2012 高考冲刺——考前预测卷 4
（试卷总分：150 分 考试时间：120 分钟）
（第Ⅰ卷（选择题 共 50 分）
参考公式：
柱体的体积公式 V=Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是锥体的高．
锥体的体积公式 V= 1
3 Sh ，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．
如果事件 A，B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件 A，B 独立，那么 P(AB)=P(A)P(B)．
事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概
率: ( ) (1 ) ( 0,1,2, , )k k n k
n nP k C p p k n ．
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合 2{( , ) | 2010, }A x y y x x R ， {( , ) | 2010, }B x y y x x R ，则集合
A B 中元素的个数为( )．
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．无穷多个
2．命题“
∃
x∈Z， 2x 的个位数字不等于 3”的否定是（ ）．
A．
∀
x∈ ， 2x 的个位数字等于 3 B．
∃
x∈ ， 2x 的个位数字大于或小于 3
C．
∃
x∈ ， 2x 的个位数字等于 3 D．
∀
x∈ ， 2x 的个位数字大于或小于 3
3．已知 z 为复数，设 f(z)= z
z
，z1=1+i， z2=1－i，则 f(z1
z2
)= ( )．
A．1 B．－1 C．－i D．i
4．某厂共有 64 名员工，准备选择 4 人参加 2012 年奥运会火炬手选拔，现将这 64 名员工编
号，准备运用系统抽样的方法抽取 ，已知 8 号，24 号，56 号在样本中，那么样本中还有一个员
工的编号是（ ）．
A．35 B．40 C．45 D．50
5． 设向量 a
，b
， c
满足 0a b c ，且 0a b
，则| | 3,| | 4a c ，则| |b
=（ ）．
A．5 B． 7 C． 5 D．7
6．第十一届全运会在山东济南胜利举办，乒乓球比赛是其中的一个大项．现有一个口袋内装
有大小相同的四只乒乓球，分别标有数字 1，2，3，4，从中一次摸出两只，则数字之和是 2 的倍
数的概率为（ ）．
A． 1
2
B． 1
3
C． 1
4
D． 1
5
7．已知函数 xxxf cossin)( ，如果存在实数 1x ，使得对任意的实数 x，都有
1 1( ) ( ) ( 2010)f x f x f x 成立，则 的 最小值为（ ）．
A． 1
2010
B．
2010
C． 1
4020
D．
4020
8．一个几何体的三视图及长度数据如图（图 1），则该几何体 的 表
面积与体积分别为（ ）．
A． 7 2,3 B．8 2,3
C． 37 2, 2
D． 38 2, 2
图 1
9． 若函数 f(x)、g(x)分别是 上的奇函数、偶函数，且满足 f(x)-g(x)=ex，则有（ ）．
A．f(2)＜f(3)＜g(0) B．g(0)＜f(3)＜f(2)
C．f(2)＜g(0)＜f(3) D．g(0)＜f(2)＜f(3)
10．我们把离心率为
2
15 e 的双曲线 )0,0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x 称为黄金双曲线．如图（图
2）给出以下几个说法：
①双曲线 1
15
2 2
2
yx 是黄金双曲线；
②若 acb 2 ，则该双曲线是黄金双曲线；
③若 1 1 2 90F B A ，则该双曲线是黄金双曲线；
④若 90MON ，则该双曲线是黄金双曲线．
其中正确的是( )．
图 2
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分）
二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分．把答案填写在题中的横线上．
11．若正实数 x、y 满足条件 lg( ) 1x y ，则10 10
x y
的最小值为_____________．
M
N
O x
y
F1 F2A1 A2
B1
B2
12． 如果执行程序框图（图 3）的结果为 2070，则判断框中应填入的条件是________．
图 3
13．设 nx )2( 展开式中第二项与第四项的系数之比为 2:1 ，则含 2x 的项为 ．
