高二下学期期末考试数学理.DOC

高中二年级春季期末检测 数学（理） 一、选择题： 1. 已知，Z 为虚数单位，计算土=(A )・ I A. 1 — z B. 1 + z C. — 1 + z D. — 1 — / 2. 已知/(兀)=/+兀・ 2@是自然对数的底数),则函数/(x)的导数 f\x) = ( C ). A. xex'1 - 2x'3 B. ex -x2 C."・ 2x-3 D. ex ・ x'2 In 2 3. 下 Ifli 使用类比推理，得到正确结论的是(C ) A. “若 a ・ 3 = 3 ・ a,则 a = 类推出“若 a ・ O = b ・ O,则 Q = B•“若(a + b)c = Qc + bc ”类推出 “(a ・ b)c = ac ・ bc” C. “若(Q + b)c = dc + bc” 类推出“£^2 = ^ + 2(CHO)” C C C D. a(ab)n =anbnff 类推出 “ @ + = a"+b" ” 4. 已知随机变量 X 服从正态分和 N(2, 32),且 m 0)在点尸(2,-2 仔)处的切方程； (II )过点 F(l,0)的直线/交抛物线 y2=4x 于/、B 两点,直线人、化分别切该抛物线于/、B , l{ni2=Mt 求点 M 的 横坐标. 解(I) •/ f (x) = - J2px (p > 0), f\x)=--------------------- 墓 2Qx 所以切线的斜率为广(2)= -也 (II)设直线/的方程为“如 1,设碍,从碍小 12 分 12 分 ・••所求切线方程为尹+ 2 你 乎(一 2),即尸-¥"3 莎 由方程组幼+ 1 得，夕 2_4 幼_4 = 0,・・・尹》二—4.................................................................. I y = 4x 因从与儿异号，不妨假定必＞0,儿 v°, 乂 ltt= DH«T2=55-5 X 32= 10, lty= jjiy-n7 y = 120-5 X 3 X 7.2= 12, Z=1 Z=1 •【解】⑴列表计算如下 同理可求得以 B 为切点的 12 线方程是 y = + y2 2 山两切线方程得—x + ^=—x + ^,解得 x = ^ = -l 尹 1 2 儿 2 4 所以点 M 的横处标是・ 1. ................................................................12 分 22.随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表: 年份 2010 2011 2012 2013 2014 时间代号 1 1 2 3 4 5 储蓄存款只千亿元) 5 6 7 8 10 ⑴求尹关于 t 的回归方程 y=b/+a； (2)丿 IJ 所求回归方程预测该地区 2015 年(/=6)的人民币储蓄存 n ___ 一齐 t y • _ I AAA A Z A —— A —— 附：回归方程 y=b+o 中，b— , a= y ~b t . 审一〃 t i=\ 由尹=2-x/x 得)/ = 1 石' I 2 所以过点/的抛物线的切线厶斜率为-7^ =— 所以切线人的方程是 ■ 1 A X 1 1 5 1 5 2 2 6 4 12 3 3 7 9 21 4 4 8 16 32 5 5 10 25 50 15 36 55 120 1A 15, 亠 一 i 36 这屮.〃=5, t =7》"=〒=3, y =匚以：=〒=7.2. z=l 」 /=1 」 A / 12 A —— A—— 从而=p=1.2, a= y ~b t =7.2—1.2X3=3.6, A 故所求冋归方程为夕=1.2/+36 A （2）将/=6 代入|叫归方程可预测该地区 2015 年的人民币储蓄存款为 p=1.2X6 + 3.6=10.8（千亿元）. 23. 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民主工程和产业建设工程三类，这 三 类工程所含项冃的个数分別占总数的 2,2,2,现在 3 名工人独立地从中任选一个项冃参与建设. 2 3 6 （I） 求他们选择的项冃所加类別互不和同的概率； （II）记纟为 3 人屮选择的项目属于基础设施工程、民牛工程和产业建设工程的人数，求§的分布列及数学期望. 【解析】记第 i 名工人选择的项目屈于基础设施工程、民牛工程和产业建设工程分别为事件儿卢宀，口, 2, 3.由题意知 4 必相互独立, 也场相互独立，Ci C2C3 相互独立,4 卩,5 （i, j, k=i, 2, 3,且 j, j, 丄 _L _L k 互不相同）相互独立,且 P （4）门,P （5,） = 3 , P （C«） = 6 他们选择的项 Fl 所加类別互不相同的概率 丄丄丄 1 P=3! P （”込。3）询（4）p（坊）p 宀）=62 3 6 = 6 ⑵方法 1 设 3 名工人小选择的项目属于民生工程的人数为，由己知，-B （3, 3）,且子二 3 ・。 故§的分布是 § 0 1 2 3 P 1 2 4 8 27 9 9 27 _1_ 2 4 _8_ g 的数学期望 E 以=0 27 +i 9 +2 9 +3 27 =2 方法 2 第 i 名工人选择的项日属于基础工程或产业工程分别为事件。