考前冲刺四 考前回归教材，成功赢得高考
解决“会而不对，对而不全”问题是决定高考成败的关键，高考数学考试中出现错误的原因
很多，其中错解类型主要有：知识性错误、审题或忽视隐含条件错误、运算错误、数学思想
方法运用错误、逻辑性错误、忽视等价性变形错误等.下面我们分几个主要专题对易错的知识
点和典型问题进行剖析，为你提个醒，力争做到“会而对，对而全”.
回扣一 集合、复数与常用逻辑用语
1.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如：{x|y＝lg x}—
—函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集.
[回扣问题 1] 已知集合 M＝ x|x2
16
＋
y2
9
＝1
，N＝ y|x
4
＋
y
3
＝1
，则 M∩N＝( )
A.∅ B.{(4，0)，(3，0)}
C.[－3，3] D.[－4，4]
解析 由曲线方程，知 M＝ x|x2
16
≤1
＝[－4，4]，
又 N＝ y|x
4
＋
y
3
＝1
＝R，∴M∩N＝[－4，4].
答案 D
2.遇到 A∩B＝∅ 时，需注意到“极端”情况：A＝∅ 或 B＝∅ ；同样在应用条件 A∪B＝B⇔A
∩B＝A⇔A⊆B 时，不要忽略 A＝∅ 的情况.
[回扣问题 2] 已知集合 A＝{x|x＜－3 或 x＞7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若 B⊆A，则实数
m 的取值范围是________.
解析 当 B＝∅ 时，有 m＋1＞2m－1，则 m＜2.当 B≠∅ 时，有
m＋1≤2m－1，
2m－1＜－3
或
m＋1≤2m－1，
m＋1＞7，
解得 m＞6.综上可知，实数 m 的取值范围是(－∞，2)∪(6，＋∞).
答案 (－∞，2)∪(6，＋∞)
3.注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助 Venn 图解题，描述法常借助数轴来运算，
求解时要特别注意端点值的取舍.
[回扣问题 3] 设集合 A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若 A∩B≠∅ ，则 a 的取值范围是( )
A.(－1，2] B.(2，＋∞)
C.[－1，＋∞) D.(－1，＋∞)
解析 因为 A∩B≠∅ ，所以集合 A，B 有公共元素，利用数轴可知 a＞－1.
答案 D
4.复数 z 为纯虚数的充要条件是 a＝0 且 b≠0(z＝a＋bi(a，b∈R)).还要注意巧妙运用参数问
题和合理消参的技巧.
[回扣问题 4] 设 i 为虚数单位，z＝2＋
3i
1－i
，则|z|＝( )
A.1 B. 10 C. 2 D.
10
2
解析 z＝2＋
3i
1－i
＝
2＋i
1－i
＝
（2＋i）（1＋i）
（1－i）（1＋i）
＝
1＋3i
2
，
∴|z|＝
1
2
2
＋
3
2
2
＝
10
2
.
答案 D
5.复平面内，复数 z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点为 Z(a，b)，不是 Z(a，bi)；当且仅当 O 为坐
标原点时，向量OZ→ 与点 Z 对应的复数相同.
[回扣问题 5] 在复平面内，复数 z＝
| 3－i|
1＋i
的共轭复数z
－
对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 z＝
| 3－i|
1＋i
＝
2
1＋i
＝
2（1－i）
（1＋i）（1－i）
＝1－i，所以z
－
＝1＋i，故z
－
在复平面内对应的点为
(1，1)，在第一象限.
答案 A
6.对于充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论.“A 的充分不必要条件是 B”说
明“B 是条件”且 B 推出 A，但 A 不能推出 B，而“A 是 B 的充分不必要条件”表明“A 是
条件”，A 能推出 B，但 B 不能推出 A.
[回扣问题 6] 函数 f(x)＝
log2x，x＞0，
－2x＋a，x≤0，
有且只有一个零点的一个充分不必要条件是( )
A.a＜0 B.0＜a＜
1
2
C.
1
2
＜a＜1 D.a≤0 或 a＞1
解析 因为函数 f(x)的图象恒过点(1，0)，所以函数 f(x)有且只有一个零点⇔函数 y＝－2x＋
a(x≤0)没有零点⇔函数 y＝2x(x≤0)的图象与直线 y＝a 无交点.数形结合可得 a≤0 或 a＞1，即
函数 f(x)有且只有一个零点的充要条件是 a≤0 或 a＞1.分析选项知，“a＜0”是函数有且只有
一个零点的充分不必要条件.
