高考数学考前冲刺复习资料总汇

最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 1 高考数学考前冲刺 复习资料总汇 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 2 高考冲刺： 分类讨论思想 分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是中学数学中经 常使用的数学思想方法之一.突出考查学生思维的严 谨性和周密性，以及认识问题的全面性和深刻性，提 高学生分析问题，解决问题的能力，能体现“着重考 查数学能力”的要求.因此分类讨论是历年数学高考的 重点与热点.而且也是高考的一个难点. 数学中的分类讨论贯穿教材的各个部分，它不仅 形式多样，而且具有很强的综合性和逻辑性. 知识升华 1.分类讨论的常见情形 （1）由数学概念引起的分类讨论：主要是指有的 概念本身是分类的，在不同条件下有不同结论，则必 须进行分类讨论求解，如绝对值、直线斜率、 指数函数、对数函数等. （2）由性质、定理、公式引起的分类讨论：有的 数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下 结论不一致，如二次函数 y=ax2+bx+c(a≠ 0)，由 a 的正负而导致开口方向不确定，等比数列前 n 项 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 3 和公式因公比q是否为1而导致公式的表达 式不确定等. （3）由某些数学式子变形引起的分类讨论：有的 数学式子本身是分类给出的，如 ax2+bx+c＞0，a=0， a＜0，a＞0 解法是不同的. （4）由图形引起的分类讨论：有的图形的类型、 位置也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的 位置关系等. （5）由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题 中常见. （6）由参数变化引起的讨论：所解问题含有参数 时，必须对参数的不同取值进行分类讨论；含有参数 的数学问题中，参变量的不同取值，使得变 形受限导致不同的结果. 2.分类的原则 （1）每次分类的对象是确定的，标准是同一的； 分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论，即 认识为什么要分类讨论，又从几方面开始讨论，只有 明确了讨论原因，才能准确、恰当地进行分类与讨论. 这就要求我们准确掌握所用的概念、定理、定义，考 虑问题要全面.函数问题中的定义域，方程问题中根之 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 4 间的大小，直线与二次曲线位置关系中的判别式等等， 常常是分类讨论划分的依据. （2）每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、 不越级讨论. 当问题中出现多个不确定因素时，要以起主导作 用的因素进行划分，做到不重不漏，然后对划分的每 一类分别求解，再整合后得到一个完整的答案.数形结 合是简化分类讨论的重要方法. 3.分类讨论的一般步骤 第一，明确讨论对象，确定对象的范围； 第二，确定分类标准，进行合理分类，做到不重 不漏； 第三，逐类讨论，获得阶段性结果； 第四，归纳总结，得出结论. 4.分类讨论应注意的问题 第一，按主元分类的结果应求并集. 第二，按参数分类的结果要分类给出. 第三，分类讨论是一种重要的解题策略，但这种 分类讨论的方法有时比较繁杂，若有可能，应尽量避 免分类. 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 5 经典例题透析 类型一：不等式中的字母讨论 1、解关于 的不等式： . 思路点拨：依据式子的特点，此题应先按对最高 次项的系数 是否为 0 来分类，然后对式子分解因式， 并按两个根之间的大小关系来分类讨论.而对于 与 时，先写简单好作的 . 解析： （1）当 时，原不等式化为一次不等式： ， ∴ ； （2）当 时，原不等式变为： ， ①若 ，则原不等式化为 ∵ ，∴ ，∴不等式解为 或 ， ②若 ，则原不等式化为 ， （ⅰ）当 时， ，不等式解为 ， （ⅱ）当 时， ，不等式解为 ； （ⅲ）当 时， ，不等式解为 ， 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 6 综上所述，原不等式的解集为： 当 时，解集为 ； 当 时，解集为{x|x＞1}； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 . 总结升华： 1. 对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几 个步骤: （1）明确讨论的对象，确定对象的全体，确定分 类标准，正确分类，不重不漏； （2）逐步进行讨论，获得结段性结论； （3）归纳总结，综合结论. 2．一般分类讨论问题的原则为: 按谁碍事就分谁. 不等式中的字母讨论标准有：最高次项的系数能否为 0，不等式对应的根的大小关系，有没有根（判别式） 等. 3．字母讨论一般按从易到难，从等到不等的顺序 进行. 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 7 举一反三： 【变式 1】解关于 的不等式: （ ）. 解析：原不等式可分解因式为: ， （下面按两个根 与 的大小关系分类） （1）当 ，即 或 时，不等式为 或 ，不等式的解集为： ； （2）当 ，即 时，不等式的解集为： ； （3）当 ，即 或 时，不等式的解集为： ； 综上所述，原不等式的解集为： 当 或 时， ； 当 时， ； 当 或 时， . 【变式 2】解关于 的不等式: . 解析： （1）当 时，不等式为 , 解集为 ； （2）当 时，需要对方程 的根的情况 进行讨论： ① 即 时，方程 有两根 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 8 . 则 原 不 等 式 的 解 为 . ② 即 时，方程 没有实根， 此时为开口向上的抛物线，故原不等式的解 为 . ③ 即 时，方程 有两相等实根为 ， 则原不等式的解为 . （3）当 时， 恒成立， 即 时，方程 有两根 . 此时，为开口向下的抛物线， 故原不等式的解集为 . 综上所述，原不等式的解集为： 当 时，解集为 ； 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 9 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 . 类型二：函数中的分类讨论 2、设 为实数，记函数 的 最大值为 ， （Ⅰ）设 ，求 的取值范围，并把 表 示为 的函数 ； （Ⅱ）求 ； （Ⅲ）试求满足 的所有实数. 解析： （I）∵ ， ∴要使 有意义，必须 且 ，即 ∵ ，且 ……① ∴ 的取值范围是 ， 由①得： ， ∴ ， ， 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 10 （II）由题意知 即为函数 ， 的最大值， ∵ 时，直线 是抛物线 的对称轴， ∴可分以下几种情况进行讨论： （1）当 时，函数 ， 的图象 是开口向上的抛物线的一段， 由 知 在 上单调递 增，故 ； （2）当 时， ， ，有 =2； （3）当 时，，函数 ， 的图 象是开口向下的抛物线的一段， 若 即 时 ， ， 若 即 时 ， ， 若 即 时 ， ， 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 11 综上所述，有 = （III）当 时， ； 当 时， ， ， ∴ ， ∴ ， 故当 时， ； 当 时， ，由 知： ， 故 ； 当 时， ，故 或 ，从而有 或 ， 要使 ，必须有 ， ，即 ， 此时， ， 综 上 所 述 ， 满 足 的 所 有 实 数 为 ： 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 12 或 . 举一反三： 【变式 1】函数 的图象经过点(-1， 3)，且 f(x)在(-1，+∞)上恒有 f(x)＜3，求函数 f(x). 解 析 ： f(x) 图 象 经 过 点 (-1 ， 3) ， 则 ， 整理得： ，解得 或 (1)当 时，则 ，此时 x∈(-1， +∞)时，f(x)＞3，不满足题意； (2)当 ，则 ，此时，x∈(-1， +∞)时， 即 f(x)＜3，满足题意为所求. 综上， . 【变式 2】已知函数 有最大 值 2，求实数 的取值. 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 13 解 析 ： 令 ，则 ( ). (1)当 即 时， ， 解得: 或 （舍）； (2) 当 即 时 ， , 解得: 或 （舍）； (3)当 即 时， ， 解得 （全都舍去）. 综上，当 或 时，能使函数 的 最大值为 2. 3、已知函数 （ ）. （1）讨论 的单调性； （2）求 在区间 上的最小值. 