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2010 届高考数学考前大礼
一．考试说明再回顾：
A 级内容：集合及其表示、幂函数、函数与方程、函数 sin( )y A x 的图象与性质、三
角恒等式（积化和差等）、平面向量的应用、数列的概念、线性规划、复数的几何意义、导
数的概念、算法的概念、流程图、算法基本语句、命题的四种形式、简单的逻辑联结词、分
析法与综合法、反证法、抽样方法、总体分布的估计、变量的相关性、随机事件与概率、几
何概型、互斥事件及其发生的概率、统计案例、柱、锥、台、球及其简单组合体、三视图与
直观图、柱、锥、台、球的表面积与体积、空间坐标系、中心在坐标原点的双曲线的标准方
程与几何性质、顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质。共 32 个知识点。
B 级内容：子集、交并补集、函数的概念、指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质、
函数模型及其应用、三角函数的图象与性质、同角三角函数的关系式、正弦函数与余弦函数
的诱导公式、正余弦函数与正切函数的图象与性质、二倍角的正弦余弦与正切、正余弦定理
的应用、平面向量的概念、平面向量的线性运算、平面向量的坐标表示、平面向量的平行与
垂直、复数的概念、复数的四则运算、导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的
单调性与极值、导数在实际问题中的应用、充要条件、合情推理与演绎推理、总体特征数的
估计、古典概型、线面平行与垂直的判定与性质、面面行与垂直的判定与性质、直线的斜率
与倾斜角、直线的平行关系到与垂直关系、两条直线的交点、两点间的距离点到直线的距离、
直线与圆（圆与圆）的位置关系、中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何意义。共 36 个
知识点。
C 级内容：两角和（差）的正弦、余弦和正切；平面向量的数量积；等差数列；等比数列；
基本不等式；一元二次不等式；直线方程；圆的标准方程和一般方程。共 8 个知识点。
二．数学填空题的解法：
填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这
说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在
备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，
要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化
思路、少算、多思、画图将是快速、准确地解答填空题的基本要求。应答时必须按规则进行
切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”
上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等。
一、直接法
这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等
知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果，可以说是一些送分题。
1 ． 设 ( 1) 3 , ( 1) ,a m i j b i m j 其 中 ,i j 为 互 相 垂 直 的 单 位 向 量 ， 又
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( ) ( )a b a b ，则实数 m = 。 （ 2m ）
2．如果函数 xaxy 2cos2sin 的图象关于直线
8
x 对称，那么 ._____a
1a
3．若函数 baxxaxy ,,322 的图象关于直线 1x 对称，则 ._____b
2( 0)b a
二、特殊值法
当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化
的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。
4．若动点 QP, 在椭圆 144169 22 yx 上， 且满足 0OQOP ，则椭圆中心O 到直线
PQ 的距离OH 等于 。 12
5
5．已知双曲线 19
)3(
16
)3( 22
yx ，则焦点到渐近线的距离为 ．
分析：这是一个中心在 )3,3( 的双曲线，直接求解肯定较繁，但我们知道，双曲线的平
移并不改变双曲线的焦点到渐近线的距离，所以我们直接求双曲线 1916
22
yx 的焦点 )0,5(
到渐近线 xy 4
3 的距离就大大地减少了运算．
6．过抛物线 2axy ( a >0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 E 、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的
长分别是 p 、 q ，则
qp
11 ． 当 E Q 为通径时求值为 a4 ．
三、数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问
题，得出正确的结果。
7． 如果不等式 xaxx )1(4 2 的解集为 A ，且 }20|{ xxA ，那么实数 a 的
取值范围是 。
根据不等式解集的几何意义，作函数 24 xxy 和
函数 xay )1( 的图象（如图），从图上容易得出实数 a 的取
值范围是 ,2a 。
8．已知向量 )0,2(OB ，向量 )2,2(OC ，向量 )sin2,cos2( CA ， 则向量OA
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与OB 夹角的范围是 5[ , ]12 12
9．设向量 , ,a b c
满足 , 1,( ) ( ) 0a b a b a c b c ，则 c
的最大值为 ______。 2
10．设集合 0,1,2A , 0,1,2B ,分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和b ,确定平面上
的一个点 ,P a b ,记“点 ,P a b 落在直线 x y n 上”为事件 0 4,nC n n N ,若事
件 nC 的概率最大,则 n 的可能值是__________. 2n
11．椭圆 1259
22
yx 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m，则当 m 取最大值时，点 P 的
坐标是_____________________.
讲解 记椭圆的二焦点为 21 FF， ，有
,10221 aPFPF
则知 .252
2
21
21
PFPFPFPFm
显然当 521 PFPF ，即点 P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值 25.
