高考数学考前冲刺理科试题及答案

试卷类型：A 湖北省实验中学 2010 年高考考前最后冲刺试题 数学试卷（理工农医类） 审核人：王君 校对：陈亮 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号 条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上无效。 3．非选择题的作答：用 0.5 毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 答在试卷上无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是满足题目要求的. 1．若 a R，则 1a 是复数 iaaz )1(12  是纯虚数的 （ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.设函数 )02(2)( 2  xxxf ，其反函数为 )(1 xf  ，则  )3(1f （ ） A．－1 B．1 C．0 或 1 D．1 或－1 3.已知在等比数列{ }na 中, 1 3 4 6 510, 4a a a a    ,则等比数列{ }na 的公比 q 的值为 （ ） A. 1 4 B. 1 2 C. 2 D. 8 4．已知函数 ),0(),0(,)( 2 bxax xaxf  ，则下列判断正确的是（ ） A.当 ab  时， )(xf 的最小值为 a2 ； B.当 ab 0 时， )(xf 的最小值为 a2 ； C.当 ab 0 时， )(xf 的最小值为 b ba 2 ； D.对任意的 0b ， )(xf 的最小值均为 a2 ． 5.若半径是 R 的球与正三棱柱的各个面都相切，则球与正三棱柱的体积比是（ ） A. 4 3 27  B. 2 3 27  C. 3 3  D. 3 6  6．如图是函数 sin( )y A x   ( 0, 0,| | )2A     在一个周期内的图象，M 、N 分别是最大、最小值点，且 OM ON  ，则 A  的值为（ ） A． 6  B． 2 6  C． 7 6  D． 7 12  7．设曲线 2 cos sin xy x  在点 ,22      处的切线与直线 1 0x ay   垂直，则 a ( ) A．2 B． 2 C． 1 D．1 8．用 5，6，7，8，9 组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个奇数夹在两个偶 数之间的五位数的个数为（ ） A．120 B．72 C．48 D．36 9.某物流公司有 6 辆甲型卡车和 4 辆乙型卡车，此公司承接了每天至少运送 280t 货物 的业务，已知每辆甲型卡车每天的运输量为 30t，运输成本费用为 0.9 千元；每辆乙型卡车 每天的运输量为 40t，运输成本为 1 千元，则当每天运输成本费用最低时，所需甲型卡车的 数量是( ) A．6 B．5 C．4 D.3 10.已知点 P 为双曲线 12 2 2 2  b y a x )0,0(  ba 的右支上一点, 1F 、 2F 为双曲线的左、 右焦点，使 0)( 22   PFOFOP (O 为坐标原点),且 21 3 PFPF  ,则双曲线离心率为 （ ） A. 2 16  B. 16  C. 2 13  D. 13  二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，请将答案填在答题卡对应题号的位 置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写. 11． 设集合    22 1, , ,A y y x x R B y y x x R        ，则集合 A B  ． 12．在二项式 nx)31(  的展开式中，若所有项的系数之和等于 64，那么在这个展开式 中， 2x 项的系数是 .（用数字作答） 13. 随机变量 服从正态分布 )16,50(N ，若 3.0)40( P ，则  )6040( P . 14 ． 已 知 ,1|| e 且 满 足 |2||| eaea  ， 则 向 量 a 在 e 方 向 上 的 投 影 等 O M N 12  5 6  x y 于 . 15. 设 x 表示不超过 x 的最大整数，如   1.5 1, 1.5 2    . 若函数 x x a axf   1 )( （ 1,0  aa ），则      1 1 2 2g x f x f x              的值域为__________. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分 12 分） 已知△ ABC 的周长为 )12(4  ，且sin sin 2 sinB C A  ． （Ⅰ）求边长 a 的值； （Ⅱ）若 3sinABCS A  ，求角A 的大小 （结果用反三角函数值表示）． 17．（本小题满分 12 分） 某社区举办2010 年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有 10 张大小相同的精美卡片，卡片上 分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物） 图案，参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖． （Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝 ”卡？主持人笑说：我只知道若 从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是 15 2 ，求抽奖者获奖的概率； （Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用 表示获奖的人数， 求 的分布列及 E ． 