解析： 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 14 （1）函数 的定义域为（0，+∞） 对 求导数，得 解不等式 ，得 0＜x＜e 解不等式 ，得 x＞e 故 在（0，e）上单调递增，在（e，+∞） 上单调递减 （2）①当 2a≤e 时，即 时，由（1）知 在 （0，e）上单调递增， 所以 ②当 a≥e 时，由（1）知 在（e，+∞） 上单调递减， 所以 ③当 时，需比较 与 的大小 因 为 所以，若 ，则 ，此时 若 2 ＜ a ＜ e ， 则 ， 此 时 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 15 综上，当 0＜a≤2 时， ；当 a＞2 时 总结升华：对于函数问题，定义域要首先考虑， 而（２）中③比较大小时，作差应该是非常有效的方 法. 举一反三： 【变式 1】设 ， （1）利用函数单调性的意义，判断 f(x)在（0，+ ∞）上的单调性； （2）记 f(x)在 0＜x≤1 上的最小值为 g(a)，求 y=g(a) 的解析式. 解析： （1）设 0＜x1＜x2＜+∞ 则 f(x2)-f(x1)= 由题设 x2-x1＞0，ax1·x2＞0 ∴当 0＜x1＜x2≤ 时， ，∴f(x2)-f(x1) 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 16 ＜0， 即 f(x2)＜f(x1)，则 f(x)在区间[0， ]单调递 减， 当 ＜x1＜x2＜+∞时， ，∴f(x2)-f(x1) ＞0， 即 f(x2)＞f(x1)，则 f(x)在区间（ ，+∞）单 调递增. （2）因为 0＜x≤1，由（1）的结论， 当 0＜ ≤1 即 a≥1 时，g(a)=f( )=2- ; 当 ＞1，即 0＜a＜1 时，g(a)=f(1)=a 综上，所求的函数 y=g(a)＝ . 【变式 2】求函数 在 上的值域. 解析： 令 ，则 (1)当 0＜a≤1 时， ∵0≤x≤a，∴f′(x)≥0(只有 a=1 且 x=1 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 17 时 f′(x)=0) ∴f(x)在[0,a]上单增，从而 ，值 域为 ； (2)当 a＞1 时， ∵0≤x≤a，∴f(x)在 单增，在 上单 减， 并且 ，∴ ，值 域为 ； (3)当-1≤a＜0 时， ∵0≤x≤|a|，∴f(x)在[0,|a|]上递减 从而 即 ，值域为 (4)当 a＜-1 时， ∵0≤x≤|a|，∴f(x)在 单减，在 上 单增， ∴ ，又 ， ∴ ，值域为 . 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 18 类型三：数列 4、数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知{Sn}是各 项均为正数的等比数列，试比较 与 的大小， 并证明你的结论. 解析：设等比数列{Sn}的公比为 q，则 q＞0 ①q=1 时，Sn=S1=a1 当 n=1 时， ，a2=0，∴ ， 即 当 n ≥ 2 时 ， an=Sn-Sn-1=a1-a1=0 ， ，即 ②q≠1 时，Sn=S1·qn-1=a1·qn-1 当 n=1 时， ∴ ，即 . 当 n≥2 时， an=Sn-Sn-1=a1·qn-1-a1·qn-2=a1·qn-2(q-1) 此时 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 19 ∴q＞1 时， ， 0＜q＜1 时， . 总结升华：等比数列前 n 项和公式分 q=1 或 q≠1 两种情况进行讨论. 举一反三： 【变式 1】求数列：1，a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,…… （其中 a≠0）的前 n 项和 Sn. 解析：数列的通项 an=an-1+an+…+a2n-2 讨论： （1）当 a=1 时，an=n，Sn=1+2+…+n= （2）当 a=-1 时， ，∴ ， （3）当 a≠±1 且 a≠0 时， ， ∴ . 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 20 【变式 2】设{an}是由正数组成的等比数列，Sn 是其前 n 项和， 证明: . 解析： （ 1 ） 当 q=1 时 ， Sn=na1 ， 从 而 ， （2）当 q≠1 时， ， 从而 由（1）（2）得: . ∵ 函数 为单调递减函数. ∴ ∴ . 【变式 3】已知{an}是公比为 q 的等比数列，且 a1，a3，a2 成等差数列. (Ⅰ)求 q 的值； (Ⅱ)设{bn}是以 2 为首项，q 为公差的等差数列， 其前 n 项和为 Sn，当 n≥2 时，比较 Sn 与 bn 的大小， 并说 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 21 明理由. 解析： (Ⅰ)由题设 2a3=a1+a2，即 2a1q2=a1+a1q, ∵a1≠0，∴2q2-q-1=0， ∴ 或 ， (Ⅱ)若 q=1，则 当 n≥2 时， 若 当 n≥2 时， 故对于 n∈N+，当 2≤n≤9 时，Sn＞bn；当 n=10 时，Sn=bn；当 n≥11 时，Sn＜bn. 【变式 4】对于数列 ，规定数列 为数列 的 一阶差分数列，其中 ；一般地，规定 为 的 k 阶差分数列，其中 且 k∈N*， k≥2。 （1）已知数列 的通项公式 。试 证明 是等差数列； （ 2 ） 若 数 列 的 首 项 a1= ― 13 ， 且 满 足 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 22 ，求数列 及 的通项公式； （3）在（2）的条件下，判断 是否存在最小值； 若存在，求出其最小值，若不存在，说明理由。 解析： （1）依题意： ， ∴ ∴ ， ∴数列 是首项为 1，公差为 5 的等差数 列。 （2） ， （3）令 ， 则当 时，函数 单调递减； 当 时，函数 单调递增； 又因 ， 而 ， 所以当 n=2 时，数列 an 存在最小值，其最 小值为－18。 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 23 类型四：解析几何 5、已知椭圆 C 的方程为 ，点 P（a,b） 的坐标满足 ，过点 P 的直线 l 与椭圆交于 A、B 两点，点 Q 为线段 AB 的中点，求： （1）点 Q 的轨迹方程. （2）点 Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数. 思路点拨：本题求点的轨迹方程，点与椭圆的位 置关系，直线与椭圆相交等知识. 解析： （1）设点 A，B 的坐标为（x1，y1），（x2，y2）， 点 Q 的坐标为 Q（x,y）. 当 x1≠x2 时，可设直线 l：y=k(x-a)+b 由已知 ， ……① y1=k(x1-a)+b,y2=k(x2-a)+b…② 由①得(x1+x2)(x1-x2)+ (y1+y2)(y1-y2)=0…③ 由②得 y1+y2=k(x1+x2)-2ak+2b…④ 由③、④及 ， ，得 点 Q 的坐标满足方程 2x2+y2-2ax-by=0…… 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 24 ⑤ 当 x1=x2 时，l 平行于 y 轴， 因此 AB 的中点 Q 一定落在 x 轴上，即 Q 的坐标为（a,0）， 显然 Q 点的坐标满足方程⑤. 综 上 所 述 ， 点 Q 的 坐 标 满 足 方 程 ： 2x2+y2-2ax-by=0. 设方程⑤所表示的曲线为 L， 则 由 ， 得 （ 2a2+b2 ） x2-4ax+2-b2=0 由于Δ=8b2(a2+ -1)，由已知 a2+ ≤1 所以当 a2+ =1 时，Δ=0， 曲线 L 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P （a,b）. 当 a2+ ＜1 时Δ＜0，曲线 L 与椭圆无交点， 而因为（0，0）在椭圆 C 内，又在曲线 L 上， 所以曲线 L 在椭圆 C 内. 故点 Q 的轨迹方程为 2x2+y2-2ax-by=0. 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 25 （2）由 ，解得 或 ， 又由 ，解得 或 ， 则①当 a=0,b=0,即点 P(a,b)为原点. 曲线 L 与坐标轴只有一个交点(0,0) ②当 a=0 且 0＜|b|≤ 时, 即点 P(a,b)不在椭圆 C 外且在除去原点的 y 轴上时, 点(a,0)与(0,0)重合，曲线 L 与坐标轴有两个 交点(0,b)与(0,0) ③当 b=0 且 0＜|a|≤1 时， 即点 P(a,b)不在椭圆 C 外且在除去原点的 x 轴上时, 曲线 L 与坐标轴有两个交点(a,0)与(0,0). ④当 0＜|a|＜1 且 0＜|b|＜ 时, 即点 P(a,b)在椭圆 C 内且不在坐标轴上时, 曲线 L 与坐标轴有三个交点(a,0),(0,b)与 (0,0). 总结升华：本题充分运用了分类讨论的思想方法, 以及综合运用知识解题的能力,此题运算量大,涉及知 识点较多,需要较高的运算能力和逻辑推理能力,做为 考题区分度好,特别是分类讨论时易出错. 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 26 举一反三： 【变式 1】讨论 k 的取值，说明方程 表示的曲线. 解析：方程中 x、y 的平方项系数是否为 0，是否 相等决定着方程表示的曲线， 故需要对 k 值就以上情况分类讨论. 当 k2=0 即 k=0 时，方程化为 ，表示 顶点在原点，x 轴为对称轴，开口向左的抛物线. 当 2k-1=0 即 时，方程化为 x(x-8)=0 ∴x=0 或 x=8，表示 y 轴和过点(8，0) 斜 率不存在的两平行直线. 