高二下学期期末考试数学试卷

一.填空题(本大题共有 12 题，满分 36 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果，每个空格填对得 3 分，否则一律得零分. 1. 椭圆＜ + 1=1 的焦距等于_____________________ . 4 3 【答案】2. 【解析】分析：由椭圆方程可求缶 b,然后由 c 可求 c,进而可求焦距 2 2 详解：T 椭圆—+ —= 1 ,••・& = 2, b =筋 4 3 c = ^a2-b2 = 1. •••2c=2. 即答案为 2. 点睛：本题主要考查了椭圆的性质的简单应用，属基础题 2. 若复数 z 满足(1 + i) • z = 2 (i 是虚数单位)，则|z| =_______________ ・ 【答案】品 【解析】分析：求出复数 z,即可得到忆| 2 2 - (1-1) 详解： 由题(l+】)・ z = 2, ・・・ z =--=------- :------- =1 一 i, 1 + i (1 + i) • (1-i) ・•・|z| = A 即答案为 Q. 点睛：本题考查复数的除法运算及复数的模的求法，属基础题. 2 3. 双曲线・ y2=l 的两条渐近线方程分别是______________________ • 4 ［答案】y = --Xx y = -x. 2 2 【解析】分析：由双曲线渐近线方程的公式，即可得出该双曲线的渐近线方程. x2 1 1 详解：由题双曲线--y2=l 中，a = 2,b=l,则双曲线的渐近线方程为 y=・-x、y = -x.. 4 2 2 即答案为丫=・土、y = ”x.・ 点睛：本题考查双曲线的渐近线方程的求法，属基础题. 4. 若 1+2】是关于 x 的实系数一元二次方程 X2-2X + m = 0 的一个根，则皿=____________ . 【答案】5. 【解析】分析：利用实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系即可得出. 详解：••• 1 + 21 是关于 x 的实系数一元二次方程 X?-2x + m= 0 的一个根， ••• 1-21 也是此方程的一个虚根, m = X]X° = (1 + 2i) (1 -2i) = 5. 故答案为：5. 点睛：本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系，属于基础题. 5. 在(2x+l)5 的二项展开式屮，X?项的系数是_____________• 【答案】40. 【解析】分析：根据所给的二项式写出通项，要求自变量的二次方的系数，只要使得指数等于 2 ,看出 式子中 的系数的表示式，得到结果・ 详解::V(2x+1)5 的通项式式 C5 ，(2x)5-r = CI525-rx5_r , 当 5-r = 2 时,即 r = 3 时,得到含有/的项， ・・・它的系数是 C5322 = 40. 故答案为：40. 点睛：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是写出二项式的通项，属基础题. 6. 如图，在长方体 ABCD-A]BiC]D]中，AB = 1,AD = 2,AA】=2,则二面角 A-DDrB 的大小是 第 6 题團 【答案】arctan-. 2 【解析】分析：由 DD]丄平面 ABCD,得 DD]丄 AD, DD】丄 BD ,从而乙 ADB 是二面角 A ・ DD】・ B 的平面角， 由此能求出二面角 A ・ DD]・ B 的大小. 详解：长方体 ABCD-A]B]C]Di 中， DD】丄平面 ABCD,得 DD】丄 AD.DD]丄 ED ,从而厶 XDE 是二而角 A-DDX-B 的平面角，， 1 1 ••• AD = 2. AB = 1, ••• tan 乙 ADB = - 乙 ADB = arctan-. 2 2 ・：二面角 A ・ DD]・ B 的大小是 arctan-. 即答案为 arctan-. 2 点睛：本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意寻找二面角的平 面角. 7. 从 0、1、2、3 这四个不同的数字中任选出三个数字，组成没有重复数字的三位数，则这样 的三位数共有_________ 个. 【答案】1& 【解析】分析：找出用 0、1、2、3 可以组成的不同三位数，进而求解. 详解： 用 0、1、2、3 可以组成的三位数有： 102, 103, 120, 123, 130, 132； 201, 203, 210, 213, 230, 231； 301, 302, 310, 312, 320, 321； 一共有 18 个不同的三位数 点睛：在列举这些数时，要注意按照一定的顺序写，做到不重复，不遗漏. 8. 设地球半径为 R,则东经 60。线上，纬度分别为北纬 75。和 15。的两地 A、B 的球面距离是 【答案】—. 