14 ． 设 ,x y 满 足 条 件
2 4 0
2 2 0
3 3 0
x y
x y
x y
， 则 2 2( , ) 2 2f x y x y x y 的 最 大 值
为 ．
15．在计算机的算法语言中有一种函数 x 叫做取整函数(也叫高斯函数)．它表示 x 的整数
部分，即表示不超过 x 的最大整数．如 2.5 2, 2 2, 1.6 2 ．设函数 2 1( ) 1 2 2
x
xf x
，
则函数 ( ) ( )y f x f x 的值域为 ．
16． 在实数集 中定义一种运算“ ”，对任意 , ,a b a b 为唯一确定的实数，且具有
性质:
(1)对任意 , , ;a b a b b a
(2)对任意 , 0 ;a a a
(3)对任意 , ,( ) ( ) ( ) ( ).a b a b c c ab a c c b
开始
k=1
0S
？
是
2S S k
1k k
否
输出 S
结束
若 2( ) * 1f x x x
，则 x =________________．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 76 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17 ．（ 本 题 满 分 12 分 ） 在 ABC 中 ， , ,a b c 分 别 是 角 , ,A B C 的 对 边 ， 且
(2 )cos cos 0a c B b C ．
（1）求角 B 的大小；
（2）若b a c 13 4， ，求 ABC 的面积．
18．（本小题满分 12 分）
两个口袋 A、B 里都有若干个红球和黑球，从口袋 A 里摸出一个红球的概率是 2
3
，从口袋 B
里摸出一个红球的概率是 p ．
（1）从口袋 A 里有放回地摸球，每次摸出一个球，有两次摸到红球即停止．求：
①恰好摸 4 次停止的概率；②记 4 次之内（含 4 次）摸到红球的次数为 ，求随机变量 的
期望．
（2）若口袋 A、B 里的球数之比是 1：2，将口袋 A、B 里的球装在一起，从中摸出一个红球
的概率是 1
3
，求 p 的值．
19．（本题满分 12 分）已知四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD 平面 ABCD ，平面 PCD 平
面 ABCD ， E 为 PB 上任意一点，O 为菱形对角线的交点，如图（图 4）．
（1）证明平面 EAC 平面 PBD ；
（2）若 60BAD ，当四棱锥的体积被平面 EAC 分成 3:1 两部分时，若二面角
B AE C 的大小为 45 ，求 :PD AD 的值．
图 4
20．（本小题满分 12 分）
已知函数 2( ) ( , )f x x ax b a b R 的图象经过坐标原点，且 }{,1)1( naf 数列 的前
).)(( *N nnfSn n项和
（1）求数列 }{ na 的通项公式；
（2）若数列{ }nb 满足 3 3log logn na n b ，求数列{ }nb 的前 n 项和．
21．（本小题满分 14 分）
已知向量 2( 3,1), ( , )a x b x y ，（其中实数 y 和 x 不同时为零），当| | 2x 时，有 a b ，
当| | 2x 时， //a b
．
(1)求函数式 ( )y f x ；
(2)求函数 ( )f x 的单调递减区间；
(3)若对 ( , 2]x [2, ) ，都有 2 3 0mx x m ，求实数 m 的取值范围．
22．（本小题满分 14 分）
已知椭圆的标准方程为
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
，且 1c ，如果直线 l ： 3 2 0x y 与椭圆
的交点在 x 轴上的射影恰为椭圆的焦点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线l 与椭圆在第一象限内的交点为 P ，F 是椭圆的右焦点，若直线 4 3 0x y m
与以 PF 为直径的圆相切，求实数 m 的值；
（3）设 M 是椭圆上任意一点，F 是椭圆的一个焦点，试探究以椭圆长轴为直径的圆O 与以
MF 为直径的圆的位置关系
2012 高考冲刺——考前预测卷 4（答案）
1．【考点分析】本题考查集合的概念和集合的表示方法以及数形结合思想方法．
【参考答案】C
【解题思路】集合 A 表示抛物线 2 2010y x 上面的点的坐标，集合 B 表示直线 2010y x
上面的点的坐标，易知直线与抛物线有两个交点，故 A B 有且只有两个元素．
2．【考点分析】本题考查全称量词与存在量词的否定形式．
【参考答案】A
【解题思路】依据含有一个量词的命题的否定．
