高二下学期数学期末考试复习

共 35 页，第 1 页 高二下学期数学期末考试复习（常考题型） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（题型注释） 1、圆 C ： 与圆 ： 位置关系是（ ） A．内含 B, 内切 C .相交 D.外切 2、函数 的图象是（ ） 3、抛物线 上点 P 的纵坐标是 4，则其焦点 F 到点 P 的距离为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 4、若函数 的图象过第一二三象限，则有（ ） A． B． , C． , D． 5、已知奇函数 f (x)满足 f(x+3)＝f (x), 当 x∈[1，2]时，f (x)＝ －1 则 的值为 A．3 B．－3 C． D． 6、设 成等比数列，其公比为 2，则 的值为（ ） A． B． C． D．1 共 35 页，第 2 页 7、数列{an}的通项公式是 ，若前 n 项和为 10，则项数 n 为（ ） A．120 B．99 C．110 D．121 8、若 ，则 =（ ） A． B． C． D． 9、有 5 名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么 5 名同学值 日顺序的编排方案共有 A．12 种 B．24 种 C．48 种 D．120 种 10、 为不重合的直线， 为不重合的平面，则下列说法正确的是（） A． ，则 B． ，则 C． ，则 D． ，则 11、已知函数 ， ，当 时，方程 的根的个数是（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 12、抛物线 的准线方程是（ ） A． B． C． D． 13、已知 对任意 恒成立，则 a 的最大值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 共 35 页，第 3 页 二、填空题（题型注释） 14、已知函数 ，若 时 恒成立，则实数 的取 值范围是 ． 15、已知直线 与曲线 相切于点 ，则实数 的值为 ______． 16、 展开式中的常数项是 ． 17、若函数 有三个零点，则正数 的范围 是 . 三、解答题（题型注释） 18、（本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 6 分，（Ⅱ）小问 6 分）已知向量 ，且 . （Ⅰ）若 ，求 的值； （Ⅱ）设 的内角 的对边分别为 ， ，且 ，求函数 的值域. 共 35 页，第 4 页 19、（本小题满分 14 分）如图，已知四棱锥 的底面 是矩形， 、 分别是 、 的中点， 底面 ， ， （1）求证： 平面 （2）求二面角 的余弦值 共 35 页，第 5 页 20、如图，已知平面四边形 中， 为 的中点， ， ， 且 ．将此平面四边形 沿 折成直二面角 ， 连接 ，设 中点为 ． （1）证明：平面 平面 ； （2）在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，请确定点 的位 置；若不存在，请说明理由． （3）求直线 与平面 所成角的正弦值． 共 35 页，第 6 页 21、经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞 含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出 条作样本，经检测得各条 鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下： 罗非鱼的汞含量（ppm） 《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过 ppm． （1）检查人员从这 条鱼中，随机抽出 条，求 条中恰有 条汞含量超标的概率； （2）若从这批数量很大的鱼中任选 条鱼，记 表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以 此 条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求 的分布列及数学期望 ． 