3 【解析】分析：东经 60。圈上有 A、B 两地，故 A、B 在大圆上，利用弧长公式，即可求出 A、E 两 地的球面 距离. 详解：东经 60。圈上有 A、B 两地，故 A、B 在大圆上. TA、B 分别在北纬 75。和 15。圈上，地球半径为 R, TCR A A. B 两地的球面距离是一. 3 故答案为：—. 3 点睛：本题考查了球的截而圆性质、地球经纬度的定义和球而距离及相关计算等知识，属基 础题. 9._____________________________________________________________________________ 已知抛物线 y2 = 4x± 一点 M(Xo,2 间，则点 M 到抛物线焦点的距离等于___________________________________ . 【答案】4. 【解析】分析：把点 M（x°,2 间代入抛物线方程，解得 x°.利用抛物线的定义可得：点 M 到抛物 线焦点的距离 Xo+1. 详解：把点 2⑻代入抛物线方程可得：（2 筋尸= 4x°,解得*0 = 3 . ・••点 M 到抛物线焦点的距离=Xo+ 1 =4 . 故答案为：4. 点睛：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题. 10._______________________________________________________空间四边形 ABCD 屮，AB=CD,且异面直线 AB 与 CD 所成的角为 40。，E、F 分别为 BC 和 AD 的中点，则异而直线 EF 和 AB 所成角的大小是 ・ 【答案】20。或 70。. 【解析】分析：取 BD 中点 O,连结 FO、EO,推导 tllEO = FO, zFOE 是异面直线 AB 与 CD 所成的 角（或所成角 的补角），乙 EOF = 40。或乙 EOF = 140。，由 FOIIAB,得 ZEFO 是异面直线 EF 和 AB 所 成的角，市此能求出 异而直线 EF 和 AB 所成的角. •・•在空间四边形 ABCD 中，AB=CD,,且异异面直线 AB 与 CD 所成的角为 40。, E、F 分别为边眈和 AD 的中点，・・・ F5AB,且 FO =-AB, EO II DC, 详解: 収 BD 中点 O,连结 FO、EO, 且 EO = ZD, A EO= FO,ZFOE 是异面直线 AB 与 CD 所成的角(或所成角的补角), ・・•异面直线 AB 与 CD 所成的角为 40。、 /.ZEOF = 40。或 ZEOF = 140° ' TFO || AB ,得 ZEFO 是异面直线 EF 和 AB 所成的角， 当 ZEOF = 40°时，ZEFO = 20°， 当 ZEOF = 140°H 寸，ZEFO = 70° ' •・.异面直线 EF 和 AB 所成的角为 20。或 70°.- 即答案为 20。或 70°.- 点睛：本题考查界面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查运 算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题. 11. 抛物线 y2 = 4x 的焦点为 F,点 P(x,y)为该抛物线上的动点，又点 A(-1,0), IPFI 则 J 的最小值是_________________■ |PA| 【答案】二 2 【解析】根据抛物线的定义，可求得|旳=卄 1,又 I 別=&x：177y2 IPFI x + 1 所以顽=& + （x+】）2① 最小值为刍所以笔的最小值为当 故答案为：- 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质.解题的关键是利用了抛 物线的定义。一般和抛物 线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总 结和 应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化. 因为严心令不 r其中 ze(0,2],即可求得 12. 如图，在三棱锥 A—BCD 中，AB 丄 ADAC 丄 ADZBAC = 30。，AB = AC = AD = 4,点 P、Q 分 别在侧面 ABC、棱 AD 上运动，PQ = 2, M 为线段 PQ 的中点，贝 I」点 M 的轨迹把三棱锥 A-BCD 分 成上、下两 部分的体积之比等于_______________________ . 【解析】分析：在三棱锥 A-BCD 中，AB 丄 AD,AC 丄 ADZBAC = 30°, AB=AC = AD = 4, 易计 算出三棱锥 A-BCD 的体积，又由点 P、Q 分别在侧面 ABC、棱 AD 上运动，PQ = 2, M 为线段 PQ 的 中点，可以判断 M 的轨迹与三棱锥转成的两个几何体的体积，进而得到答案. 