当 k2=2k-1,即 k=1 时，方程化为 ， 表示以(1，0)为圆心，半径为 1 的圆 当 k≠0， ，k≠1 时 方程可化为 当 方程表示焦点在平行 y 轴直线上，中心在 的椭圆 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 27 当 时，方程表示以 为中心，焦点在 x 轴上的双曲线. 【变式 2】已知圆 x2+y2=1 和双曲线(x-1)2-y2=1， 直线 l 与双曲线交于不同两点 A、B，且线段 AB 的中 点恰是 l 与圆相切的切点，求直线 l 的方程. 解析：当 l 斜率不存在时，由对称性可知：l 方程 为 x=-1 当 l 斜率存在时设 l 方程为 y=kx+b 由 l 与圆相切 l 方 程 代 入 双 曲 线 整 理 得 (1-k2)x2-2(kb+1)x-b2=0 (1-k2≠0)，△＞0 设 A(x1，y1)，B(x2,y2)，AB 中点为 M ， 由 AB ⊥ OM ， ， 整 理 得 k2+1+2kb=0 将 k2+1=b2 代入 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 28 ∴b2+2bk=0,b(b+2k)=0 ∵b≠0，否则 l 过原点与圆不相切 ∴b=-2k，解方程组 得 经检验△＞0 ∴l 的方程为 x=-1 或 . 高考冲刺：数形结合 编稿：林景飞 审稿： 张扬 责编：严春梅 热点分析 高考动向 数形结合应用广泛，不仅在解答选择题、填空题 中显示出它的优越性，而且在解决一些抽象数学问题 中常起到事半功倍的效果。高考中利用数形结合的思 想在解决选、填题中十分方便，而在解答题中书写应 以代数推理论证为主，几何方法可作为思考的方法。 数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数解形” 在近年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽 视。历年的高考都有关于数形结合思想方法的考查， 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 29 且占比例较大。 知识升华 数形结合是通过“以形助数”（将所研究的代数问 题转化为研究其对应的几何图形）或“以数助形”（借 助数的精确性来阐明形的某种属性），把抽象的数学语 言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与 形象思维有机地结合起来，是解决问题的一种数学思 想方法。它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化， 在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。 具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结 构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的 特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化 成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论。 选择题，填空题等客观性题型，由于不要求解答 过程，就某些题目而言，这给学生创造了灵活运用数 形结合思想，寻找快速思路的空间。但在解答题中， 运用数形结合思想时，要注意辅之以严格的逻辑推理， “形”上的直观是不够严密的。 1．高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面： （1）集合问题中 Venn 图（韦恩图）的运用； 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 30 （2）数轴及直角坐标系的广泛应用； （3）函数图象的应用； （4）数学概念及数学表达式几何意义的应用； （5）解析几何、立体几何中的数形结合。 2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个 原则： （1）等价性原则。要注意由于图象不能精确刻画 数量关系所带来的负面效应； （2）双方性原则。既要进行几何直观分析，又要 进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分 析容易出错； （3）简单性原则。不要为了“数形结合”而数形 结合，具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利； 二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立 关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变 量的取值范围，特别是运用函数图象时应设 法选择动直线与定二次曲线为佳。 3．进行数形结合的信息转换，主要有三个途径： （1）建立坐标系，引入参变数，化静为动，以动 求解，如解析几何； 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 31 （2）构造成转化为熟悉的函数模型，利用函数图 象求解； （3）构造成转化为熟悉的几何模型，利用图形特 征求解。 4．常见的“以形助数”的方法有： (1)借助于数轴、文氏图，树状图，单位圆； (2)借助于函数图象、区域(如线性规划)、向量本 身的几何背景； (3)借助于方程的曲线，由方程代数式，联想其几 何背景，并用几何知识解决问题，如点，直线，斜 率，距离，圆及其他曲线，直线和曲线的位置 关系等，对解决代数问题都有重要作用，应充分予以 重视。 5．常见的把数作为手段的数形结合： 主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有 这方面的考查. 经典例题透析 类型一：利用数形结合思想解决函数问题 1．已知 ， ，若 的最小值 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 32 记为 ，写出 的表达式。 思路点拨：依据函数 的对称轴与区间 的位置关系，结合函数图象确定 在 上的增减 情况，进而可以明确在何处取最小值。 解析：由于 ， 所以抛物线 的对称轴为 ，开口向 上， ①当 ，即 时， 在[t，t+1]上单 调递增（如图①所示）， ∴ 当 x=t 时 ， 最 小 ， 即 。 ②当 ，即 时， 在 上递减，在 上递增（如 图②）。 ∴ 当 时 ， 最 小 ， 即 。 ③当 ，即 时， 在[t，t+1]上单 调递减（如图③）。 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 33 ∴ 当 x=t+1 时 ， 最 小 ， 即 ， 图 ① 图② 图③ 综合①②③得 。 总结升华：通过二次函数的图象确定解题思路， 直观、清晰，体现了数形结合的优越性。应特别注意， 对于二次函数在闭区间上的最值问题，应抓住对称轴 与所给区间的相对位置关系进行讨论解决。首先确定 其对称轴与区间的位置关系，结合函数图象确定在闭 区间上的增减情况，然后再确定在何处取最值。 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 34 举一反三： 【变式 1】已知函数 在 0≤x≤1 时 有最大值 2，求 a 的值。 解析：∵ ， ∴抛物线 的开口向下，对称轴是 ，如图所示： （ 1 ） （ 2 ） （3） （1）当 a＜0 时，如图（1）所示， 当 x=0 时 ， y 有 最 大 值 ， 即 。 ∴1―a=2。即 a=―1，适合 a＜0。 （2）当 0≤a≤1 时，如图（2）所示， 当 x=a 时 ， y 有 最 大 值 ， 即 。 ∴a2―a+1=2，解得 。 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 35 ∵0≤a≤1，∴ 不合题意。 （3）当 a＞1 时，如图（3）所示。 当 x=1 时，y 有最大值，即 。 ∴a=2。 综合（1）（2）（3）可知，a 的值是―1 或 2 【变式 2】已知函数 。 （Ⅰ）写出 的单调区间； （Ⅱ）设 ，求 在[0，a]上的最大值。 解析： 如图： （1） 的单调增区间： ， ；单 调减区间：（1，2） （2）当 a≤1 时， 当 时， 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 36 当 ， 。 【变式 3】已知 ( ) (1)若 ， 在 上的最大值为 ，最小值 为 ，求证： ； (2)当 ， 时，对于给定的负数 ，有一个最 大的正数 ，使得 x∈[0, ]时，都有 |f(x)|≤5，问 a 为何值时，M(a)最大？并求出 这个最大值。 解析： (1)若 a=0，则 c=0，∴f(x)=2bx 当-2≤x≤2 时，f(x)的最大值与最小值一定互 为相反数，与题意不符合，∴a≠0； 若 a≠0，假设 ， ∴区间[-2,2]在对称轴 的左外侧或右外 侧， ∴f(x)在[-2，2]上是单调函数， （这是不可能的） 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 37 (2)当 ， 时， ， ∵ ，所以 ， （ 图 1 ） （图 2） (1)当 即 ， 时（如图 1）， 则 所以 是方程 的较小根，即 (2)当 即 ， 时（如图 2），则 所以 是方程 的较大根，即 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 38 （当且 仅当 时,等号成立）， 由于 ， 因此当且仅当 时， 取最大值 类型二：利用数形结合思想解决方程中的参数问题 2．