和性质,数
列不等式的证明。
点评:难题,不等式恒成立问题,常常转化成求函数的最值问题。(II)(III)两小题,均
是通过构造函数,研究函数的单调性、极值(最值),认识函数图象的变化形态等,寻求得
到解题途径。有一定技巧性,对学生要求较高。
26.
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【解析】略
27.(1)见解析(2)20
7
【解析】分析:(1)消参得到曲线 C 的普通方程,代直线的参数方程得到直线 l 的参数方程.(2)
利用直线参数方程求 PA − PB 的值.
详解:(Ⅰ)曲线 C: x = 2cosθ
y = 3sinθ (θ为参数)
则 x
2
2
+ y
3
2
= cos2θ + sin2θ = 1,即x2
4 + y2
3 = 1
直线 l 的参数方程为:
x = 1 + 4
5 t
y = 1 + 3
5 t
t 为参数 .
(Ⅱ)直线 l:
x = 1 + 4
5 t
y = 1 + 3
5 t
t 为参数 ,将直线 l 代入x2
4 + y2
3 = 1 中,
得 84t2 + 240t − 125 = 0
由于12
4 + 12
3 < 1,故点 P(1,1)在椭圆的内部,因此直线 l 与曲线 C 的交点 A,B 位于点 P 的两侧,
即点 A,B 所对应的 t 值异号.设点 A 的对应值为t1,点 B 的对应值为t2,
则t1 + t2 =− 20
7
,t1t2 =− 125
84
故 PA − PB = t1 − t2 = t1 + t2 = − 20
7 = 20
7
.
点睛:(1)本题主要考查曲线的参数方程普通方程的互化,考查直线的参数方程,意在考查
学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 直线参数方程中参数 t 的几何意义是这样的:如果点
A 在定点 P 的上方,则点 A 对应的参数tA就表示点 A 到点 P 的距离|PA|,即tA = |PA|.如果点
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答案第 8页,总 9页
B 在定点 P 的下方,则点 B 对应的参数tB就表示点 B 到点 P 的距离|PB|的相反数,即tB =− |PB|.
(2)由 直线参数方程中参数的几何意义得:如果求直线上 A,B 两点间的距离|AB|,不管 A,B
两点在哪里,总有|AB| = |tA − tB|.
28. 5
【解析】
试题分析:令 ,12t x 则
2
1 tx ,所以 22
13)(f tt ,即
2
7
2
3)( ttf ,令
42
7
2
3 t ,所以 5t .
考点:函数的解析式.
29. 3, 1 , 0,1
【解析】
试题分析:因为 axkxaxf )1()2()( 2 是偶函数,所以定义域关于原点对称,即
2 ( 4)a a ,即 1a ,此时 2( ) ( 1) 1f x x k x ,由 ( )f x 是偶函数,所以此
时 1 0k ,即 1k ,因此 2( ) 1f x x , 所以 |)(| xfy 在 3, 1 和 0,1 上是减
函数,所以答案应填: 3, 1 , 0,1 .
考点:1、偶函数的性质;2、函数图象的变换;3、函数的增减性.
【方法点晴】本题主要考查的是偶函数的性质、函数的增减性及二次函数图象的变换,属于
中档题.本由题关键是利用函数的偶函数性质,分析函数定义域关于原点对称,从而分析出
函数解析式,在解此类题目时,特别注意函数定义域的问题,否则很容易出错,然后由
( )y f x 图象得 | ( ) |y f x ,再根据图象写出递减区间.
30.
24
1
【 解 析 】 2 2 23 2 log 2 2 log 3 2 log 4 4 , 所 以
2 23 log 3 log 33
2 2
1 1 1 1 1(2 log 3) (3 log 3) ( ) ( ) ( )2 2 2 8 3 24f f
31. 5
【解析】
试题分析: 2| | 2 1 5.Z
考点:复数模的定义
【答案】{2,4,5}
【解析】
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答案第 9页,总 9页
试题分析:依题意 8, 6x N Nn
,则 6 n 为 8 的正约数,故 6 1,2,4,8n 经检验
2,4,5n .
考点:列举法表示集合
33. 1
12
【解析】若 A 为一等奖,则甲,丙,丁的说法均错误,故不满足题意,
若 B 为一等奖,则乙,丙说法正确,甲,丁的说法错误,故满足题意,
若 C 为一等奖,则甲,丙,丁的说法均正确,故不满足题意,
若 D 为一等奖,则只有甲的说法正确,故不合题意,
故若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是 B
故答案为:B