故应填 0,3 或 .0,3
12．一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是 2002
2
yxy ，在杯
内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径 r 的取值范围是___________.
讲解 依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在 y 轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的
顶点，从而可设大圆的方程为 .222 rryx
由
，
，
2
2
222
xy
rryx
消去 x，得 0122 yry （*）
解出 0y 或 .12 ry
要使（*）式有且只有一个实数根 0y ，只要且只需要 ,012 r 即 .1r
再结合半径 0r ，故应填 .10 r
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13 ． 若 方 程 )3lg()3lg( 2 xmxx 在 )3,0(x 内 有 唯 一 解 ， 则 实 数 m 的 取 值 范 围
为 ．
分析：原方程变形为 3 0
3 32
x
x x m x
即： 3 0
2 12
x
x m( )
设曲线 1y ＝ 2)2( x , )3,0(x 和直线 2y ＝1－ m ，图像如图所示：
① 当1－ m ＝0时，有唯一解，m ＝1； ②当1≤1－ m ＜4时，有唯
一解，即－3＜ m ≤0, 故 m ＝1或－3＜ m ≤0．
14．在平面直角坐标中点集 2 2( , ) 1 , ( , ) 4, 0,3 4 0A x y x y B x y x y x y ，
则：（1）点集 1 1 1 1( , ) 3, 1,( , )P x y x x y y x y A 所表示的区域的面积为 。
（2）点集 1 2 1 2 1 1 2 2( , ) , ,( , ) ,( , )Q x y x x x y y y x y A x y B 所表示的区域的
面积为 。
,18
解：（1） 1,3 11 yyxx 代入 A 得 1)1()3( 22 yx ，于是面积 ，
（2） 2121 , yyyxxx 作入 A 得 1)()( 2
2
2
3 yyxx 而
),( 22 yx 在三角形区域内运动。
四、等价转化法
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得
出正确的结果。
15． 不等式
2
3 axx 的解集为 (4, )b ，则 a b 。
解：设 tx ，则原不等式可转化为： ,02
32 tat ∴a > 0，且 2 与 )4( bb 是
方程 02
32 tat 的两根，由此可得： 36,8
1 ba 。所以 9
2a b
16． 不论 k 为何实数，直线 1 kxy 与曲线 0422 222 aaaxyx 恒有交点，
则实数 a 的取值范围是 。
解 ： 题 设 条 件 等 价 于 点 （ 0 ， 1 ） 在 圆 内 或 圆 上 ， 或 等 价 于 点 （ 0 ， 1 ） 到 圆
42)( 22 ayax ，∴ 31 a 。
17．已知函数 3 2( ) ln( 1)f x x x x ，且满足 2(1 ) ( 1) 0f a f a ，则实数 a 的范
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围为 。 1 0a
18．设 )(xf 是定义在 R 上的奇函数，且当 2)(0 xxfx 时， ，若对任意 ，],2[ ttx 不
等式 )(2)( xftxf 恒成立，则实数 t 取值范围为__________。 2,
19．设 ( )f x 是定义在 R 上的偶函数，当 0x 时， ( )cos ( )sin 0f x x f x x ，且
( 2) 0f ，则不等式 ( )cos 0f x x 的整数解是 ．
五 外形联想
20．函数
cos2
sin3
y 的最小值为 ；最大值为 ．
分析：从所求式结构特征思考，本题可等价变换为斜率公式，结合图形解之． y 表示过
点 )3,2(A 与点 )sin,cos( M 的直线的斜率，
而 M 点的轨迹是圆 122 yx ，由图可知：
当点 M 位于切点 1M 时 y 最小，
3
322
min
y ；
当点 M 位于切点 2M 时 y 最大，
3
322
max
y ．
21．解方程： 10178178 22 xxxx 的解为 ．
分析：从外形结构上可类比：平面上两个两点距离和为 10，于是联想到椭圆的定义，
因此将原方程变形为： 101)4(1)4( 22 xx ．令 1y ，则方程表示点 ),( yx 到两定点
)0,4( 、 )0,4( 的距离和为 10，符合椭圆的定义，那么点 ),( yx 满足椭圆方程： 1925
22
yx ．又
因为 1y ，所以 19
1
25
2
x ，于是
3
210x ，即原方程的解为：
3
210x ．
此外，还有一些填空题在形式上会有所不同，如：
（一）多项选择型
1．关于函数
2
1)3
2(sin)( 2 xxxf 有下列结论：① )(xf 是奇函数，② )(xf 最大值是
2
3 ；③ 2010x 时，
2
1)( xf 恒成立；④ )(xf 的最小值为
2
1 。其中所有正确命题的序
号为 。 ④