若关于 x 的方程 有两个不同的实 数根，求实数 m 的取值范围。 思路点拨：将方程的左右两边分别看作两个函数， 画出函数的图象，借助图象间的关系后求解，可简化 运算。 解析：画出 和 的图象， 当直线 过点 ，即 时，两图 象有两个交点。 又由当曲线 与曲线 相切时，二 者只有一个交点， 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 39 设切点 ，则 ，即 ，解得 切点 ， 又直线 过切点 ，得 ， ∴当 时，两函数图象有两个交点， 即方程有两个不等实根。 误区警示：作图时，图形的相对位置关系 不准确，易造成结果错误。 总结升华： 1．解决这类问题时要准确画出函数图象，注意函 数的定义域。 2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）解 的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把 方程两边的代数式看作是两个函数的表达式 （有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两 个函数的图象，由图求解。 3．在运用数形结合思想分析问题和解决问题时， 需做到以下四点： ①要准确理解一些概念和运算的几何意义以 及曲线的代数特征； ②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转 化； 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 40 ③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗 漏； ④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决 的代数问题几何化，几何问题代数化,便于问题求解。 举一反三： 【变式 1】若关于 x 的方程 在（－1，1） 内有 1 个实根，则 k 的取值范围是 。 解析：把方程左、右两侧看作两个函数，利用函 数图象公共点的个数来确定方程根的个数。 设 （x∈－1， 1） 如图：当 或 时，关于 x 的方 程 在（－1，1）内有 1 个实根。 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 41 【变式 2】若 0＜θ＜2π，且方程 有 两个不同的实数根，求实数 m 的取值范围及这两个实 根的和。 解 析 ： 将 原 方 程 转 化 为 三角 函 数 的图象与直线 有两个不同的 交点时，求 a 的范围及α+β的值。 设 ， ，在同一坐标中作出这 两个函数的图象 由图可知，当 或 时，y1 与 y2 的图象有两个不同交点， 即对应方程 有两个不同的实数 根， 若 ，设原方程的一个根为 ， 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 42 则另一个根为 . ∴ . 若 ，设原方程的一个根为 ， 则另一个根为 ， ∴ . 所以这两个实根的和为 或 . 且由对称性可知，这两个实根的和为 或 。 类型三：依据式子的结构，赋予式子恰当的几何意义， 数形结合解答 3．求函数 的最大值和最小值 思路点拨： 可变形为 ，故 可看作 是两点 和 的连线斜率的 倍，只需求出 范围即可；也可以利用三角函数的有界性，反解求 解。 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 43 方法一：数形结合 可看作是单位圆 上的动 点， 为圆外一点，如图， 由图可知： ，显然 ， 设直线 的方程： ， ，解得 ， ∴ 方法二：令 ， ， ， 总结升华：一些代数式所表示的几何意义往往是 解题的关键，故要熟练掌握一些代数式的几何意义： （1） 表示动点（x，y）与定点（a， 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 44 b）两点间的距离； （2） 表示动点（x，y）与定点（a，b）两点 连线的斜率； （3）求 ax+by 的最值，就是求直线 ax+by=t 在 y 轴上的截距的最值。 举一反三： 【变式 1】已知圆 C：(x+2)2+y2=1，P（x，y）为 圆 C 上任一点。 （1）求 的最大、最小值； （2）求 的最大、最小值； （3）求 x―2y 的最大、最小值。 解析：联想所求代数式的几何意义，再画出草图， 结合图象求解。 （1） 表示点（x，y）与原点的距离， 由题意知 P（x，y）在圆 C 上，又 C （―2，0），半径 r=1。 ∴|OC|=2。 的最大值为 2+r=2+1=3， 的最小值为 2―r=2―1=1。 （2） 表示点（x，y）与定点（1，2） 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 45 两点连线的斜率， 设 Q（1，2）， ，过 Q 点作圆 C 的两条切线，如图： 将 整理得 kx―y+2―k=0。 ∴ ，解得 ， 所以 的最大值为 ，最小值为 。 （3）令 x―2y=u，则可视为一组平行线系， 当直线与圆 C 有公共点时，可求得 u 的范围， 最值必在直线与圆 C 相切时取得。 这时 ， ∴ 。 ∴x―2y 的最大值为 ，最小值为 。 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 46 【变式 2】求函数 的最小值。 解 析 ： 则 y 看作点 P（x，0）到点 A（1，1）与 B （3，2）距离之和 如图，点 A（1，1）关于 x 轴的对称点 A＇ （1，－1）， 则 即为 P 到 A，B 距离之和的最小值， ∴ 【变式 3】若方程 x2+(1+a)x+1+a+b=0 的两根分别 为椭圆、双曲线的离心率，则 的取值范围是（ ） A ． B ． 或 C． D． 或 解析：如图 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 47 由题知方程的根，一个在（0，1）之间， 一个在（1，2）之间， 则 ，即 下面利用线性规划的知识，则 可看作可 行域内的点与原点 O（0，0）连线的斜率 则 ，选 C。 高考冲刺：转化与化归思想 编稿：林景飞 审 稿：张扬 责编：严春梅 热点分析 高考动向 转化与化归思想在高考中占有相当重要的地位， 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 48 可以说比比皆是，如未知向已知的转化、新知识向旧 知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学 问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等等. 各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思 想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中. 知识升华 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数 学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进 而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过 变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化 为容易求解的问题，将未解决的问题变换转化为已解 决的问题.解题的过程就是“化归”的过程，不断地改 变待解决的问题，重新叙述它，变换它，直到最后成 功地找到某些有用的东西为止. 1．转化与化归应遵循的原则 （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问 题，以利于我们运用熟知的知识、经验和方法来解决. （2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题， 通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的， 或获得某种解题的启示和依据. （3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 49 表现形式更符合数与形内部所呈现的和谐统一的形 式，或者转化命题，使其有利于运用某种数 学方法或符合人们的思维规律. （4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较 直观的问题来解决. （5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时， 可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使 问题获解. 2．转化与化归的基本类型 （1）正与反、一般与特殊的转化，即正难则反， 特殊化原则. （2）常量与变量的变化，即在处理多元问题时， 选取其中的变量（或参数）当“主元”，其他的变量 看作常量. （3）数与形的转化，即利用对数量关系的讨论来 研究图形性质，也可利用图形直观提供思路，直观地 反映函数或方程中的变量之间的关系. （4）数学各分支之间的转化，如利用向量方法解 立体几何问题，用解析几何方法处理平面几何、代 数、三角问题等. （5）相等与不等之间的转化，如利用均值不等式、 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 50 判别式等. （6）实际问题与数学模型的转化. 