3．【考点分析】本题主要考查复数的概念以及基本的运算能力．
【参考答案】B
【解题思路】根据 z1=1+i， z2=1－i，可得z1
z2
=i，所以 f(z1
z2
)=f(i)= i
i
=－1．
4．【考点分析】本题主要考查随机抽样中的系统抽样方法，以及简单的运算能力．
【参考答案】B
【解题思路】因为样本总量是 64，样本容量为 4，所以间距是 l6，在每段中抽取的样本编号应
当是 8，24，40，56．所以选 B．
5．【考点分析】本题主要考查向量的线性运算和数量积的基本运算．
【参考答案】B
【解题分析】由 0a b c 得 ( )c a b ，
又∵ 0a b
，∴ 2 2 2 22 2| | | ( ) | ( ) ( ) 2c a b a b a b a a b b a b
，
∴ 2 2 2 2 3| | | | | | 4 3 7b c a ，即| | 7b ．
6．【考点分析】本题考查古典概型的概念与运算．
【参考答案】B
【解题思路】从四只乒乓球中一次摸出两只，即 1 和 2、1 和 3、1 和 4、2 和 3、2 和 4、3 和
4，共有 6 个基本事件； 数字之和是 2 的倍数时，只能是摸出标有数字 1 和 3、2 和 4 的两只乒乓
球，只有 2 个发生事件，所以从中一次摸出两只，则数字之和是 3 的倍数的概率为 1
3
．
7．【考点分析】本题考查三角函数的性质、辅助角公式，运算和推理的能力．
【参考答案】B
【解题思路】显然结论成立只需保证区间 1 1[ , 2010]x x 能够包含函数的至少一个完整的单调区
间即可，且 )4sin(2cossin)( xxxxf ，则
2
2010 2 2010
．
8．【考点分析】本题主要考查几何体的三视图、侧面积和体积等基础知识以 及 空
间想象能力．
【参考答案】C
【解题思路】由三视图可知，简单几何体由两部分组成（如图所示），易 知 选
C．
9．【考点分析】本题考查函数的奇偶性和单调性以及计算和逻辑推理的能力．
【参考答案】D
【解题分析】用-x 代换 x 得：f(-x)-g(-x)=e-x，即 f(x)+g(x)=-e-x，解得：f(x)=
2
x xe e ，g(x)=
2
x xe e ，则 f(x)单调递增且 x＞0 时 f(x) 0，g(0)=-1，选 D．
10．【考点分析】本题通过新定义的方式，主要考查了双曲线的几何性质和运用．考察了同学们的
运算能力和推理能力．
【参考答案】D
【解题思路】①
2
2
5 1 5 3 5 11 1 2 2 2
be a
，
曲线是黄金双曲线；
②由 acb 2 ，可得 2 2c a ac ，两边同除以 2a ．即 2 1 0e e ，从而
2
15 e ．曲线是
黄金双曲线；
③ 2 2 22 2 2 2 2
1 1 2 1 1 2, , ( ) ,F B b c A B b a F A a c 注 意 到 0
211 90 ABF ， 所 以
2 2 2 2 2( ) ,b c b a a c 即 2b ac ，由②可知曲线为黄金双曲线；
④双曲线通径即
22bMN a
，由射影定理得 2
2 2 2OF MF F N ，即
4
2
2
bc a
，从而 2b ac 由
②可知曲线为黄金双曲线．
11．【考点分析】本题考查对数函数与基本不等式的知识，考查了对这两部分知识的灵活运用能力，
以及对知识的转化能力．
【参考答案】4
【解题思路】由题意知 10( 0, 0)x y x y ，则
10 10
x y
= 2 2 2 4x y x y y x
x y x y
（x=y=5 时取等号）．
12．【考点分析】本题考查算法和程序框图及数列求和的知识．考查了同学们分析问题、解决问题
的能力．
【参考答案】 k ≤45
【解题思路】从框图的功能来看是一个求和问题，2+4+6+…+2k=2070，可得 k=45，从循环结
构可以看出，应填 k ≤45．
13．【考点分析】本题考查二项式定理的相关知识以及运算的能力．
【参考答案】 212x
【解题思路】由于 )2(11
2 n
n xCT 与 333
4 )2( n
n xCT ，由题意，得
0432
1
22
2 2
3
nn
C
n
n
，从而 4n ．设 4)2( x 的展开式中 2x 的项为第 1r 项，
则 rrr
r xCT )2(4
41
，令 24 r 得 2r ，因此， 2x 的项为 222
43 )2( xCT 即为
212x ．
14．【考点分析】本题考查数形结合的解题思想和线性规划的知识．
【参考答案】23
【解题思路】如图即为不等式表示的可行域，由于
2 2( , ) ( 1) ( 1) 2f x y x y 表示可行域内的点到定点
( 1, 1)A 的距离的平方与 2 的差，所以，可行域内的点到