2．下列命题中,错误．．命题的序号有_____________
(1)“ 1a ”是“函数 2 1f x x x a x R 为偶函数”的必要条件；
(2)“直线l 垂直平面 内无数条直线”是“直线l 垂直平面 ”的充分条件；
(3)已知 , ,a b c 为非零向量，则“ a b a c ”是“b c ”的充要条件；
(4)若 2: , 2 2 0p x R x x ，则 2: , 2 2 0p x R x x
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（1）、（2）、（3）
3．给出下列关于互不相同的直线 , ,l m n 和平面 , 的四个命题：
①若 ,m l 是异面直线， // , //l m ，且 ,n l n m 则 n
②若l 上有两个点到 的距离相等，则 //l ；
③若 ,m n m ，则 //n ；
④若 // ,m m ，则 。
其中为真命题的是 ．
（二）开放型
4．在等差数列 na 中，当 )( sraa sr 时， na 必定是常数数列，然而在等比数列 na
中，对 某些正整数 )(, srsr ，当 sr aa 时，举 一个非常数数 列 na 的一个 例子
是 。 （1, 1,1, 1, ）
（三）思辨题
5．已知点 tan ,cosP 在第三象限，则角 的终边在第 ____ 象限． （二）
6．对任意的 1,1a ，函数 axaxxf 24)4()( 2 的值总大于 0 ，则 x 的取值范
围是 。 （ 3x 或 1x ）
7．给出问题： 21, FF 是双曲线 12016
22
yx 的焦点，点 P 在双曲线上，若点 P 到焦点 1F 的
距离等于 9 ，求点 P 到焦点 2F 的距离。某学生解答如下：双曲线实轴长为 8 ，由
821 PFPF ，即 89 2 PF ，得 12 PF 或17 。该学生回答是否正确？若正确请
将他的解答依据填在下面空格内。若不正确，将正确结果填在下面空格内： 。
因为最小值为 2c a
8．用红、黄两种颜色给正四面体的四个顶点随机涂色，则“有一个面上三个顶点同色”的
概率为__________。
8
5
9．如图，为棱长为 1 单位的正方体，M、N 分别为两棱的中点，现有
一动点 P，随机地在正方体内部运动，则使∠MPN 为钝角的概率
为 ．
（四）探究型
10．设
22
1)(
xxf ，利用课本推导等差数列前 n 项和公式的方法可求得：
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)6()5()0()3()4()5( ffffff 的值为 （3 2 ）
11．平几里有勾股定理：“设 ABC 的两边 ACAB, 互相垂直，则 222 BCACAB ”。拓
展到空间类比之，可研究三棱锥的侧面积与底面积之间的关系，可得出的正确结论是“设三
棱锥 BCDA 三个侧面 ADBACDABC ,, 两两互相垂直，则 ”。
2 2 2 2
ABC ACD ABD BCDS S S S
（五）图表型
12．已知 )(xf 为偶函数， )(xg 为奇函数，它们的定义域都为 , ，
当 ,0x 时 ， 它 们 的 图 象 如 图 ， 则 不 等 式 0)(
)(
xg
xf 的 解 集
为 。 (( ,0) ( , ))3 3
（六）新定义型
13．设 ),(),,( dcnbam ，规定两向量之间的运算“ ”为 ),( bcadbdacnm ，
若已知 )3,4(*),2,1( qpp 则 q = 。 （ ( 2,1)q ）
14．设函数 ( )f x 的定义域为 D，若存在非零实数 l 使得对于任意 ( )x M M D ，有
x l D ，且 ( ) ( )f x l f x ，则称 ( )f x 为 M 上的l 高调函数。
15．如果定义域为[ 1, ) 的函数 2( )f x x 为[ 1, ) 上的 m 高调函数，那么实数 m 的
取值范围是 。
16．如果定义域为 R 的函数 ( )f x 是奇函数，当 0x 时， 2 2( ) | |f x x a a ，且 ( )f x 为
R 上的 4 高调函数，那么实数 a 的取值范围是 。（ 11;2 am ）
三．数学解答题解析：
（一）、向量三角类：
三角类注意与角有关的求最值题、与图象有关的求范围题、与三角形有关的求三角函数题。
1．若 , 为锐角，
2
，且3sin sin(2 ) 。
（1）求证： tan( ) 2tan ；（2）求 tan 的最大值。
解：（1）3sin( ) sin( ) ，
化简得sin( )cos 2cos( )sin ，
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所以 tan( ) 2tan 。（当心条件）
（2）因为 tan( ) 2tan ，所以 tan tan 2tan1 tan tan
化得 2
tan 1 1 2tan 11 2tan 42 22tantan
等号当且仅当 2tan 2
时取到。
2．已知函数 ( ) sin( )( 0, )f x x 的部分图象如图所示。
（1）、求 , 的值；
（2）、设 ( ) ( ) ( )4g x f x f x ，求函数 ( )g x 的单调递境区间。
解：（1） 2, 2
；
（2）由（1）知 ( ) 2f x cos x ， 1( ) sin 42g x x ，
所以 2 4 22 2k x k ，即 4 ( )2 8 2 8
k kx k Z