共 35 页，第 7 页 22、已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半 轴长为半径的圆与直线 相切． （1）求椭圆 的方程； （2）若过点 (2，0)的直线与椭圆 相交于两点 ，设 为椭圆上一点，且满足 （ 为坐标原点），当 ＜ 时，求实数 取值范围． 共 35 页，第 8 页 23、选修 4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知直线 过点 ，倾斜角 ，再以原点为极点， 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）写出直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程； （2）若直线 与曲线 分别交于 、 两点，求 的值． 共 35 页，第 9 页 24、选修 4-4：坐标系与参数方程 已知圆 的极坐标方程为 ．以极点为原点，极轴为 轴的正半轴建立平面直角 坐标系，取相同单位长度（其中 ， ， ）． （1）直线 过原点，且它的倾斜角 ，求 与圆 的交点 的极坐标（点 不是 坐标原点）； （2）直线 过线段 中点 ，且直线 交圆 于 ， 两点，求 的最 大值． 共 35 页，第 10 页 25、已知函数 ． （1）求函数 的单调区间； （2）求证： ，不等式 恒成立． 共 35 页，第 11 页 26、已知函数 在 x=1 处的切线与直线 平行。 （Ⅰ）求 a 的值并讨论函数 y=f(x)在 上的单调性。 （Ⅱ）若函数 ( 为常数)有两个零点 ， (1)求 m 的取值范围； (2)求证： 。 共 35 页，第 12 页 27、已知函数 . (Ⅰ)若存在 使得 成立,求实数 的取值范围； (Ⅱ)求证：当 时,在(1)的条件下, 成立． 共 35 页，第 13 页 28、在 中，角 所对的边分别是 . （1）求角 ； （2）若 的中线 的长为 ，求 的面积的最大值. 共 35 页，第 14 页 29、已知 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，其中 ， ． （Ⅰ）若 ，求 的值； （Ⅱ）若 边上的中线长为 ，求 的面积． 共 35 页，第 15 页 30、已知正项数列 的前 项和 ,且满足 . (Ⅰ)求数列 的通项公式； (Ⅱ)设 ,数列 的前 项和 ,证明： . 共 35 页，第 16 页 31、已知数列 中， ， ． （I）求证：数列 是等比数列； （II）求数列 的前 项和为 ． 参考答案 1、A 2、B． 3、C 4、B 5、 A 6、A 7、A 8、A 9、B 10、D 11、B 12、D 13、A 14、 . 15、3 16、 17、 18、（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 19、（1）以 点为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴的空间直角坐标系， 如图所示．则依题意可知相关各点的坐标分别是： ， ， ， ， 如下图所 示．……………………………………………………… ……………………（2 分） 所以 点的坐标分别为 …………………………… ……………（3 分） 所以 ， ， ......................... （4 分） 因为 ，所以 ．......................... （6 分） 又因为 ，所以 .............. （7 分） 所以 平面 ．.......................................................... （8 分） （2）设平面 的法向量 ，则 ，........................ （9 分） 所以 即 ............................................................. （10 分） 所以 令 ，则 显然， 就是平面 的法向量．.................................. （11 分） 所以 .................... （12 分） 由图形知，二面角 是钝角二面角........................................ （13 分） 所以二面角 的余弦值为 ．......................................... （14 分） 解：（1）取 的中点 ，连接 ，则 ，又 ，所以四点 共面. 因为 ，且 .......... （2 分）] 所以 . 又因为 ， 所以 平面 ..................... （4 分） 所以 所以 平面 ................... （6 分） 易证 所以 平面 ．.................. （8 分） （2）连接 ，则 所以 .............................................................. （9 分） 同（1）可证明 平面 . 所以 ，且平面 平面 . 明显 ，所以 ........................................... （10 分） 过 作 ，垂足为 ，则 平面 . 连接 ，则 ......................................................... （11 分） 因为 ， 所以 平面 ， 为二面角 平面角的补角. ....................................... （12 分） 在 中， ，所以 . 在 中， 所以 ........................................................... （13 分） 所以二面角 的余弦值为 ．......................................... （14 分） 20、（1）详见解析；（2）点 存在，且为线段 上靠近点 的一个四等分点； （3） . 21、（1） ，（2） 0 1 2 3 22、（1） ；( Ⅱ) . 23、（1）曲线 C 的极坐标方程为ρ=3，曲线 C 的直角坐标方程 x2+y2=9（2）4 24、（1） ；（2） ． 25、（Ⅰ） 时， 在 上单调递增， 时，当 时， 在 单调递减． 在 单调递增；（Ⅱ）证明见解析． 26、（Ⅰ） ，函数 y=f(x)在 上单调递减; （Ⅱ）（1） ；（2） 见解析. 27、(Ⅰ) ； (Ⅱ)见解析． 28、（1） ；（2） . 29、（I） ；（II） . 30、(Ⅰ) ；(Ⅱ)见解析． 31、（I）详见解析；（II） . 【解析】 1、试题分析：圆 C ： 的圆心为 半径为 3， 圆 ： 的圆心为 ，半径为 1，两个圆心的距离为 所以两个圆内含. 考点：本小题主要考查两个圆的位置关系的判断. 点评：判断两个圆的位置关系，只需要将两个圆的圆心距和两个圆的半径的和与差的关系 即可. 2、试题分析：因为 ,故答案为 ． 考点：分段函数的图像． 3、试题分析：依题意可知抛物线化为抛 ，抛物线的准线方程为 y=-1，∴点 P 到准线的距离为 4+1=5， 根据抛物线的定义可知点 P 与抛物线焦点的距离就是点 P 与抛物线准线的距离，∴点 A 与抛物线焦点的距离为 5 考点：抛物线的简单性质 4、试题分析：函数 的图象过第一二三象限，结合指数函数的图 象，可以得知 ， . 考点：本小题主要考查指数函数的图象和图象的平移，考查学生数学结合数学思想的应用. 点评：函数图象的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则. 5、略 6、试题分析：根据题意，由于设 成等比数列，其公比为 2，则 ，因此可知 ,故选 A. 考点：等比数列 点评：解决该试题的关键是利用等比数列的性质来得到整体之间的关系，进而得到结论， 运用公比表示，属于基础题。 7、试题分析：由题意知， ，所以 ，解得 ，故选 A． 考点：1、数列求和；2、裂项相消法． 【方法点晴】本题主要考查数列求和的方法，属于中档题．由于数列通项 是分式且含有根号，因此采用分母有理化的策略，然后相加相消的方法 求前 项和，注意裂项相消时，消去项及保留项，从而求解． 8、试题分析： ,故选 A． 考点：1、二倍角的余弦公式；2、诱导公式的应用． 9、分析：由题意知，先安排甲有 1 种安排方法，由于其余四人没有限制，故是一个全排 列，由乘法原理求出结果． 解答：解：由题设知本题是一个分步计数问题， 先安排甲，有 1 种安排方法， 由于其余四人没有限制， 故是一个全排列 n=A44=24， 故选 B． 10、试题分析： 时 可平行，可相交，可异面； 时 可平 行，可相交； 时 可平行，可相交，可异面； 时 ，所以 选 D. 