( 1, 1)A 点的距离最大时， ( , )f x y 最大．观察图形易知
点 (2,3)B 为 取 得 最 大 值 的 最 优 解 ， 所 以 ，
max( , )f x y (2,3) 23f ．
15．【考点分析】 本题是一个新信息题，考查理解新概念的能力以及函数的性质的应用能力．
【参考答案】 1,0
【解题思路】易知 2 1 2 1( ) ( )1 2 2 1 2 2
x x
x xf x f x
，
1 1 1 1( ) , ( )2 2 2 2f x f x ． ( )f x 1,0 ， ( )f x 1,0 ，由于 ( )f x 是
奇函数，所以当 0x 时， (0) (0) [0] [0] 0y f f ；当 0x 时， 若 10 ( ) 2f x ，
则 1 ( ) 02 f x ， 即 1 ( ) 02 f x ， 于 是
( ) 0, ( ) 1.f x f x ( ) ( ) 1f x f x ． 若 1 ( ) 02 f x ， 同 理 可 得
( ) ( ) 1f x f x ．所以 y 的值域为 1,0 ．
16．【考点分析】 本题是一个新信息题，考查理解新概念的能力以及解方程的应用能力．
【参考答案】-1，-2
【解题思路】在(3)中，令 c=0，则 a b=ab+a+b，所以 22 1x x
，解得 x =-1 或-2．
17. 【考点分析】本小题主要考查正、余弦定理，三角形中的三角恒等变换，三角形的面积公式
等基础知识，本小题主要考查推理论证、运算求解等能力．
【参考答案】（1） B 2
3
（2） 3 34
【解题思路】（1）解法一：由正弦定理 a
A
b
B
c
C Rsin sin sin
2 得
a R A b R B c R C 2 2 2sin sin sin， ， ，
将上式代入已知 (2 )cos cos 0a c B b C
得 2 2 sin 2 sin cos 2 sin cos 0R A R C B R B C ，
即 2 0sin cos sin cos cos sinA B C B C B ，
即 2 0sin cos sin( )A B B C ．
x
B
y
O
A
∵ A B C B C A A B A ，∴ ，∴sin( ) sin sin cos sin2 0 ，
∵ sin cosA B≠ ，∴ ，0 1
2
∵ B 为三角形的内角，∴ B 2
3
．
解法二：由余弦定理得 cos cosB a c b
ac C a b c
ab
2 2 2 2 2 2
2 2
， ，
将上式代入 (2 )cos cos 0a c B b C ，整理得 a c b ac2 2 2
∴ cos B a c b
ac
ac
ac
2 2 2
2 2
1
2
∵ B 为三角形内角，∴ B 2
3
．
（2）将b a c B 13 4 2
3
， ， 代入余弦定理b a c ac B2 2 2 2 cos 得
b a c ac ac B2 2 2 2 ( ) cos ，
∴13 16 2 1 1
2 3 ac ac( )，∴ ，
∴ S ac BABC△ 1
2
3
4 3sin ．
18. 【考点分析】本题主要考查 n 次独立重复实验模型和离散型随机变量的基本思想、方法，以
及简单数据的处理能力．
【参考答案】(1) 4
27
152
81
（2） 1
6
【解题思路】 (1) ①∵恰好摸 4 次停止，∴第 4 次摸到的一定红球，且前 3 次仅有 1 次摸到
红球．
∴恰好摸 4 次停止的概率为： 1 2
3
2 1 2 4( )3 3 3 27C ．
②∵有两次摸到红球即停止，∴随机变量 的可能取值为 0，1，2，
根据 n 次独立重复实验的概率公式 ( ) (1 )k k n k
n np k C p p 得：
0 0 4
4 4
2 2 1(0) ( ) (1 )3 3 81p C ； 1 1 3
4 4
2 2 8(1) ( ) (1 )3 3 81p C ，
4 4 4
8(2) 1 [ (0) (1)] 9p p p ．
∴随机变量 的分布列为：
0 1 2
p 1
81
8
81
8
9
∴随机变量 的期望为 1 8 8 1520 1 281 81 9 81E ．
（2）设口袋 A 里有 m 个球，则口袋 B 里有 2m 个球．
∴
2 2 1 13
3 3 6
m p m
pm
．
19．【考点分析】本小题主要考查空间线面位置关系的基本定理、多面体体积计算、（理）空间向
量的应用，本小题主要考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，本小题主要考查分析
问题、解决问题的能力．
【参考答案】（1）证略 （2） : 6 : 2PD AD