所以 ( )g x 的单调增区间为[ , ]( )2 8 2 8
k k k Z
3．在 ABC△ 中，已知内角 A
，边 2 3BC ．设内角 B x ，周长为 y ，面积为 S 。
（1）求函数 ( )y f x 的解析式和定义域，并求出 y 的最大值
（2）求函数 )(xgS 的解析式和定义域，并求出 S 的最大值高考资源网
解：（1） ABC△ 的内角和 A B C ，由 0 0A B C
， ， 得 20 B
．
应用正弦定理，知 2 3sin sin 4sinsin sin
BCAC B x xA
，
2sin 4sinsin
BCAB C xA
．因为 y AB BC AC ，高考资源网
所以 2 24sin 4sin 2 3 0 3y x x x
，
因为 14 sin cos sin 2 32y x x x
54 3 sin 2 3x x
，
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所以，当 x
，即 x
时， y 取得最大值 6 3 ．高考资源网
（2） 1 2 2( ) 4sin 4sin( ) sin 4 3sin sin( )2 3 3 3S g x x x x x
26sin cos 2 3sin 3sin 2 3(1 cos2 )x x x x x
2 3sin(2 ) 36x ， 2 70 , 2 ( , )3 6 6 6x x
1 sin(2 ) 1, (0,3 3]2 6x S
4．在 ABC 中， 2BC ， 2AC 3 1AB ．
(Ⅰ)、求 AB AC ；
(11)、设 ABC 的外心为O ，若 AC mAO nAB ，求 m ， n 的值．
解：（Ⅰ）
22 ( 3 1) 4 2cos 22 2( 3 1)
A
,
2cos 2( 3 1) 3 12AB AC AB AC A
.
(Ⅱ)由 AC mAO nAB
,
知 ,
.
AB AC mAB AO nAB AB
AC AC mAC AO nAC AB
23 1 ( 3 1) ,
2 ( 3 1) .
mAB AO n
mAC AO n
O 为 ABC 的外心，
2
1
12cos ( 3 1)2
AB
AB AO AB AO BAO AB AO
AO
.
同理 1AC AO
.即
2 213 1 ( 3 1) ( 3 1) ,2
2 ( 3 1) .
m n
m n
， 解得:
（二）、几何类
解析几何当心椭圆中的几何性质的挖掘。
5．若椭圆 )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x 过点 )3
52,2( ，离心率为
3
5 ，圆 O 圆心为原点，直径
为椭圆的短轴长，圆 M 方程为 1)3()4( 22 yx ，过圆 M 上任一点 P 作圆 O 的切线，切
点为 A,B
(1) 求椭圆方程；
（2）若直线 PA 与圆 M 另一个交点为 Q，当弦 PQ 最大时，求直线 PA 的直线方程。
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（3）求 PBPA 的取值范围。
解：（1）由
9
4
3
51 2
2
2
2
a
b
a
be 得 ①
又 19
20
4
22
ba
②由两式解得 149,4,9
22
22 yxba 所以椭圆方程为
（ 2 ） 当 弦 PQ 为 圆 M 的 直 径 时 ， PQ 最 大 。 此 时 直 线 PA 方 程 可 设 为
043)4(3 kyky 即
则圆心 O 到直线 PA 的距离为 2
1
43
2
k
k 解得 k=
6
211
故直线 PA 方程为 )4)(6
211(3 xy
(3) PBPA = )4(cos 2 OPAPBPBPA cos( AOB )= )4( 2 OP [-cos(2∠
AOP)]
= )4( 2 OP [-2cos 12 AOP ]= )4( 2 OP (- 2
8
OP
+1)=-12+ 2
2
32 OP
OP
又 6,4OP 所以当OP =4 时 PBPA 有最小值为 6，当OP =6 时 PBPA 有最大值为 24
9
8
所以 PBPA
9
824,6
6．已知半椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y yb a
和半圆 2 2 2 ( 0)x y b y 组成曲线C ，其中 0a b ；
如图，半椭圆 2 2
2 2 1( 0)x y yb a
内切于矩形 ABCD ，且CD 交 y
轴于点G ，点 P 是半圆 2 2 2 ( 0)x y b y 上异于 A B、 的任
意一点，当点 P 位于点 6 3( , )3 3M 时， AGP 的面积最大。
（1）求曲线C 的方程；
（2）连 PC 、 PD 交 AB 分别于点 E F、 ，求证： 2 2AE BF 为定值。
解：（1）已知点 6 3( , )3 3M 在半圆 2 2 2 ( 0)x y b y 上，所以
2 2 26 3( ) ( )3 3 b ，又 0b ，所以 1b ，当半圆 2 2 2 ( 0)x y b y 在点 P 处的切线与
直线 AG 平行时，点 P 到直线 AG 的距离最大，此时 AGP 的面积取得最大值，故半圆
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2 2 2 ( 0)x y b y 在 点 M 处 的 切 线 与 直 线 AG 平 行 ， 所 以 OM AG ， 又