, P (二 3) =P (=0)= 2 9所以 P (^=0) =P (=3) =C3 i=l,2z3 ,由此已知，6 Dr 2 相互独立，且 j_ j_ 2 P (D| ) =p (« + G ) =p ( £ ) +p (G ) =2+6 = 3 故纟的分布列是 0 1 2 3 1 2 4 8 27 9 9 27 24. -人在如图所示景点中的圆环道路上散步.他在交叉路口偏左走的概率为-，偏右走的概率为丄(出口处不 2 2 算交叉路口). (I) 求这个人路过的交义路口数最少且走出景点的概率； (II) 这个人有 3 天散步路过的交叉路口都最少，§表示这个人这 3 天小相同的线路次数，求§的分布列和 数学期昭. 解：(I )由图可知，此人走出景点遇到的最少交叉路口数为 4,共分:①入口 =>向左=> 向左=> 向左=> 向左 => 出口，②入口 =>向左二> 向右二> 向右=> 向左=> Hi □,③入口 =>向右二> 向左=> 向左二> 向右二> 出口，④ 入 口 =>向右=> 向右=> 向右=> 向右=> 出口，一共 4 条线路.设此人选择这 4 条线路分别为事件/、B、C、D, 设 “此人遇到的交叉路口数为 4”为事件 E,则/、B、C、。互斥，且 E 二/ + B + C + D 由题意,P(A) = P(B) = P(C)= P(D) = (-)4 =—, 2 16 ・・・ P(E) = P(A + B + C + D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) = 4x 丄二 16 4 答：这个人路过的交叉路口数最少且走出景点的概率为丄................................................................ 6 分 4 (II)由题意，f = 0,1,2, ......................................................................... 7 分 •••吐° 命 16 25. 椭圆 C：为+幻=1 @>b>0)的离心率为*, 其左焦点到点 P(2,l)的 距离为帧. 7 7 1 严丈既昭 KY(卅严 k =0」23 ・ 6_ 16 P("1) = C 訂 4x3 4x4x4 9_ 16 P(§ = 2)= 4 4x4x4 16 ・・・§的分布列为: 13 分 (1)求椭圆 C 的标准方程； ⑵若直线/： y=kx+m 与椭圆 C 相交于 B 两点(/, E 不是左，右顶点)，且以为直径的圆过椭圆 C 的右 顶点.求 证：直线/过定点，并求出该定点的坐标. 解(1)・・•左焦点(・ c,0)到点 P(2,l)的距离为帧， ・・・ p(2 + c)2+ 1 二帧,解得 c= 1. 又 e = = |,解得 ° 二 2, .••d = 3, X2 v2 ・••所求椭圆 C 的方程为才+ '二 1 ・ ⑵设 A(x} , yi) , B(X2 ,力), 得(3 + 4^2)X2 + Smkx + 4(m2 - 3) = 0 , A = 64/HV ・ 16(3 + 4 疋)(〃,・ 3)>0 , 整理得 3 + 4k2>m2. -Sink 4(/n2 - 3) 9 2 y\y2 = (kx\ + m)(kx2 + m) = k^x\X2 + mk(x\ + %2)+ 〃厂二 •••以为直径的圆过椭圆的右顶点£)(2,0), ^AD^BD 二• ] , • • jq ■ 2X1 - 2 = - 1， ••JM + xix2 - 2(xi + 也)+ 4 = 0 , 3(m2 - 4A2) 4(/n2 - 3) 16rnk .,,、 3 + 4X 3 + 4 十 3 + 4 斥纤 u. 2 丘 整理得 7m2 + 16rnk + 4k? = 0 ,解得 m \ = - 2k , m2 二-〒. 且满足 3 + 4^2 - rn2>0 出〃?二-2&时,I \ y — k(x - 2),直线过疋点(2,0)与已知矛盾； 当加二・〒时，/:尹二 综上可知，直线/过定 点，定点坐标为,()) x 26. 己知 f(x)=—(幺是 H 然对数的底数), (I)求/(兀)的单调区间： (II)若 fM-k 只有一个零点，求实数&的取值范围; Ei____ V2 直线过定点 (专,()) (Ill)求证 当 xvl 时,/z(x) > 0, f(x)是单调递增,当 x>l 时，厂(兀)vO, / (兀)是单调递减. 所以/(X)的递增区间是(-00,1],递减区间是[1,4-00). .............................................................. 3 分 2 2k (II)①当 k0 乂因为直线与椭圆、圆都相交，所以\\m\ 厂 ，解得 05 加 273, nr -4 m_ _4 V in -4 若设/(卷”)裁花宀)，则西+花=- 于是| AB |=近• J(西+花尸一 4 与 Cj = 4J12-加丄 3 因此久=匸也 \CD\ 二西乃 = 又圆心(0,0)到直线/的距离力 4J12-沪 3 丁 8-2 加 $ ................................................................................................13 分