详解“ 丁 三棱锥 A ・ BCD 中，AB 丄 AD,AC 丄 ADZBAC = 30°, AB = AC = AD = 4, 贝棱锥 A ・ BCD 的体积 V = lxlx4x4xlx4 = ^ . 3 2 2 3 又丁点氏 Q 分别在侧面 ABC.棱 AD 上运动，PQ = 2, M 为线段 PQ 的中点… •••点 M 的轨迹在以 A 为球心以 1 半径的球面上 14 16 1 4 兀 则点 M 的轨迹把三棱锥“CD 分成上、下两部分的体积之比为：耳尹（亍方•評=右 故答案为暑 点睛：本题考查的知识点是棱锥的体积及球的体积，其川判断出 M 的轨迹在以 A 为球心以 1 半 径 的球面上是解答木题的关键. 二.选择题（本大题共有 4 题，满分 12 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷相 应编 号的空格内直接填写答案的代码，选对得 3 分，否则一律得零分. 13. 若 zPz2e C,则 “zJ+z^uO” 是 “Z]=Z2 = 0” 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】分析：若 z】=Z2 = 0,则 Z124-Z22 = 0,反之不然，由此可得结论. 详解：若 zgWC,则“才+疗 =0”不一定有“Z]=Z2 = 0”的，如 Z]=1,Z2 = 1;反过來，若 Z]=Z2 = 0,贝 IJZ12+Z22 = 0,故若 ZpZjEC,则“弄 第 12 歸團 【答 案】 兀 96-7E +乙??"” 是 tan60° =寸 3, 当椭圆的焦点在 y 轴上时• m>3, 则 M 位于短轴的端点时，乙 AMB 取最大值，要使 C 上存在点 M 满足 ZAMB = 12O。,, ZAMB > 120°, ZAM0 > 60°, tan^AKIO = ^> tan60° =帀，解得：m N 9 , •••in 的取值范围是(QI] U [9, + co) 故选 A. • 点睛：木题考查椭圆的标准方程，特殊角的三角函数值，考查分类讨论思想及数形结合思想 的应 用，考查计算能力，属于中档题. 三.解答题(本大题共 5 题，满分 52 分)解答下列各题必须在答题卷相应编号的规定区域内 写出必 要的步骤. 17. 已知 z W C, Imz>0,且|z|2 + (z + z) ■ i = 5 + 2i ・ (1)求 z； (2)若 mGRQ = z ・ i + m,求证：|co| 2 1 • 【答案】(1) Z=1+2L (2)证明见解析. 【解析】分析：(1)利用复数模的定义、互为共辘复数的意义及复数相等的定义即可解出; (2)利用复数模的计算公式即可证明. 详解: (1 )解：设 z = a + bi, a、HER,且 b>0. 由已知得 a? + b2 + 2ai = 5 + 2i» 所以 fC，解得｛b = 2 - 因此 z= 1 + 2i. (2)证明：由(1)得 CD = (1+2i)・ i + m =(m ・ 2) + i. 则 31 = J(m ・ 2)2 + 1 N 1,当 m=2 时，等号成立. 所以 |(o|> 1. 点睛：熟练掌握复数模的定义、互为共轨复数的意义及复数相等的定义是解题的关键• （nGN*）的二项展开式中，前三项的系数依次成等差数列. （1）求 n 的值; （2）求二项展开式中的常数项. 【答案】（1） n = 8. （nGN*）的二项展开式中，前三项系数依次为 l,fc： (2)由(1)得 n = 8. （&+制的展开式的通项是 Tr+1 = C^x（l）rxx4-r, r = 0,1,2,- - - ,8. 令 4 ・ r = 0,解得 r = 4,从而可求得展开式中的常数项. 详解: 由题意得 （扌肖 x2=l+[C；,即『-911+8=0 ・ 解得 11 = 8 或 11=・ 1 （舍去）• 所以 n = X ・ (2)由(1)得 n = 8. （衣+总『的展开式的通项是 T「+ 1 = C； x 勺 1 35 令 4 ・ r = 0,解得 r = 4,则得 T5 = CgX（-）4 = y rh 题意得 (1) （n6N*）的二项展开式中，前三项系数依次为 xx4'r ,r = 0,1,2, • • • ,8. 18 ・已知 【解析】分析：（1） x2=l+”C；,从而可求得 n； 即所求常数项是 点睛：本题考查二项式定理的应用与等差数列的性质，关键是学握好二项展开式的通项公式, 属于 屮档题. 19. 如图,在正三棱柱 ABC-A】B]C]中，AA]= 话 =4, D、E 分别为 AA】与 A】B】的中点. （1） 求异面直线 C】D 与 BE 所成角的大小； （2） 求四面体 BDEC]的体积. 1 arccos 一. 5 【解析】分析：（1）过点 D 作 DF//BE 交 AB 于点 F,联结 FC】、FC. 得到乙 C]DF 即所求异面直线所成角（或补角），然后，在 ADFC1 屮根据余弦定理求解该角即可; （2）先求解％EDE 的面积，然后，结合四面体 BDEC]体积公式进行求解. 