0 2
0 2
M
OM
M
yk x
，所以 2AG
ak b
，又 1b ，所以 2a ，
所以曲线 C 的方程为
2
2 1( 0)2
yx y 或 2 2 1( 0)x y y 。
（2）点 (1, 2)C ，点 ( 1, 2)D ，设 0 0( , )P x y ，则有直线 PC 的方程为
0
0
22 ( 1)1
yy xx
，令 0y ，得 0
0
2( 1)1
2E
xx
y
，所以 0
0
2( 1)2
2
xAE
y
；
直线 PD 的方程为 0
0
22 ( 1)1
yy xx
，令 0y ，得 0
0
2( 1)1
2F
xx
y
，
所以 0
0
2( 1)2
2
xBF
y
； 则 2 2 2 20 0
0 0
2( 1) 2( 1)[2 ] [2 ]
2 2
x xAE BF
y y
2
0
2
0 0
4 4 8 2 8
( 2) 2
x
y y
，又由 2 2
0 0 1x y ，得 2 2
0 01x y ，代入上式得
2
0
2
0 0
8 4 8 2 8
( 2) 2
y
y y
2
0 0
2
0
8 4 8 2( 2) 8
( 2)
y y
y
2
0
2
0
4( 2) 8 4
( 2)
y
y
，所以 2 2AE BF 为定值。
7．已知 (1,0), (0, 2)i c 若过定点 (0, 2)A 、以 ( )i c R 为法向量的直线 1l 与过
点 (0, 2)B 以 c i 为法向量的直线 2l 相交于动点 P ．
(1)求直线 1l 和 2l 的方程;
(2)求直线 1l 和 2l 的斜率之积 1 2k k 的值，并证明必存在两个定点 ,E F 使得 PE PF 恒为定
值；
(3)在（2）的条件下，若 ,M N 是 : 2 2l x 上的两个动点，且 0EM FN
，试问当 MN
取最小值时，向量 EM FN 与 EF
是否平行，并说明理由。
解（1）直线 1l 的法向量 )2,1(1 n ， 1l 的方程： 0)2(2 yx ，
即为 022 yx
直线 2l 的法向量 )2,(1 n ， 2l 的方程： 0)2(2 yx ，
即为 022 yx 。
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（2） 2
1)
2
(
2
1
21
kk
。 （6 分）
设点 P 的坐标为 ),( yx ，由 2
122
21
x
y
x
ykk
，得
124
22
yx
。
由椭圆的定义的知存在两个定点 FE 、 ，使得 |||| PFPE 恒为定值 4。
此时两个定点 FE 、 为椭圆的两个焦点。（10 分）
（3）设 ),22( 1yM ， ),22( 2yN ，则 ),23( 1yEM ， ),2( 2yFN ，
由 0 FNEM ，得 0621 yy 。
244222)(|| 21212121
2
2
2
1
2
21
2 yyyyyyyyyyyyMN ；
当且仅当
6
6
2
1
y
y
或
6
6
2
1
y
y
时， || MN 取最小值 6 。
EFyyFNEM 2)0,24(),24( 21 ，故 FNEM 与 EF 平行。
8．已知椭圆 :C
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的离心率为 1
2
，且经过点 31, 2P
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设 F 是椭圆C 的右焦点， M 为椭圆上一点，以 M 为圆心， MF 为半径作圆 M 。问
点 M 满足什么条件时，圆 M 与 y 轴有两个交点？
（3）设圆 M 与 y 轴交于 ,D E 两点，求 DE 的最大值
（1）
2 2
14 3
x y
（2） 42 3x
（3）当 2x 时 DE 的最大值为 2 5
9．如图，过抛物线 2: 2 ( 0)C y px p 的顶点 O 作两点互相垂直的弦 ,OA OB ，再以
,OA OB 为邻边作矩形 AOBM ，
（1）求点 M 的轨迹 1C 的方程；
（ 2 ） 设 直 线 3 1x p 与 抛 物 线 C 交 于 ,E F ， 与 M 的 轨 迹 1C 交 于 ,S T ， 若
4EF ST p |，求 p 的取值范围．
（三）、函数类
10．已知函数 )1,0(12)( 2 babaxaxxg ，在区间 3,2 上有最大值 4，最小值 1，
张祖寅老师专门为你精心准备的考前大礼，祝你高考成功！！
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设 ( )( ) g xf x x
．（Ⅰ）求 ba, 的值；（Ⅱ）不等式 02)2( xx kf 在 ]1,1[x 上恒成立，
求实数 k 的范围；（Ⅲ）方程 2( 2 1) ( 3) 0
2 1
x
xf k
有三个不同的实数解，求实数 k
的范围
解:（Ⅰ）(1) 2( ) ( 1) 1g x a x b a
当 0a 时， ( ) 2, 3g x 在 上为增函数 故
(3) 2 9 6 2 5 1
(2) 5 4 4 2 2 0
g a a b a
g a a b b
当 0 ( ) 2, 3a g x 时， 在 上为减函数 故
(3) 2 9 6 2 2 1
(2) 2 4 4 2 5 3
g a a b a
g a a b b
011 bab 即 2( ) 2 1g x x x . 1 2f x x x
.