答案 A
7.存在性或恒成立问题求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想.
[回扣问题 7] 若二次函数 f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1 在区间[－1，1]内至少存在一个
值 c，使得 f(c)>0，则实数 p 的取值范围为________.
解析 如果在[－1，1]内没有值满足 f(c)>0，
则
f（－1）≤0，
f（1）≤0
⇒
p≤－
1
2
或 p≥1，
p≤－3 或 p≥
3
2
⇒p≤－3 或 p≥
3
2
.
取补集，得 p 的取值范围是
－3，
3
2 .
答案
－3，
3
2
回扣二 函数与导数
1.求函数的定义域，关键是依据含自变量 x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如
开偶次方根，被开方数一定是非负数；分式中分母不为 0；对数式中的真数是正数；列不等式
时，应列出所有的不等式，不应遗漏.
[回扣问题 1] 函数 f(x)＝lg(1－x)＋ 3x＋1 的定义域是________.
解析 由题意，得
1－x>0，
3x＋1≥0，
∴－
1
3
≤x0 且|x－2|－2≠0，知 f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称，则
f(x)＝
lg（1－x2）
－x
，
又 f(－x)＝
lg（1－x2）
x
＝－f(x)，
∴函数 f(x)为奇函数.
答案 奇函数
4.记住周期函数的几个结论：
由周期函数的定义“函数 f(x)满足 f(x)＝f(a＋x)(a>0)，则 f(x)是周期为 a 的周期函数”得：
(1)函数 f(x)满足 f(a＋x)＝－f(x)，则 f(x)是周期 T＝2a 的周期函数；
(2)若 f(x＋a)＝
1
f（x）
(a≠0)成立，则 T＝2a；
(3)若 f(x＋a)＝－
1
f（x）
(a≠0)成立，则 T＝2a；
(4)若 f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)成立，则 T＝2a.
[回扣问题 4] 已知定义在 R 上的函数 f(x)，若 f(x)是奇函数，f(x＋1)为偶函数，当 0≤x≤1
时，f(x)＝x2，则 f(2 021)＝( )
A.－1 B.1 C.0 D.2 0192
解析 因为 f(x＋1)是偶函数，所以 f(x＋1)＝f(－x＋1)，则 f(－x)＝f(x＋2).又 f(x)是奇函数，
所以 f(－x)＝－f(x)，所以 f(x＋2)＝－f(x)，所以 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数 f(x)是以
4 为周期的周期函数，又当 0≤x≤1 时，f(x)＝x2，所以 f(2 021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝1.
答案 B
5.理清函数奇偶性的性质.
(1)f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
(2)f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)；
(3)定义域含 0 的奇函数满足 f(0)＝0.
[回扣问题 5] 已知函数 h(x)(x≠0)为偶函数，且当 x>0 时，h(x)＝
－
x2
4
，04，
若
h(t)>h(2)，则实数 t 的取值范围为________.
解析 因为当 x>0 时，h(x)＝
－
x2
4
，04.
所以函数 h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
因为函数 h(x)(x≠0)为偶函数，且 h(t)>h(2)，
所以 h(|t|)>h(2)，所以 00，a0 的解集是实数集 R；命题乙：00 恒成立，
当 a≠0 时，需满足
a>0，
Δ＝（2a）2－4a3.841，所以对照题目中的附表，得 P(K2≥k0)＝0.05＝5%.∴“这
种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过 5%.
答案 B
5.运用古典概型的概率计算失误，涉及古典概型的计算，需做到以下两点：
一是理解古典概型的两个特征：①试验中所有可能出现的基本事件为有限个；
②每个基本事件出现的可能性相等.
二是掌握古典概型的概率计算公式 P(A)＝
事件 A 包含的基本事件个数（m）
总的基本事件个数（n）
.
[回扣问题 5] 2019 年 5 月 22 日，具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举
行.长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”.
现有 4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名
学生均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为( )
A.
27
64
B.
9
16
C.
81
256
D.
7
16
解析 设事件 M 为“恰有一个地方未被选中”，4 名学生选取的旅游地方的所有情况有 44＝
256(种)，恰有一个地方未被选中的情况共有 C1
4C2
4·A3
3＝144(种)，所以恰有一个地方未被选中
的概率 P(M)＝
144
256
＝
9
16
.