3．常见的转化方法 （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、 基本公式或基本图形问题. （2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理 式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式 问题转化为易于解决的基本问题. （3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析 式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换、获得 转化途径. （4）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵 活性，易于转化. （5）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把 问题变为易于解决的问题. （6）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决 几何问题. （7）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论. （8）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式 转化，并证明特殊化后的结论适合原问题. （9）一般化方法：当原问题是某个一般化形式问 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 51 题的特殊形式且又较难解决时，可将问题通过一般化 的途径进行转化. （10）等价问题法：把原问题转化为一个易于解 决的等价命题，达到转化目的. （11）加强命题法：在证明不等式时，原命题难 以得证，往往把命题的结论加强，即把命题的结论加 强 为原命题的充分条件，反而能将原命题转 化为一个较易证明的命题，加强命题法是非等价转化 方 法. （12）补集法：如果正面解决原问题有困难，可 把原问题结果看作集合 A，而把包含该问题的整体问 题 的结果类比为全集 U，通过解决全集 U 及 补集 获得原问题的解决. 以上所列的一些方法是互相交叉的，不能截然分 割. 经典例题透析 类型一：常量与变量的转化问题 1．已知二次方程 ax2+2(2a―1)x+4a―7=0 中的 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 52 a 为正整数，问 a 取何值时此方程至少有一个整数根. 思路点拨：本题可以将原方程变为关于 a 的式子, 根据 a 为正整数，得出 x 的取值，再代回去，求出 a 的值. 解析：原方程即是(x2+4x+4)a=2x+7， ∵x=―2 不是原方程的解，∴ ， 又∵a 为正整数， ∴ ， 解得－3≤x≤1， 又∵x 是整数且 x≠－2，∴x=―3，―1，0， 1， 把它们分别代入原方程得 ， ， ， ， 故当 a=1 或 a=5 时，原方程至少有一个整 数根. 知识升华：解决本题易按求根公式，讨论方程至 少有一个整数根的条件，而无法进行下去.将变量与参 数变更关系，视 a 为主元，转换思考的角度，使解法 变得简易. 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 53 举一反三： 【变式 1】已知 a＞0 且 a≠1，若关于 x 的方程 loga(x-3)-loga(x+2)-loga(x-1)=1 有实根，求实数 a 的取 值范围. 解析：要使原方程有意义，需 ，解得 x＞3. 原方程化为： . ∴x-3=a(x-1)(x+2)在区间(3, +∞)上有解， ∴ . 问题转化为求右端在(3, +∞)上的值域， 即将 a 看作 x 的函数 a(x). 由 ， ∵x＞3, ∴x-3＞0， ∴ . 当且仅当 ，即 时取等号. ∴ . 又∵x＞3 时，a＞0, ∴ , 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 54 故 a 的取值范围是 . 【变式 2】设 ，若 t∈[―2， 2]时，y＞0 恒成立，求 x 的取值范围. 答案： 类型二：等价转化 2．已知函数 的值域为[―1，4]，求实 数 a、b 的值. 思路点拨：设 ，将所给函数看作关于 x 的方 程.则由题意可知当 y∈[―1，4]时，关于 x 的方程有 实数解. 解析：∵ 的定义域为 R， 故可等价转化为 yx2―ax+y―b=0. 令Δ=a2―4y(y―b)≥0，即 4y2―4by―a2 ≤0， 则由题意可知，不等式 4y2―4by―a2≤0 的解集为[―1，4]. 也就是―1，4 是关于 y 的方程 4y2―4by― a2=0 的两根. 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 55 ∴ ，∴a=±4，b=3. 所以所求实数 a=±4，b=3. 总结升华：本题是利用函数、不等式与方程的关 系一步一步地等价转化使问题得以解决，常见的转化 类型有高次向低次的转化，多元向一元的转化，分式 向整式的转化，无理向有理的转化，空间向平面的转 化等. 举一反三： 【变式 1】已知奇函数 在定义域（－1，1）上 是减函数，且 ，求实数 的取值范围. 答案： 【变式 2】若 的图象在（0，1）内与 x 轴恰好有一个交点，则 a 的取值范围为_______. 解析： 的图象是直线， 在（0，1）内与 x 轴恰有一个交点， 则 ， 则 a＞3（当 a=0 时不合题意）. 【变式 3】已知函数 ，满足 ， 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 56 ，求 的最大值、最小值及取得最大值和最 小值时对应 a，c 的值. 答案： ，此时 ； ，此时 类型三：正面与反面的转化问题 3．已知非空集合 A={x|x2―Amx+2m+6=0，x ∈R}，若 A∩R－≠ ，求实数 m 的取值范围（R―表示 负实数集，R+表示正实数集）. 思路点拨：本题可以根据 A∩R－≠ 的反面—— A∩R―= 时的取值范围进行求解. 解 析 ： 设 全 集 U={m| Δ =16m2 ― 8m ― 24 ≥ 0}={m|m≤―1 或 }. 方程 x2―4mx+2m+6=0 的两根均非负的充 要条件是 ，可得 . ∴A∩R －= 时，实数 m 的取值范围为 ； ∴A∩R－≠ 时，实数 m 的取值范围为 {m|m≤―1}. 知识升华：正面难以解决的问题，可采用补集的 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 57 思想，转化为反面问题来解决.一个题目若出现多种成 立的情况，则不成立的情况一般较少，易从反而考虑， 比如题目中出现“至多”，“至少”等字眼时. 举一反三： 【变式 1】试求常数 m 的范围，使曲线 y=x2 的所 有弦都不能被直线 y=m(x-3)垂直平分. 解析：问题可以转化为： 为使曲线y=x2有两个对称于直线y=m(x-3) 的点，求 m 的取值范围. 易得 ，因此原问题的解是 . 【变式 2】已知二次函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1， 若区间[-1，1]内至少存在一个实数 c，使 f(c)＞0, 则 实数 p 的取值范围是（ ）. A、 B、 C、 D、 解析：问题转化为先求在[-1，1]内没有一个实数 C 使 f(c)＞0， 即对任意 x∈[-1,1]，f(x)≤0 的 P 的取值范 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 58 围. 由二次函数 f(x)在[-1，1]的图形易知： f(1)≤0 且 f(-1)≤0, 解得： 或 P≥3. ∴满足已知条件的 P 的取值范围为 . 【变式 3】已知三条抛物线： ， ， 中至少有一条与 x 轴相交， 求实 a 的取值范围. 答案： 或 . 类型四：换元转化问题 4．求函数 的最大值. 思路点拨：令 t=sin x，将函数转化为关于 t 的二 次函数，再求二次函数在区间[―1，1]上的最大值. 解析： . 设 sin x=t，则―1≤t≤1， 令 . 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 59 如图所示，当 a＜0 时，有 . 同理，当 a≥0 时，有 . 所以，当 a＜0 时函数 的最大值为 3― 4a. 当 a≥0 时函数 的最大值为 3+4a. 总结升华：通过换元将三角问题转化为较熟悉的 一元二次函数在闭区间上的最值问题，特别注意：① 换元后所得 t 的函数的定义域为[―1，1]；②应该讨论 二次函数对应的抛物线的对称轴相对于区间[―1，1] 的位置，才能确定其最值. 举一反三： 【变式 1】已知 x2+y2=1，则 z=x―2y 的取值范围 是________. 解 析 ： 令 x=cos θ ， y=sin θ ， 则 ， ∴ ， . ∴ 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 60 【变式 2】已知 a∈R，求函数 y=(a―sin x)(a―cos x)的最小值. 