（Ⅱ）方程 (2 ) 2 0x xf k 化为 12 2 22
x x
x k
21 11 ( ) 22 2x x k ，令 tx
2
1 ， 2 2 1k t t ∵ ]1,1[x ∴ ]2,2
1[t 记
12)( 2 ttt 。∴ min( ) 0t ∴ 0k
（Ⅲ）方程 0)3
|12|
2(|)12(|
x
x kf 化为 0)32(
|12|
21|12|
kk
x
x
0)21(|12|)32(|12| 2 kk xx ， 0|12| x
令 tx |12| ， 则方程化为 0)21()32(2 ktkt
（ 0t ）
∵方程 0)32(
|12|
21|12|
kk
x
x 有三个不同的实
数解， ∴由 |12| xt 的图像知，
0)21()32(2 ktkt 有两个根 1t 、 2t ，
且 21 t1t0 或 10 1 t ， 1t 2 记 )21()32()( 2 ktktt
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则
0k)1(
0k21)0(
或
12
k320
0k)1(
0k21)0(
∴ 0k .m
11．已知函数 3 2 , 1( ) ln , 1
x x bx c xf x a x x
的图像过坐标原点O ，且在点 ( 1, ( 1))f 处
的切线的斜率是 5 。
（1）求实数 ,b c 的值；
（2）求 ( )f x 在区间[ 1,2] 上的最大值；
（3）对任意给定的正实数 a ，曲线 ( )y f x 上是否存在两点 P、Q 使得 POQ 是以 O 为
直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在 y 轴上？说明理由。
解：（1）当 1x 时， 2( ) 3 2f x x x b ，依题意得
( 1) 3 2 5
(0) 0
f b
f c
得 0
0
b
c
（2）由（1）知， 3 2 , 1( ) ln , 1
x x xf x a x x
当 1 1x 时， 2( ) 3 2f x x x ，令 ( ) 0f x 得 1 2
20, 3x x
x 1 ( 1,0) 0 2(0, )3
2
3
2( ,1)3 1
( )f x 0 0
( )f x 2 减 极小值 0 增
极大值
4
27
减 0
所以 ( )f x 当 1 1x 时最大值为 2
当1 2x 时， ( ) lnf x a x 时， ( ) 0af x x
，所以 ( )f x 的最大值为 ln 2a
所以，当 2
ln 2a 时， ( )f x 在[ 1,2] 上的最大值为 ln 2a
当 2
ln 2a 时， ( )f x 在[ 1,2] 上的最大值为 2
（3）假设曲线 ( )y f x 上存在两点 P、Q 满足题意，则点 P、Q 只能在 y 轴的两侧。
不妨设 3 2( , ( ))( 0), ( , )P t f t t Q t t t ，显然 1t ，
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因为 POQ 为直角三角形，所以 0OP OQ 即 2 3 2( )( ) 0t f t t t ①
是否存在 P、Q 等价于方程①是否有解。
当 0 1t ， 3 2( )f t t t ，所以①式可化为 4 2 1 0t t ，而此式无实数解。
当 1t ， ( ) lnf t a t ，所以①式可化为 1 ( ln )( 1) 0a t t
即 1 ( 1)lnt ta
②
考察函数 ( ) ( 1)ln ,( 1)h x x x x ，因为 1( ) ln 1 0h x x x
所以 ( )h x 在[1, ) 上单调增，所以 ( ) (1) 0h t h ，且当t 时， ( )h t
所以当 0a 时，方程②总有解。即方程①总有解，因此对任意给定的正实数 a ，曲线
( )y f x 上总存在两点 P、Q 使得 POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜
边中点在 y 轴上。
（四）．数列类．
江苏高考还是要关注等差、等比数列的性质的应用。
12．已知公差大于零的等差数列 na 的通项公式为 na pn q ，定义 mb 为满足不等式
0 na m 的 na 的个数．
⑴、若 1 , 32p q 求 3b ；
⑵、若 1 1,2 3p q ，求证 mb 为等差数列；
⑶、若 3 2mb m ，求 ,p q 的取值范围．
13．已知向量 nm // ，其中 ),,)(,1(),1,
1
1( 3 Rcyxyn
cx
m
，把其中 yx, 所满
足的关系式记为 )(xfy ，若函数 )(xf 为奇函数。（1）求函数 )(xf 的表达式；（2）已知
数列 }{ na 的 各项都是正数， nS 为数列 }{ na 的前 n 项和 ，且对于任意的 *Nn ，都有数