答案 B
6.二项式(a＋b)n 与(b＋a)n 的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问
题时，要注意区分.还要注意二项式系数与项的系数的区别与联系，同时明确二项式系数最大
项与展开式系数最大项的不同.
[回扣问题 6] 在二项式
x－
1
x
n
的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含 x2
项的系数是( )
A.－56 B.－35
C.35 D.56
解析 因为展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，故 n＝8，所以 Tr＋1＝Cr
8x8－r
(－x－1)r＝(－1)rCr
8x8－2r，令 8－2r＝2，得 r＝3，故含 x2 项的系数是(－1)3C3
8＝－56.
答案 A
7.要注意概率 P(A|B)与 P(AB)的区别.
(1)在 P(A|B)中，事件 A，B 发生有时间上的差异，B 先 A 后；在 P(AB)中，事件 A，B 同时发
生.
(2)样本空间不同，在 P(A|B)中，事件 B 成为样本空间；在 P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而
有 P(A|B)≥P(AB).
[回扣问题 7] 端午节当天，小明的妈妈煮了 7 个粽子，其中 3 个腊肉馅，4 个豆沙馅.小明从
中随机抽取两个粽子，若已知小明取出的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的
概率为( )
A.
1
7
B.
1
3
C.
3
7
D.
3
10
解析 由题意，设事件 A 为“取出的两个粽子为同一种馅”，事件 B 为“取出的两个粽子都为
腊肉馅”.则 P(A)＝
C2
3＋C2
4
C2
7
＝
3
7
，P(AB)＝
C2
3
C2
7
＝
1
7
，所以 P(B|A)＝
P（AB）
P（A）
＝
1
7
3
7
＝
1
3
.
答案 B
8.混淆二项分布与超几何分布.求分布列时注意超几何分布和二项分布以及二者的均值和方差
公式的区别，一定注意公式的适用条件.
[回扣问题 8] 某中学用简单随机抽样的方法抽取了 100 名同学，对其社会实践次数进行调查，
结果如下.
社会实
践次数
[0，3) [3，6) [6，9) [9，12) [12，15) [15，18]
男同学人
数
7 15 11 12 2 1
女同学人
数
5 13 20 9 3 2
将社会实践次数不低于 12 次的学生称为“社会实践标兵”.
(1)将频率视为概率，估计该校 1 600 名学生中“社会实践标兵”有多少人？
(2)从已抽取的 8 名“社会实践标兵”中随机抽取 4 名同学参加社会实践表彰活动.
(i)设事件 A 为“抽取的 4 名同学中既有男同学又有女同学”，求事件 A 发生的概率；
(ii)用 X 表示抽取的“社会实践标兵”中男同学的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望.
解 (1)样本中社会实践次数不低于 12 的学生有 2＋1＋3＋2＝8(人)，
所以该校 1 600 名学生中“社会实践标兵”约有 1 600×
8
100
＝128(人).
(2)8 名“社会实践标兵”，其中男同学 3 人，女同学 5 人.
(i)设A
－
为“抽取的 4 名同学全是女同学”，
所以 P(A
－
)＝
C4
5
C4
8
＝
1
14
，
所以 P(A)＝1－P(A
－
)＝1－
1
14
＝
13
14
.
(ii)由题意知：X 的所有可能取值为 0，1，2，3.
P(X＝0)＝
C4
5
C4
8
＝
1
14
，
P(X＝1)＝
C1
3C3
5
C4
8
＝
3
7
，
P(X＝2)＝
C2
3C2
5
C4
8
＝
3
7
，
P(X＝3)＝
C3
3C1
5
C4
8
＝
1
14
.
则 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P
1
14
3
7
3
7
1
14
法一 所以 E(X)＝0×
1
14
＋1×
3
7
＋2×
3
7
＋3×
1
14
＝
3
2
.
法二 因为 X 服从超几何分布 H(8，3，4)，所以 E(X)＝
3×4
8
＝
3
2
.
9.正态密度曲线具有对称性，注意 X～N(μ，σ2)时，P(X≥μ)＝0.5 的灵活应用.
[回扣问题 9] 已知随机变量ξ服从正态分布 N(2，σ2)，若 P(ξ
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