详解: （1）过点 D 作 DF//BE 交 AB 于点 F,联结 FC】、FC. 则直线 DFPC]所成的角就是异面直线 C]D 与 BE 所成的角，且 AF = -AB=1. 4 在 ADFC]中，DCj = JDA^ + AJCJ2 = 2^5, DF = ^AD2 + AF2 = V5 FC = ^AC2 4- AF2 - 2AC - AF - cos60° 42 + l2-2- 4- 1 = 又 CC]=4, 所以 FC】=眉+ CCj = J（庐尸+ 42 =厢. 【答案】⑴ 由余弦定理，得 DC, + DF2 -FCj ] 1 cos 乙 C〔DF =-----------------=- 一,乙 C]DF = 7i - arccos-. 1 2DC「DF 5 5 所以，异面直线 C]D 与 BE 所成角的大小是 arccos^. (2)由 已矢□得 S^BDE= *正方形 ABB]A「SAA]DE ' SAABD ' ^ABB^ = 6. 由题意得 AA]丄平面 A]B]C],且 C]E 丄 A]B]. 因为 C]E :平面 A]B】C],所以 C]E 丄 AA】.又因为 AA1,A1B1 :平而 AjABB^且 AA】A A]B] = A】， 所以 C】E 丄平面 A】ABB】， 即 C]E 是四而体 BDEC]的底而 BDE 上的高・ 因为 C]E = jA]Cj ・ A]l? = ^42 - 22 = 2 书, 所以四面体 BDEC】体积 v = -X6X2A/3 = 4$. 点睛：本题重点考查了空间中点线面的位置关系、空间角、体积计算等知识，考查空间想象 能力， 属于中档题. 20. 如图，点 Q 是圆锥 SO 的底面圆周上异于 AB 的任意一点，AB 为圆 O 的直径. (1) 若 QB 的屮点为 C, OH 丄 SC,垂足为 H,求证：OH 丄平面 SBQ； (2) 若 SO = 2,乙 AOQ = 60o,QB = 2 不，求这个圆锥的体积. 【答案】(1)证明见解析. (2)-. 3 分析：()：联结 0C. 因为 OQ = OB, QB 的中点为 C,所以 0C 丄 QB,由 SO 丄平面 ABQ,得 SO 丄 QB.,由线面垂直的 判定可得 QB 丄平面 SOC,进一步得至 IJQB 丄 OH, OH 丄 SC,所以 0H 丄平面 SBQ. (2)因为 ZAOQ = 60°,所以^BOQ= 120°. 1 BC 在 ZXOQB 中，OQ = OB,则得 ZOBQ = 30°, zOCB = 90°,且 BC = -QB = J5, OB = 一 •由已 2 sin30c 知体积公式求得圆锥的体积. 详解： (1)证明：联结 OC. 因为 OQ = OB, QB 的中点为 C,所以 OC 丄 QB. 由题意知 SO 丄平面 ABQ, QB :平面 ABQ,所以 SO 丄 QB. 而 SOCOC = O,所以 QB 丄平面 SOC ・ 因为 OH，平而 SOC,所以 QB 丄 OH. 又因为 OH 丄 SC, SC,QB 是平 ifijSBQ 内的相交直线, 【解 析】 所以 OH 丄平面 SBQ. (2)解:因为乙 AOQ = 60。,所以厶 BOQ = 180°・ 60° = 120°. 在 AOQB 中，OQ = OB,则得 ZOBQ = 30°, ZOCB = 90°, 1.BC = ^QB = ^, BC & 匕 r- IOB = --------= —j= = 2 所以 sin30° & ・ 2 1 0 1 0 8TU 因此这个圆锥的体积等于- •(71-OB-) • SO = - •(7t • 20 • 2 =—. 8 兀 即所求圆锥的体积等于一. 3 点睛：本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了圆锥体积的 求法， 是中档题. 21. 己知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上，短轴长为 2,且两个焦点和短轴的两个端点 恰为 一个正方形的顶点. (1) 求椭圆的方程； (2) 设过右焦点 F 与 x 轴不垂直的直线与椭圆交于 P、Q 两点.在线段 OF 上是否存在点 M(m,0), 使 得以 MP、MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由; (3) 设点 C 在椭圆上运动，OC 丄 OD,且点 0 到直线 CD 的距离等于也试求动点 D 的轨 2 迹方程. 2 【答案】⑴- + y2=l. 2 (2)0 0),利用两个焦点和短轴的两个端点 a_ b" 恰为正方形的顶点，且短轴长为 2,即可求得椭圆方程； (2)假设在线段 OF 上存在点 M(m,0)(00),由题意得 b = l,c = l, a~ b~ 所以 a? = b2 + c2 = 2» 2 因此所求椭圆方程为、+y2=l. 2 (2) 假设在线段 OF 上存在点 M(m,0)(0