列 )}({ naf
的 前 n 项 和 2
nS ， 求 数 列 }{ na 的 首 项 1a 和 通 项 公 式 na ；（ 3 ） 若 数 列 }{ nb 满 足
124 nan
n ab ，求数列 }{ nb 的最小项。
解：（1） )01(1,1
1
1,// 33
3
cxcxyy
cx
nm ， )(xf 为奇函数，
)0()(,1 3 xxxfc
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（2）由题意： 1,0,,1, 11
2
1
3
1
233
3
3
2
3
1 aaaanSaaaa nn 又则
,,2 2
1
3
1
3
3
3
2
3
1 nn Saaaan
nnnnnnnnnnnn aSSSaaSSaSSa 20),( 1
2
1
2
1
23
11
2
1 23 nnn aSan 时， ，相减得： ,0, 11
2
1
2 nnnnnn aaaaaa
naaaaaaaaaa nnn 1,2,)(,1 122
2
21
3
2
3
11 又
（3） ,)2(24 221 aaab nnn
n 令 )2(2 ttn
当 ,2a 最小项为 ab 441 ，
当 2a 时，①若 ka 2 ，最小项为 kb ， 2abk
②若
2
22 1
kk
a ，最小项为 kb 或 1kb ， kb = 1kb ,)2( 22 aak
③若
2
222
1
kk
k a ，最小项为 kb ， kb ,)2( 22 aak
④若
2
222
1
1
kk
k a ，最小项为 1kb ， 1kb ,)2( 221 aak
14．已知数列 na 满足 2
1
1
2
1 2
1, 2,3,4,1 22
n
n
n
a n
a a n
a n
为偶数
为奇数
。
（1）求 3 4 5, ,a a a ；
（2）设 12 1, 1,2,3,nnb a n ，求证：数列 nb 是等比数列，并求其通项公式；
（3）对任意的 *2,m m N ，在数列 na 中是否存在连续的 2m 项构成等差数列？若存在，
写出这 2m 项，并证明这 2m 项构成等差数列；若不存在，说明理由。
解：（1）可求得 3 4 5
5 13, 7,2 2a a a ；
（1） 由题意，对于任意的正整数 12, 1nn b a ，所以 1 2n nb b ，又 1 2b
所以 2n
nb
（2） 存在，事实上对任意的 *2,m m N ，在数列 na 中
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2 2 1 2 2 2 2 1, , , ,m m m m ma a a a 这连续的 2m 项就构成一个等差数列。
先证明“对任意的 * 1 *2, , (0,2 ),nn n N k k N 有 12 2 1 2n
n
k
ka ”
由（2）知， 2n
nb ，所以 12 2 1n
na ，
当 k 为奇数时， 1 1 2 12 2 1 2 22
1 12 22 2n n n kk ka a a
当 k 为偶数时， 1 1 22 2 2 22
1 12 22 2n n n kk ka a a
记 1
2 1
2
k
k k
,k为偶数
,k为奇数
，因此要证 12 2 1 2n
n
k
ka ，只要证 2
1
1 1
2 2 1 2n
n
k
ka
其中 2 *
1 1(0,2 ),nk k N
如此下去，我们只要证明 1
2
2 1 *2
2 22 2 1 , (0,2 ),2n
n
n nk
ka k k N
即 1
2
2 1
1 52 1 2 2a ，这个显然成立，所以对任意的 *2,m m N ，
1 1
2 2 1
12 1 , 2 12 2m m
m m
i i
i ia a
，其中 *(0,2 1),mi i N
所以 2 1 2
1
2m mi ia a ，又 1 1
2 2 1
12 1, 2 1 2m m
m ma a
，所以 2 1 2
1
2m ma a
即 2 2 1 2 2 2 2 1, , , ,m m m m ma a a a 这连续的 2m 项构成等差数列
（五）．应用类
注重读题，分析题中的有效信息，列式当心定义域。
15．冰岛南部一冰川火山口当地时间 2010 年 3 月 20 日发生大规模爆发性喷火，周边飞扬了
大量火山灰.火山喷发停止后，为测量的需要，距离喷口中心 50m 内的圆环面为第 1 区、50m
至 100m 的圆环面为第 2 区、100m 至 150m 的圆环面为第 3 区、……、第 )1(50 n m 至 n50 m
的圆环面为第 n 区，…….现测得第 1 区火山灰平均每平方米为 1t、第 2 区每平方米的平均
重量较第 1 区减少 2%、第 3 区较第 2 区又减少 2%，……，以此类推.