18．（本小题满分 12 分） 在正三棱柱 111 CBAABC  中， 21  BCBB ，且 M 是 BC 的中 点，点 N 在 1CC 上. （Ⅰ）试确定点 N 的位置，使 MNAB 1 ； （Ⅱ）当 MNAB 1 时，求二面角 NABM  1 的大小. 19. （本小题满分 12 分） 已知点 B 为圆 A ： 2 2( 1) 8x y   上任意一点，点 B (-1,0)，线段 BB 的垂直平分线和线段 AB相交于点 M . （Ⅰ）求点 M 的轨迹 E 的方程； （Ⅱ）已知点 0 0( , )M x y 为曲线 E 上任意一点， 求证：点 0 0 0 0 3 2 4( , )2 2 x yP x x    关于直线 0 02 2x x y y  的对称点为定点，并求出该定点的坐 标. 20．（本小题满分 13 分） 已知定义在 ),0(  上的三个函数 ,)(),()(,1)( 2 xaxxhxafxxgnxxf  且 )(xg 在 1x 处取得极值. （Ⅰ）求 a 的值及函数 )(xh 的单调区间； （Ⅱ）求证：当 21 ex  时，恒有 )(2 )(2 xf xfx   成立； （Ⅲ）把 )(xh 对应的曲线 1C 按向量 m )6,0( 平移后得到曲线 2C ，求 2C 与 )(xg 对 应曲线 3C 的交点个数，并说明理由. 21.（本小题满分 14 分） 已 知 函 数 )(,0),1(2 1)( 1 nn afaxxxxf   ， 对 于 任 意 的  Nn ， 都 有 nn aa 1 . （Ⅰ）求 1a 的取值范围； （Ⅱ）若 2 3 1 a ，证明 )2,( 2 11 1   nNna nn ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下证明 12 13 2 2 1   na a a a a a n n . 湖北省实验中学 2010 年高考考前最后冲刺试题 数学试卷（理工农医类）参考答案审核人：王君 校对：陈亮 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A B A B C D D C D 11、 ,0],(- 12、 135, 13、0.4, 14、 2 1 , 15、{0,-1} 16. 解 (1)根据正弦定理，sin sin 2 sinAB C  可化为 2b c a  ． ………3 分 联立方程组 4( 2 1) 2 a b c b c a        ，解得 4a  ． 所以，边长 4a  (2) 3sinABCS A  ， ∴ 1 sin 3sin 62 bc A A bc ， ． 又由(1)可知， 4 2b c  ， ∴ 2 2 2 2 2( ) 2 1cos 2 2 3 b c a b c bc aA bc bc        ． 因此，所求角 A 的大小是 1arccos 3 ． 17. 解：（1）设“世博会会徽”卡有 n 张，由 2 2 10 nC C = 15 2 ，得 n=4….3 分 故“海宝”卡有 6 张，抽奖者获奖的概率为 3 1 2 10 2 6  C C …………………………5 分 （2） 可能取的值为 0，1，2，3，4，则.…. .….….….……………...….….…6 分 81 16)3 2()0( 4 P 81 32)3 2(3 1)1( 31 4  CP  81 24)3 2()3 1()2( 222 4  CP  81 8 3 2)3 1()3( 31 4  CP  81 1)3 1()4( 4 P ………………………………………..……………9 分  0 1 2 3 4 P 81 16 81 32 81 24 81 8 81 1 .... ...............................10 分 E 0× 81 16 +1× 81 32 +2× 81 24 +3× 81 8 +4× 81 1 = 3 4 81 108  …………………12 分 法二（1）设“海宝”卡有 n 张，由 15 2 2 10 2 10  C C n 得 078192  nn n=6 或 n=13（舍去） ……….………..................…………...3 分 故“海宝”卡有 6 张，抽奖者获奖的概率为 3 1 2 10 2 6  C C …………………………5 分 （2） )3 1,4(~ B . …. .….…. . .……………...….….…6 分 )4,3,2,1,0()3 2()3 1()( 4 4   kCkP kkk  0 1 2 3 4 P 81 16 81 32 81 24 81 8 81 1 ...................................10 分 E 3 4 3 14 np ……………………………………….12 分 18. 19. 解： （1）连结 MB， MB MB  , 2 2MA MB AB    故 2 2MA MB  ，而 2AB  点 M 的轨迹是以 A、B 为焦点且长轴长为 2 2 的椭圆 点 M 的轨迹 E 的方程为 2 2 12 x y  --------------------4 分 （2）证明：设点 0 0 0 0 3 2 4( , )2 2 x yP x x    关于直线 0 02 2x x y y  的对称点为 ( , )Q a b 所以 0 0 0 0 0 0 4 2 2 3 2 2 y bx y x xax    ，即 0 0 0 0(2 ) 2 (2 )( 1)bx x y x a     ， 0 2x  0 02 ( 1) 0bx y a    因为上式对任意 0 0,x y 成立，故 1 0 0 a b     所以对称点为定点 ( 1,0)Q  . 20. 21.