解析：设 t=sin x+cos x， 则 ，故 . 而 ， 于是， . 原 问 题 化 归 为 求 二 次 函 数 在 上的最值问题. ①当 时，若 t=a， ； ②当 时， 在 上单调递减， ； ③当 时， 在 上单调递增， . 【变式 3】已知 ， ，t∈R. 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 61 （1）当 t=―1 时，解不等式 ； （2）如果 x∈[0，1]时， 恒成立，求参数 t 的取值范围. 答案：（1） （2）t≥1 类型五：命题的转化 5．关于 x 的方程 x3―3x2―a=0 只有一个实数 根，求 a 的取值范围. 思路点拨：本题是一个高次方程的问题，无法用 判别式去判定根的个数，故可以转化命题，转化为曲 线 y=x3―3x2 与直线 y=a 有一个交点，求实数 a 的取 值范围. 解析：由 x3―3x2―a=0 得 a=x3―3x2， 令 ∴ ， 令 ，得 x=0 或 x=2. 当 x∈（－∞，0）时， ； 当 x∈（0，2）时， ； 当 x∈（2，+∞）时， . 所以 在（－∞，0）和（2，+∞）上是 增函数，在（0，2）上为减函数. 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 62 又 ， . 如图所示，画出 的草图. 结合图象，直线 y=a 与曲线 y=x3―3x2 有 一个公共点时，则 a＜―4 或 a＞0. 所以关于 x 的方程 x3―3x2―a=0 只有一个 实数根时， 实数 a 的取值范围为 a＜―4 或 a＞0. 总结升华：在解题的过程中，直接考虑思维受阻 时，要学会变换解决问题的角度，转化命题的形式， 使问题变得直观、简洁，进而使问题得以解决，有些 问题可以考虑其反面，通过解决反面使问题得以解决， 有些空间中的问题转化为平面问题则变得简洁.这就 是转化与化归思想的真谛. 举一反三： 【变式】设 0＜θ＜2π，且方程 有两 个不同的实数根，求实数 m 的取值范围及这两个实根 的和. 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 63 解 析 ： 将 原 方 程 转 化 为 三角 函 数 的图象与直线 有两个不同的 交点时，求 a 的范围及α+β的值. 如图，在同一坐标系中，作出 及 y=m 的图象， 由图可知：当 或 时，直线 与曲线有两个交点， 即原方程 有两个不同实根. 若 ，设原方程的一个根为 ， 则另一个根为 . ∴ . 若 ，设原方程的一个根为 ， 则另一个根为 ，∴ . 且由对称性可知，这两个实根的和为 或 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 64 . 高考冲刺：怎样解数学选择题 编稿：林景飞 审 稿：张扬 责编：严春梅 热点分析 高考动向 数学选择题在当今高考试卷中，不但题目数量多， 且占分比例高。考生能否迅速、准确、全面、简捷地 解好选择题，成为得分的关键，并且直接影响到解答 题的答题时间及答题的情绪状态. 高考中数学选择题属小题，具有概括性强、知识 覆盖面宽、小巧灵活，有一定的综合性和深度的特点。 解题的基本原则是：“小题不能大做.”因而答题方法 很有技巧性，如果题题都严格论证，个个都详细演算， 耗时太多，以致于很多学生没时间做后面会做的题而 造成隐性失分，留下终生遗憾。 夺取高考数学试卷高分的关键就是：“准”“快” “稳”地求解选择题。准确是解答选择题的先决条件。 选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分， 所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏； 初选后认真检验，确保准确。迅速是赢得时间获取高 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 65 分的必要条件.高考中考生不适应能力型的考试，致使 “超时失分”（也叫“隐形失分”）是造成低分的一 大因素.对于选择题的答题时间，应该控制在不超过 40 分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在 1～3 分钟内解完. 知识升华 选择题的结构特点 选择题有题干和４个可供挑选的选择项（其中一 个正确答案，三个诱误项）。选择题的结构中包含着 我们解题的信息源（特别注意４个选择支也是已知条 件） 选择题的求解策略 充分利用题设和选择项两方面所提供的信息作出 判断，一般来说，能定性判定的，就不再使用复杂的 定量计算；能使用特殊值判定的，也不必采用常规解 法；能使用间接解法的，也不必采用直接解法；对于 明显可以否定的选择项，应及早排除，以缩小选择的 范围；对于具有多种解题思路的，宜于选择最简解法 等等.一般有两种思路：一是从题干出发考虑，探求结 果；二是从题干和选择项联合考虑或从选项出发探求 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 66 是否满足题干条件。 选择题的常用方法 由于选择题提供了备选答案，又不要求写出解题 过程，因此出现了一些特有的解法，在选择题求解中 很适用，结合数学选择题的结构特点及近几年的高考 题，有以下几种常用解法： ①直接法； ②排除法； ③特例法； ④图解法（数形结合法）； ⑤代入法。 经典例题透析 类型一：直接法 直接从题设条件出发，运用有关，运用有关的概 念、定义、公理、定理、性质、公式等，使用正确的 解题方法，经过严密的推理和准确的运算，得出正确 的结论，然后对照题目中给出的选择项“对号入座”， 作出相应的选择，这种方法称之为直接法。是一种基 础的、重要的、常用的方法，一般涉及概念、性质的 辨析或运算较简单的题目常用直接法。 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 67 1．设 是（－∞，+∞）上的奇函数， ，当 0≤x≤1 时， ，则 等于（ ） A．0.5 B．―0.5 C．1.5 D．― 1.5 思路点拨：认真分析题目已知，若能发现 的周 期性，即能看出 ，对解题将会带 来极大的方便。 解析：∵ ， ∴ 是以 4 为周期的函数。 又∵ 为奇函数，且有当 0≤x≤1 时， ， ∴ 。 ∴选 B。 总结升华：直接法解选择题，它和解解答题的思 路、程序方法是一致的，不同之处在于解选择题不需 要书写过程，这就给我们创造灵活解答选择题的空间， 即在推理严谨、计算准确的前提下，可以简化解题的 步骤，简化计算。再就是在考查问题的已知条件和选 择项的前提下，洞察问题的实质，找寻到最佳的解题 方法，这样才会使问题解得真正的简洁、准确、迅速。 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 68 举一反三： 【变式 1】设 F1、F2 为双曲线 的两个焦点， 点 P 在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2 的 面积为（ ） A．1 B． C．2 D． 解析： 。 ∴选 A。 【变式 2】设函数 f(x)=Asin(ωx+j)（其中 A>0， ω>0，x∈R），则 f(0)=0 是 f(x)为奇函数的（ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要 条件 解析：若 f(0)=0，即 sinj=0, j=kπ（k∈Z）. ∴f(x)=Asinωx 或 f(x)=-Asinωx, ∴f(x)为奇函数，则充分性成立. 若 f(x)为奇函数，则 f(-x)+f(x)=0 恒成 立， ∴f(0)+f(0)=0, ∴f(0)=0，则必要性成立. 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 69 ∴选 C. 类型二：排法除 从已知条件出发，通过观察分析或推理运算各选 项提供的信息，对于错误的选项，逐一剔除，从而获 得正确的结论，这种方法称为排除法。排除法常常应 用于条件多于一个时，先根据一些已知条件，在选择 项中找出与其相矛盾的选项，予以排除，然后再根据 另一些已知条件，在余下的选项中，再找出与其矛盾 的选项，再予以排除，直到得出正确的选项为止。 2．双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍， 则 m=（ ） A． B．－4 C．4 D． 解析：∵曲线 mx2+y2=1 是双曲线，∴m＜0，排除 C、D； 将 代入，方程变为 ，虚轴长为 4，而实轴长为 2，满足题意， ∴应选 A。 总结升华：排除法一般是适用于不易用直接法求 解的问题。排除法的主要特点就是能较快的限制选择 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 70 的范围，从而目标更加明确，这样就可以避免小题大 做，小题铸错。认真而又全面的观察，深刻而又恰当 的分析，是解好选择题的前提，用排除法解题尤其注 意，不然的话就有可能将正确选项排除在外，导致错 误。当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在 选择支中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另 一些条件在缩小的选择支的范围内找出矛盾，这样逐 步排除，直到得出正确的选择.它与特例法、图解法等 结合使用是解选择题的常用方法， 举一反三： 【变式 1】如图是周期为 2π的三角函数 的 图象，那么 可以写成（ ） A． =sin(1+x) B． =sin(―1―x) C． =sin(x―1) D． =sin(1―x) 解析：选图象上的特殊点（1，0），易排除 A、B， 又 x=0 时，y＞0，排除 C。 ∴应选 D。 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 71 【变式 2】钝角三角形的三边分别为 a，a+1，a+2， 其最大角不超过 120°，则 a 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解析：令 a=1，则三边为 1，2，3，不能构成三角 形。排除 A、D。 令 a=3，则三边为 3，4，5，三角形应为直 角三角形，排除 C， 故选 B。 如果该题用直接法解，设最大角为 C， 则 ，这样解起来 较麻烦。 【变式 3】设集合 A＝｛ ｝， ， 则 等于（ ） A． B． C． D． 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 72 解析：因为 ，显然 x＞0，排除 C，D， 取 x=1，不属于集合 ，排除 B, 故选 A。 【变式 4】不等式 ax2+ax+b>0(a,b∈Z 且 a≠0)的 解集是区间(-2,1)，满足这个条件的绝对值最小的 a 和绝对值最小的 b 值分别是（ ） A、a=1,b=-2 B、a=-1,b=2 C、 a=1,b=2 D、a=-1,b=-2 解析：首先，二次不等式 ax2+ax+b>0 的解集为（-2， 1）， 由二次函数的图象易知，必有 a＜0，可排 除 A、C. 其次，将选择项 D 的结论，a=-1,b=-2 代 入不等式， 则不等式化为-x2-x-2＞0 即 x2+x+2＜0，此 不等式无解，故 D 也被排除， 故选 B. 类型三：特例法 根据题设和各选项的具体情况和特点，选取满足 条件的特殊的数值、特殊的集合、特殊的点、特殊的 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 73 图形或者特殊的位置状态，代替题设普遍条件，得出 特殊结论，对各个选项进行检验，从而得到正确的判 断的方法称为特例法。常用的特例有特殊数值、特殊 数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等. 3．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 解析：取 ，满足不等式 ， 即 ，否定 A、C、D。 ∴应选 B。 总结升华：本题是采用设特殊值的方法进行检验 得解的。用特例法解决问题时要注意以下两点： （1）所选取的特殊值或特殊点一定要简单，且符 合题设条件； （2）有时因问题需要或选取数值或点不当可能会 出现两个或两个以上的选择项都正确，这时应根据问 题的题设再恰当地选取一个特殊值或点进 行检验，以达到选择正确选项的目的。 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 74 举一反三： 【变式 1】函数 的定义 域为（ ） A． B． C． D． 解析：取 x=1，代入 ，无意 义，否定 C 取 x=2，代入 ，无意 义，否定 A 取 x=-4，代入 ，有 意义，否定 B ∴应选 D. 【变式 2】如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于 直线 对称，则 a 等于（ ） A． B． C．1 D．－1 解析：找满足题意的两个特殊位置： 和 时 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 75 的函数值相等， 故有 ，解得 a=― 1。 ∴应选 D。 【变式 3】如图，过抛物线 y=ax2（a＞0）的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的 长别是 p、q，则 等于（ ） A．2a B． C．4a D． 解析：由 y=ax2，得 ，于是抛物线的焦点 ， 取过 F 且平行于 x 轴的直线交于 P、Q 两点， 根据抛物线的对称性，得 PF=QF，即 p=q， 且 2p 等于抛物线的通径 ， 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 76 故 。 ∴应选 C。 【变式 4】函数 （ω＞0），在区间 [a，b]上是增函数，且 ， ，则函数 在[a，b]上（ ） A．是增函数 B．是减函数 C．可以取得最大值 M D．可以取得最 小值―M 解析：设 ， ，则 M=1，ω=1，φ =0， 从而 在 上不是单调函数且最 小值为 0 而非―1。 ∴应选 C。 类型四：数形结合法 数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结 合起来思考，也就是使抽象思维和形象思维有机结合， 通过“以形助数”或“以数解形”，达到使复杂问题 简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 77 目的。 4．如果关于 x 的方程 有唯一的实数 解，那么实 k 的值是（ ） A． B．―2＜k＜2 C．k＜―2 或 k＞2 D．k＜―2 或 k＞2 或 解析：令 ① y=kx+2 ② 在同一直角坐标内作出它们的图象。 ①的图象是位于 x 轴上方的半圆（包括轴 上的两点）， ②是过定点（0，2）的直线， 要使①、②有唯一的公共点，有相交和相 切两种情况，如图所示， 故 k 值应为 k＜―2 或 k＞2 或 。 ∴应选 D。 总结升华：用数形结合法解题，图示鲜明直观， 形象一目了然，从而便于判定选项，因此用其来解某 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 78 些问题能起到事半功倍的效果。对于所给出的问题， 利用它们所反映的函数图象或者方程的图形以及其他 相关的图形直观地表示出来，然后借助图形的直观性 和有关概念、定理、性质作出正确的判断，这是数形 结合法解选择题的一般规律。 举一反三： 【变式 1】如果实数 x、y 满足(x―2)2+y2=3，那 么 的最大值是（ ） A． B． C． D． 解析：圆(x―2)2+y2=3 的圆心为（2，0），半径 ， 如图： 设 ，则 k 为直线 y=kx 的斜率， 显然k的最大值在直线y=kx与圆相切时得 到， 即直线 OM 的斜率 k 为最大值， 又 ，|OA|=2，则∠MOA=60°， 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 79 于是 。 ∴应选 D。 【变式 2】在圆 x ＋y ＝4 上与直线 4x＋3y－12=0 距离最小的点的坐标是（ ） A．（ ， ） B．( ，－ ) C．(－ ， ) D．(－ ，－ ) 解析：在同一直角坐标系中作出圆 x ＋y ＝4 和 直线 4x＋3y－12=0 后， 由图可知距离最小的点在第一象限内， ∴应选 A. 类型五：代入法 将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得 正确的判断.即将各选择支分别作为条件，去验证命 题，能使命题成立的选择支就是应选的答案. 5．已知 在[0，1]上是 x 的减函数， 是 a 的取值范围是（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（0， 2） D．[2，+∞） 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 80 解析：由题设知函数为在[0，1]上的 x 的减函数， 故有 a＞1，可排除 A、C。 再将 a=2 代入函数式有 ，其定义 域为（－∞，1），其不满足题设条件， ∴D 被排除。 ∴应选 B。 总结升华：代入检验法，适用于题设复杂，选项 中的数值较小，结论比较简单的选择题. 检验时，若 能据题意，从整体出发，确定代入先后顺序，则能较 大提高解题速度.但要注意当选择项中含有关系“或” 时，应对关系式中的所有情况代入验证之后，方能确 定。 举一反三： 【变式 1】若不等式 0≤ ≤1 的解集是单元 素集，则 a 的值等于（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 解析：当 a=0 时，不等式 0≤ ≤1 的解集 显然不是单元素集，排除 A， 当 a=2 时，不等式 0≤ ≤1 的解集 为{1}，是单元素集， ∴应选 B。 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 81 【变式 2】设集合 A=B=N，映射 f：A→B 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元素 2n+n，则在映射 f 下，象 20 的原象是（ ） A．4 B．3 C．2 D．5 解析：令 2n+n=20，把选项逐一代入检验，求得 n=4 满足， ∴选 A。 类型六：极限法 6．椭圆 的焦点为 F1，F2，点 P 为其上 的动点，当∠F1PF2 为钝角时，点 P 的横坐标的取值范 围是（ ） A． B． C． D． 解析：先考虑极端情况：∠F1PF2=90° 由观察可得|PF1|=4，|PF2|=2 时，∠F1PF2 为直角。如图， 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 82 此时可算得 P 点的横坐标 。 又由对称性易得符合条件的 P 点横坐标的 取值范围是 。 ∴应选 B。 总结升华：用极限法是解选择题的一种有效方法. 它根据题干及选择支的特征，考虑极端情形，有助于 缩小选择面，迅速找到答案. 