⑴若第 n 区每平方米的重量为 na kg，请写出 na 的表达式；
⑵第几区内的火山灰总重量最大？
⑶该火山前 n 区这次喷发出的火山灰的总重量为多少万吨？
16．汶川大地震后，为了消除某堰塞湖可能造成的危险，救援指挥部商定，给该堰塞湖挖一
个横截面为等腰梯形的简易引水槽（如图）进行引流，已知等腰梯形的下底与腰的长度都为
a ，且水槽的单位时间内的最大流量与横截面的面积成正比，比例系数 k ，
（1）、试将水槽的最大流量表示成关于 的函数；
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（2）、为确保人民的生命财产安全，请你设计一个方案，使单位时间内水槽的流量最大（即
当 为多大时，单位时间内水槽的流量最大）。
解：（1）、设水槽的横截面面积为 S ，
则 21 ( 2 cos ) sin sin (1 cos )2S a a a a a
所以 2( ) sin (1 cos ), (0, ).2f ks a k
（2）、 2 2'( ) (2cos cos 1)f a k ，
令 '( ) 0f ，则 22cos cos 1 0 ，得 1cos 2
或 cos 1
由 (0, ).2
知 cos 1 ，所以 1cos ,2 3
当 0 3
时， '( ) 0f ，即 ( )f 在 (0, )3
上递增，
当
3 2
时， '( ) 0f ，即 ( )f 在 ( , )3 2
上递减，所以当
3
时，水槽的流量最
大，即设计成
3
的等腰梯形引水槽，可使单位时间内水槽的流量最大。
17．从一副扑克牌的红桃花色中取 5 张牌，点数分别为 1、2、3、4、5。甲乙两人玩一种游
戏：甲先取一张牌，记下点数，放回后乙再取一张牌，记下点数。如果两个点数的和为偶数
就算甲胜，否则算乙胜。
（1） 求甲胜且点数的和为 6 的事件发生的概率；
（2） 这种游戏规则公平吗？说理由。
解：（1）设“甲胜且点数的和为 6”为事件 A，甲的点数为 x ，乙的点为 y ，则 ( , )x y 表示
一个基本事件，两人取牌结果有 (1,1),(1,2), (1,5),(2,1)(2,2), ,(5,5) 共 25 个基本事件，
A 中有 (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) 共 5 个基本事件，所以 5 1( ) 25 5P A
所以编号之和为 6 且甲胜的概率为 1
5
；
（2）这种游戏不公平。
设“甲胜”为事件 B，“乙胜”为事件 C，甲胜即两个点数之和为偶数，所含的基本事件
共有 13 个，所以甲胜的概率为 13( ) 25P B ，乙胜的概率为 12( ) 25P C ，两者不等，所
以不公平。
18. 深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司
和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的 85%和
15%。据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，并对证人的辨别能力作了测试，测得
他辨认的正确率为 80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑. 请问警察的认定
对红色出租车公平吗？试说明理由.
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讲解 设该城市有出租车 1000 辆，那么依题意可得如下信息：
证人所说的颜色（正确率 80%）
真
实
颜
色
蓝色 红色 合计
蓝色（85%） 680 170 850
红色（15%） 30 120 150
合计 710 290 1000
从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且它确实是红色的概率为 41.0290
120 ，而它
是蓝色的概率为 59.0290
170 . 在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显
然是不公平的.
高考加油！亲爱的同学，平和一下自己的心态，控制自己的情绪，以平常心态应考，
考完一门忘一门，让自己尽量放松，好好休息。希望你超常发挥，金榜成名！
就要考试了，放开往日的学习中的紧张，用一颗平常心去轻松面对，相信你会考出自
己理想的成绩的。愿好运一直陪伴着你！
张老师
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