【解题思路】（1）过点 B 作 BG AD 于点 G ，由于平面 PAD 平面 ABCD ，
由面面垂直的性质定理可知 BG 平面 PAD ， PD 平面 PAD ，故 PD BG ；
同理，过点 B 作 BH CD 于点 H ，则 PD BH ，
BG 平面 ABCD 、 BH 平面 ABCD ， BG BH B ，
所以 PD 平面 ABCD ， PD AC ，
又 BD AC ，故 AC 平面 PBD ，
所以平面 EAC 平面 PBD ．
（2）如图，若四棱锥的体积被平面 EAC 分成3:1两部分，
则三棱锥 E ABC 的体积是整个四棱锥体积的 1
4
，
设三棱锥 E ABC 的高为 h ，则 1 1 1 1
3 2 4 3S h S PD ，S 为菱形 ABCD 的面积由此得
1
2h PD ，
故此时 E 为 PB 的中点，此时 1
2EO PD ，并且 //EO PD ，
故此时平面 EAC 平面 ABCD ，故 BO 平面 EAC ，
BO AE ，过点O 作OF AE 于点 F ，
则 AE 平面 BOF ，连结 BF ，则 AE BF ，
故 OFB 即为二面角 B AE C 的平面角，即 45BOF ．
设 AD a ，则 BD a ， 1
2OB a ， 3
2OA a ．
在 BOFRt 中，
1
2tan 1
aOBOFB OF OF
，故 1
2OF a ，
在 AOERt 中由三角形的等积定理OA OE OF AE ，
即
2
23 1 3
2 2 2a OE a a OE
，解得 6
4OE a ，故 6
2PD a ，
所以 : 6 : 2PD AD ．
解法二：根据上面的证明，射线 , ,OA OB OE 两两垂直，以点O 为坐标原点，射线 , ,OA OB OE
分别为 , ,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz ，
设OB m ，则 3OA m ，设OE h ，则 3 ,0,0 , 0, ,0 , 0.0,A m B m E h ，
这时可以选向量 1 0,1,0n 为平面 AEC 的一个法向量，
设平面 ABE 的法向量 2 , ,n x y z ，
则 2 0n AB 且 2 0n BE ，即 3 0mx my 且 0my hz ，取 1x ，
则 33, my z h
，则 1
31, 3, mn h
，
故
1 2
1 2
21 2
2
3 2cos45 cos , 2
1 3 3
n n
n n
n n m
h
，
解得 6
2
h
m
，又 : 2 : 2 : 6 : 2PH AD h m h m ．
20．【考点分析】本题考查函数、导数和数列的综合知识，本小题主要考查运算求解、推理论证等
能力，特别要注意错位相减法的运用.
【参考答案】（1） )(22 *N nnan （2）
2(8 1)3 1
64
nn
【解题思路】（1）∵函数 ),()( 2 R babaxxxf 的图象经过坐标原点，
∴ (0) 0f b ，∴ 2( )f x x ax
由 ( ) 2f x x a ，得 (1) 2 1f a ，∴ 1a
∴ 2( )f x x x ， ∴ 2
nS n n ，
∴ 2 2
1 [( 1) ( 1)]n n na S S n n n n 22 n ， 2n
011 Sa ，∴ )(22 *N nnan ．
（2）由 nn bna 33 loglog 得： )(3 *2 N nnb n
n ，
∴ 1 2 3n nT b b b b 22410 333323 nn ，
∴ 2 4 6 29 3 2 3 3 3 3 n
nT n ，
由②－①得： )33331(38 226422 nn
n nT 8
133
2
2
n
nn
∴
2 2 23 3 1 (8 1)3 1
8 64 64
n n n
n
n nT ．
21．【考点分析】本题考查向量的平行与垂直关系的坐标运算，导数、函数和不等式的综合知识，
本小题主要考查运算求解、推理论证等能力．
【参考答案】（1）
3
2
3 ,( 2 2 0)
( )
.( 2 2)3
x x x x
y f x x x xx
且
或
（2）（－1，1）和（1，1）
（3） 2m
【解题思路】（1）当| | 2x 时，由 a b 得 2( 3) 0a b x x y ，
即：
3 3y x x （| | 2x 且 0x ）
当| | 2x 时，由 //a b
得 2 3
xy x
．
∴
3
2
3 ,( 2 2 0),
( )
.( 2 2).3
x x x x
y f x x x xx
且
或
（2）当| | 2x 且 0x 时，由 2' 3 3y x
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