考点：线面关系 11、试题分析：由题意得，函数 在 上是奇函数且是反比例函 数， 在 上是奇函数，则 ，所以 在 上是减函数，在 上是增函数，在 上是减函数，且 ， ， ， ，所以作出函数 与 在 上的图像，如图所示，结合 图像可知，共有 6 个交点. 故选 B. 考点：根的存在性及根的个数的判断；函数的图像. 12、试题分析：抛物线方程变形为 ，准线为 考点：抛物线方程及性质 13、试题分析：令 ，则 ，在 上 ，在 上 ，因此， 在 x=1 处取极小值，也是最小值，即 ，∴ ．故选：A． 考点：利用导数求闭区间上函数的最值． 14、试题解析：依题由 且 即 且 ， 可得 ，故应填入 . 考点：1.不等式恒成立问题；2.转化与化归思想应用. 15、试题分析：因为 ，由导数几何意义知 ，又 考点：导数几何意义 16、试题分析： 展开式的通项为 ，令 ，得 ，所以展开式中的常数项是 ． 考点：二项展开式． 17、试题分析： ，于是函数 在 单 调递增，在 单调递减，在 单调递增，函数 有三个零点，等价于函 数 与 轴有三个交点，于是 ，又 ， 综上：正数 的取值范围是： . 考点：1.函数的单调性与导数；2.函数的零点. 18、试题分析：（Ⅰ）由 得： ，而 将其化为关于 的表达式，然后可求值； （Ⅱ）首先根据正弦定理，结合条件 得： .从而有 另一方面， ，于是可利用 ，结合正弦函数的性质求函数 的值域. 试题解析：解：（Ⅰ）若 ，得 ， 因为 ，所以 ， 所以 6 分 （Ⅱ） 中， 又 得： ，因为 ，所以 .则 . 又 . 所以 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ，即函数 的值域为 . 12 分 考点：1、平面向量及其数量积；2、三角函数的性质及恒等变换. 19、略 20、试题分析：（1）分别证明 ， 即可；（2）方法一：先以 为 原点， 分别为 轴，建立直角坐标系，写出各点坐标 ， ， ， ， 为 中点，故 ，设点 ，利用 平面 得 ，据此可解出 ；方法二：作 交 于 ，注意到 ，故 与 相似，因此 ，于是得 ；（3）方法一：由于 ，即 为平 面 的法向量， ， ，要求直线 与平面 所 成角的正弦值，记直线 与平面 所成角为 ，根据直线与面的夹角正弦正好等于 直线与面的法向量的夹角余弦的绝对值，则知 ，故只需计算 即可，利用余弦公式有 ，故 ；方法二：由于 ，所以可以转而考虑 与平面 所成角，为 此需要找到 在平面 内的投影，此投影与 所成角即为线面夹角，然后求 与 平面 所成角的正弦，于是在 中作 ，而平面 平面 ，由此 平面 ， 即为 在平面 内的投影， 就等于直 线 与平面 所成角， ， 在 中， ， ， 故 . 试题解析：（1）直二面角 的平面角为 ，又 ， 则 平面 ，所以 ． 又在平面四边形 中，由已知数据易得 ，而 ， 故 平面 ，因为 平面 ，所以平面 平面 （4 分） （2）解法一：由（1）的分析易知， ，则以 为原点建 立空间直角坐标系如图所示． 结合已知数据可得 ， ， ， ， 则 中点 . 平面 ，故可设 ， 则 ， 平面 ， ， 又 ， 由此解得 ，即 ， 易知这样的点 存在，且为线段 上靠近点 的一个四等分点； （8 分） 解法二：（略解）如图所示， 在 中作 ，交 于 ， 因为平面 平面 ，则有 平面 ． 在 中，结合已知数据，利用三角形相似等知识可以求得 ， 故知所求点 存在，且为线段 上靠近点 的一个四等分点； ..（8 分） （3）解法一：由（2） 是平面 的一个法向量，又 ， 则得 ，所以 ， 记直线 与平面 所成角为 ，则知 ， 故所求角的正弦值为 . ..（12 分） 解法二：（略解）如上图中，因为 ，所以直线 与平面 所成角等于直线 与平面 所成角，由此，在 中作 于 ，易证 平面 ， 连接 ，则 为直线 与平面 所成角， 结合题目数据可求得 ，故所求角的正弦值为 . ..（12 分） 考点：1、线面垂直、面面垂直的证法；2、线面角的求法；3、空间向量的应用. 21、试题分析：（1）古典概型求概率问题，需正确计数.从这 条鱼中，随机抽出 条，共有 种基本事件; 条中恰有 条汞含量超标事件就是从 5 条汞含量超标中选出 1 条，且从 10 条汞含量不超标中选出 2 条，即包含 种基本事件,因此所求概率为 .