举一反三： 【变式 1】不等式组 的解集是（ ） A．（0，2） B．（0，2.5） C．（0， ） D．（0，3） 解析：不等式的“极限”即方程， 则只需验证 x=2，2.5， 和 3 哪个为方程 的根即可， 逐一代入，得 为方程 的根， 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 83 ∴应选 C. 【变式 2】在正 n 棱锥中，相邻两侧面所成的二 面角的取值范围是（ ） A．（ π，π） B．（ π，π） C．（0， ） D．（ π， π） 解析：当正 n 棱锥的顶点无限趋近底面正多边形 的中心时，则底面正多边形便为极限状态， 此时棱锥相邻的侧面所成的二面角 ， 且 ； 当棱锥高无穷大且底面相对固定不变时， 或者底面无穷小而棱锥高相对固定不变时， 正 n 棱锥又是另一种极限状态，此时 ，且 ， ∴应选 A. 类型七：一题多解，多角度思考问题 7．若 a，b 是任意实数，且 a＞b，则（ ） A．a2＞b2 B． C．lg(a－b)＞0 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 84 D． 解法一：直接法 ∵a＞b， ，由指数函数的单调性可 知 。∴应选 D。 解法二：特殊值法 取 a=―1，b=―2 有 a2＜b2， ，lg(a― b)=0。因此排除 A、B、C。∴应选 D。 解法三：排法除 ∵a＞b，若使 a2＞b2 需要增加条件 b≥0； 若 ，需增加条件 a＞0；若 lg(a－b) ＞0，需增加条件 a－b＞1。 ∴应排除 A、B、C。∴应选 D。 举一反三： 【变式 1】若 ，P= ，Q= ，R= ， 则（ ） A．R P Q B．P Q R C．Q P R D．P R Q 解法一：直接法 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 85 ∵ ，∴ ，∴ ，∴P0，则有 A. B. C. D. 【解答】 （淘汰法）令 a=1，b=2，m=3 淘汰 B，C，D，答案为 A. 【例 2】（变例 1 为解答题）若 b>a>0，m>0，试比较 和 的大小. 【解 1】 （比较法 作差—变形—判定符号） 因为 【解 2】 （综合法 由因推果 由整式推出分式） 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 137 a0 时，若对任意 x∈R 都有 f(x)≤1，证明 a≤ ； （Ⅱ）当 b>1 时，证明：对任意 x∈［0,1］，|f(x)|≤1 的充要条件是 b-1≤a≤ ； （Ⅲ）当 00，b>0，∴a≤ . 【解Ⅱ】 先证必要性： 对任意 x∈［0,1］，|f (x)|≤1 -1≤f(x)，据此可以推出-1≤f (1)，即 a-b≥-1，∴a≥b-1； 对任意 x∈［0,1］，|f (x)|≤1 f (x)≤1，因为 b>1，可以推出 ≤1， 即 a· -1≤1，∴ a≤ ；∴ b-1≤a≤ . 再证充分性：因为 b>1，a≥b-1，对任意 x∈［0,1］，可以推出 ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1. 即 ax-bx2≥1； 因为 b>1，a≤ ，对任意 x∈［0,1］，可以推出 ax-bx2≤ ≤1，即 ax-bx2≤1. ∴-1≤f(x)≤1. 综上，当 b>1 时，对任意 x∈［0,1］，|f(x)|≤1 的充要条件是 b-1≤a≤ . 【解Ⅲ】因为 a>0，00，0N 时，对任意 b>0，都有 【分析】 ①本题的第（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）小题之间成梯式结构，（Ⅰ）是（Ⅱ）和（Ⅲ）的 基础.从策略上看，如在（Ⅰ）上遇着困难，可承认（Ⅰ）的结论，并利用它迅速地解出（Ⅱ） 和（Ⅲ）来.此题恰恰是第（Ⅰ）难，而（Ⅱ）、（Ⅲ）容易. ②对于（Ⅰ），已知为两个不等式，而求证一个不等式.其基本思路是，对已知不等式用综合 法“下推”，对求证不等式用分析法“上追”. 如： 欲使 只须 = 此时，“综合下推”的方向就清楚了. 【解Ⅰ】 ∵当 n≥2 时， ， ∴ ，即 ， 于是有 ， ，…， ， 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知，当 n≥3 时有 ∵ ，∴ 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 143 ∴ 【解Ⅱ】 ≤ 又 an>0. 故有 =0. 【解Ⅲ】 （放大为了化简） 令 ， 则有 ， 故取 N=1024，可使当 n>N 时，都有 【说明】 本小题是条件不等式的证明，已知 2 个不等式，求证 1 个不等式.在分析——综合 ——放缩三法联合证明综合大题时，优先考虑分析法.随时思考待证的不等式需要什么，需 要的东西如何从已知的不等式中得到. 【练习】 对考题 3，已知条件不变，对设问作如下改写 （Ⅰ）设 ，利用数学归纳法证不等式 （Ⅱ）利用上述结果，证明不等式 二．函数最值的求解方法 一、二次函数最值寻根 初中生研究二次函数的最值，是从配方法开始的. 设 a>0，f(x)=ax2+bx+c= 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 144 初三学生已知，二次函数 f(x)，在 a>0 时，有最小值 ；a0，探索二次函数 y = ax2+bx+c 的单调区间.并指出函数的最值点. 【解答】 任取 x10 ) 有减区间 和增区 间 . 显然，二次函数的最值点为 ，函数有最小值 . 【评说】 从这里看到，二次函数的最点，就是两个“异性”单调区间的交接点. 【练 1】 试研究一次函数 没有最点，从而没有最值. 【解】 任取 ，则有 （1） 时， ，函数在 R 上为增函数. 时， ; 时， . （2） 时， ，函数在 R 上为减函数. 时， ; 时， . 所以，一次函数在 R 上没有最点，从而一次函数 无最值（既无最大值，也无最小 值）. 【说明】 一次函数定义在 R 上，定义域内找不到这样的“点”，使得该点两边邻域是异 性的两个单调区间.本例从反面看到：最点是单调区间的“变性”的“转折点”. 二、从 到 高中生将“最点” 变形为 ，并由此得到一个一次函数 . 精明的学生发现，这个一次函数 与对应的二次函数 有某 种“关系”，甚至有学生在偷偷地利用这种“关系”. 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 146 这种“关系”到了高三才彻底解决：函数 正是函数 的 导函数，即 . 函数求“最根”的问题，正好是 的导函数 的“求根”问题. 导函数 的根，就是 的驻点.很清楚，二次函数的驻点就是二次函数的最点. 问题变得这么明朗：求 的最点，就是求 的根.俗说中“最根”，真的与“根”字 巧合了. 【例 2】 设 ，在同一坐标系中，分别作得 和 的 图象（如右）. 试说明 的正负性与 单调性的对应关系. 【解析】 与 相交于 . （1） 时， , 递减； （2） 时， , 递增； （3） 时， , 得到最小值. 故对应关系为：（1） 负区与 的减区对应； 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 147 （2） 正区与 的增区对应； （3） 零点与 的最值对应. 【练 2】 已知二次函数 的导函数 图象如右图的直线，则有 （1） =（ ），增区间为（ ），减区间为（ ）； （2） 的最（ ）值为（ ）； （3）若 ，求 的解析式. 【解答】 从右图上看到 （1） 的根为 ，故有 =1； （2） 时， >0，故 的增区间为 ； 时， 0，函数递增； （2） 时， 0，函数递增. 故 在 有极大值 ，在 上有极小值 . 故 ， 是 的 2 个极点，前者为极大点，后者为极小点. 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 149 又 时， ，故函数 既无最大值，也 无最小值.从而 无最点. 【说明】 这是三次函数有 2 个驻点，且都为极点的例子.而三次函数无驻点或有驻点但 不是极点的例子如下（练 3）. 【练 3】 研究下列三次函数的驻点、极点、最点和单调区间. （1） （2） 【解析】 （1） ,函数 无驻点，无极点，无最点. 是 上的增函数. （2） , 有 2 个重合的驻点 . （1）当 时， ，函数递增， （2）当 时， ，函数也递增. 因此，驻点 不能分出两个“相异”的单调区间，故 不是 的极点， 无 极点，当然也无最点. 是 R 上的增函数. 【说明】 函数 相重合的两驻点 不成为极点，可理解为它们消 去了“中间”的一个“相异”的单调区间后，将两边的“同性”的单调区进行了链接而成为 一个单调区间. 经过以上的讨论得知，定义在 R 上的三次函数，不管它有无驻点或极点，它是不会有最点的。 四、极点何时为最点 不重合的 2 个驻点可以分别成为极点.那么，在什么条件下极点成为最点呢？ 驻点是极点的必要不充分条件，那么极点是最点的什么条件呢？ 我们研究，极点何时成为最点. 【例 4】 已知 的导函数 ，试探究 的极点和最点. 【解析】 . 最新权威高考高分复习资料 高分从这里起步 150 有 3 个相异的根： 它们都是 的极点. 易知原函数 （ R） 易知 为 的减区间， 为 的增区间， 为 的减区间， 为 的增区间. 的 4 个单调区间依次成“减——增——减——增”的顺序，使得首、尾两个区间的单 调性相异，从而使得 在“两次探底”中得到最（小）点. 比较三个极值的大小： 得 的最小值为 ，对应两个最小点 和 1. 【说明】 定义在一个开区间上的可导函数 如果有 n 个极点：x1