（2）从这批数量很大的鱼中任选 条鱼，可以看作 3 次独立重复试 验，每次选出汞含量超标的概率按以此 条鱼的样本数据来估计，即为 ， 因此 试题解析：解：（1）记“ 条鱼中任选 条恰好有 条鱼汞含量超标”为事件 ，则 ， 条鱼中任选 条恰好有 条鱼汞含量超标的概率为 . 4 分 （2）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率 ， 5 分 可能取 ， ， ， 6 分 则 ， ， ， ．10 分 其分布列如下： 0 1 2 3 12 分 所以 . 13 分 考点：古典概型求概率，概率分布，数学期望 22、试题分析：（1）由题意知 ，所以 ．由此能求出 椭圆 C 的方程．（2）由题意知直线 AB 的斜率存在．设 AB：y=k（x-2），A（x1， y1），B（x2，y2），P（x，y），由 得（1+2k2）x2-8k2x+8k2- 2=0 再由根的判别式和嘏达定理进行求解． 解：（1）由题意知 ， 所以 ． 即 ． 2 分 又因为 ，所以 ， ． 故椭圆 的方程为 ． 4 分 （2）由题意知直线 的斜率存在. 设 ： ， ， ， ， 由 得 . ， . 6 分 ， . ∵ ，∴ ， ， . ∵点 在椭圆上，∴ ， ∴ . 8 分 ∵ ＜ ，∴ ，∴ ∴ ， ∴ ，∴ . 10 分 ∴ ，∵ ，∴ ， ∴ 或 ，∴实数 t 取值范围为 ．（12 分） 考点：1. 椭圆的方程；2.直线与椭圆的方程. 23、试题分析：（Ⅰ）由题意可得直线 l 的参数方程： （t 为参数），曲 线 C 的极坐标方程为ρ=3，利用 即可得出曲线 C 的直角坐标方 程．（Ⅱ）将直线的参数方程代入 ，得 ，利用直线参数 方程中参数 t 的几何意义可得|PM|•|PN|=| |即可得出 试题解析：（4-2 极坐标）（1）直线 的参数方程： （ 为参 数）， 3 分 曲线 C 的极坐标方程为ρ=3，可得曲线 C 的直角坐标方程 x2+y2=9 5 分 （2）将直线的参数方程代入 x2+y2=9，得 ， 7 分 设上述方程的两根为 t1，t2，则 t1t2=﹣4 8 分 由直线参数方程中参数 t 的几何意义可得|PM|•|PN|=|t1t2|=4． 10 分 考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程 24、试题分析：（1）首先根据条件求得直线 上的点的极角，然后代入圆的极坐标方程 即可求得点 的极坐标；（2）首先求得 的直角坐标和圆的直角坐标方程，然后将直线 的参数方程代入圆的直角坐标方程中，从而利用参数的几何意义求解． 试题解析：（1） 直线 的倾斜角 ， 直线 上的点的极角 或 ， 代入圆 的极坐标方程为 得 或 （舍去）， 直线 与圆 的交点 的极坐标为： ． （2）由（1）知线段 的中点 的极坐标为 ， 的直角坐标为 ， 又圆 的极坐标方程为 ， 圆 的直角坐标方程 ． 设直线 的参数方程为 （ 为参数）， 代入 得 ， ． 设 ， 点的参数分别为 ， ，则 ， ， ， ，此时直线 的倾斜角 ． 考点：1、直角坐标与极坐标的互化；2、直线的参数方程． 25、试题分析：（Ⅰ）要讨论单调性，首先求得导数 ，接着研究 的正负，为此按 的正负分类；（Ⅱ）要证的不等式，可等价转化为 ，这样我们可设 ，进而去求 的最小值，由于 ，由（Ⅰ）的证明知， （在 （Ⅰ）中当 时的情形），从而得 单调性，完成证明． 试题解析：（Ⅰ） 的定义域为 ， ①若 ， 在 上单调递增 ②若 ，当 时， ， 在 单调递减． 当 时， ， 在 单调递增． （Ⅱ） 等价于 令 ，则 由（Ⅰ）知，当 时 ， ，即 . 所以 ，则 在 上单调递增，所以 即 考点：利用导数研究函数的单调性、极值、最值及分类讨论、转化与化归的数学思想． 【名师点睛】用导数研究函数的单调性有两种方法： 1．确定定义域，求出导数 ，解不等式 确定增区间，解不等式 确定减区间； 2．确定定义域，求出导数 ，解方程 ，此方程的解把定义域分段，然后列 表表示 的符号与 的单调性． 26、试题分析：（Ⅰ）求导数，由在 x=1 处的切线知 ，即可求 a 的值，根据导数 讨论单调性即可； （Ⅱ）由函数有两个零点结合（Ⅰ）可知 ，由 ，构造 ，求导证明. 试题解析： （Ⅰ） ，令 ， 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 时， ，即 时， ， 所以函数 y=f(x)在 上单调递减。 （Ⅱ） (1)由条件可知， ， 在, ， 要使函数有两个零点，则 2m