2015年数学高考考前冲刺10010题

1 2007 届数学科查缺补漏题目 三角函数 1．在 ABC 中,角 A、B、C 三对边分别是 a 、b 、 c ，已知 CabBcaAbcc coscoscos2  （1）试判断 ABC 的形状 （2）若 3 BCAB , 9 ACAB ,求角 B 的大小。 2．在 ABC 中, 角 A、B、C 三对边分别是 a 、b 、 c 10 103cos,2 1tan  BA . (1)求 Ctan 的值； （2）若 ABC 最长的边为 1，求最短的边的长。 3．已知 )3tan(sin,25 72cos,10 27)4sin(  及求 . 4． 5 10 2cos2sin   ， ),2(   ， 2 1)tan(   ，求 )2tan(   的值。 5．已知函数 xxxxxf 44 coscossin32sin)(  ， Rx  （1）求函数 )(xf 求最小正周期和最小值，并求出取得最小值的 x 的集合; （2）并写出该函数在 ],0[  上的单调递增区间,并画出函数在 ],0[  上的图象; （3）该函数图像可由 )(sin Rxxy  的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 6．已知函数 12 3 2sin3sin2 1)( 2  xxxf （1）求 )(xf 的最小正周期和最大值及单调减区间； （2）该函数图象能否有 xy sin 的图象按某个向量平移得到，若能，求出满足条件的向量，若不能， 说明理由。 2 立体几何 1． 已知长方体 1AC 中；棱 1,AB BC  棱 1 2BB  ；连结 1B C ； 过 B 点作 1B C 的垂线交 1CC 于 E ；交 1B C 于 F ． （1）求证： 1AC  平面 EBD ； （2）求点 A 到平面 1 1A B C 的距离； （3）求平面 1 1A B C 与直线 DE 所成角的正弦值． 2．如图；在底面是矩形的四棱锥 ABCDP  中； PA ⊥平面 ABCD ； 2 ABPA ； 4BC ．E 是 PD 的中点． （Ⅰ）求证：平面 PDC ⊥平面 PAD ； （Ⅱ）求二面角 DACE  所成平面角的余弦值； （Ⅲ）求 B 点到平面 EAC 的距离． 3．如图；已知正三棱柱 ABC — 111 CBA 的底面边长是 2 ； D 是侧棱 1CC 的中点；直线 AD 与侧面 1 1BB C C 所成的角为 45 ． （Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长； （Ⅱ） 求二面角 CBDA  的大小； （Ⅲ）求点 C 到平面 ABD 的距离． 4．如图，在底面为平行四边形的四棱锥 P—ABCD 中，AB⊥AC，PA⊥平面 ABCD，且 PA=PB，点 E 是 PD 的中点. （Ⅰ）求证：AC⊥PB； （Ⅱ）求证：PB//平面 AEC； （Ⅲ）求二面角 E—AC—B 的大小. B C A D C1 B1 D1A1 E F P B E D C A A B C D 1A 1B 1C 3 统计与概率 1．某会议室用 5 盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的 寿命有关，该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为 p1，寿命为 2 年以上的概率为 p2.从使用之日起每满 1 年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换。 （Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换 2 只灯泡的概率； （Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率； （Ⅲ）当 p1=0.8，p2=0.3 时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换 4 只灯泡的概率（结果保留两个 有效数字）. 2. A、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时 A 赢得 B 一 张卡片，否则 B 赢得 A 一张卡片.规定掷硬币的次数达 9 次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终 止.设 表示游戏终止时掷硬币的次数。 （1）求 的取值范围； （2）求 的数学期望 E 。 3.某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有 4 次参加考试的机会，一旦某次 考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第 4 次为止。如果李明决定参加驾 照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为 0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数 的分布列和 的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率。 5．在一个盒子中，放有标号分别为1， 2 ， 3 的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两 张卡片的标号分别为 x 、 y ，记 xyx  2 ． （Ⅰ）求随机变量 的最大值，并求事件“ 取得最大值”的概率； （Ⅱ）求随机变量 的分布列和数学期望． 6.一个整数等可能地在 1~10 这 10 个数中取值，以 X 表示除得尽这一整数的正整数的个数，求 X 的分 布列和均值。 7.某年级学生期末考试的结果服从正态分布，语文和数学成绩如下图 全级 语文 数学 平均分数 69 56 标准差 8.2 12.4 若全级有 1000 人，有一学生的成绩是语文 76 分，数学 70 分，从全年级学生的成绩名次来看，该学生 的哪科成绩较好？ 4 数列 1．设等比数列 na 的公比为 q，前 n 项和 ),2,1( 0  nS n 。 (1)求 q 的取值范围； （2）设 12 2 3   nnn aab ，记 nb 的前 n 项和为 nT ，试比较 nS 与 nT 的大小。 2. 设 数 列 }{ na 的 首 项 11 a , 前 n 项 和 nS 满 足 关 系 式 ： ),,4,3,2,0(3)32(3 1   nttSttS nn （1）求证:数列 }{ na 是等比数列;（2）设数列 }{ na 的公比为 )(tf ,作数列 }{ nb 使 11 b , )1( 1  n n bfb ,(n=2,3,4,……), （1）求 nb （2）求和: 1 1 433221 )1(    nn n bbbbbbbb 3．已知函数 )0()1()1( )1()1()( 44 44   xxx xxxf （1）若 Rxxxf  且)( ，则称 的实不动点为 )( xfx ，求 )( xf 的实不动点。 （2）在数列 }{ na 中， ))((,2 11    Nnafaa nn ，求数列 }{ na 的通项公 式。 4．由原点 O 向曲线 )0(3)( 23  axaxxxf 引切线，切于不同于 O 的点 ),( 111 yxP ,再由点 P1 引此 曲线的切线，切于不同于 P1 的点 ),( 222 yxP ，如此继续下去，得到点列 )},({ nnn yxP （1）求 ;1x （2）求证： }{ axn  为等比数列；（3）令 nnn Taxnb |,|  为数列 }{ nb 的前 n 项和，若  NnTn 对,2 恒成立，求 a 的取值范围。 5．已知数列 na 的前 n 项和 nS 满 1,)1(2  naS n nn . （1）写出数列 na 的前三项 321 ,, aaa ； （2）求数列 na 的通项公式； 5 （3）证明：对任意的整数 4m ，有 8 7111 54  maaa  解析几何 1． 已知圆 044222  yxyx ， （I）求过点 )7,4(P 的切线方程；（II）是否存在过点 P 的直线l ，使得以l 被圆截得的弦 AB 为直径的 圆过原点。 2． 椭圆 2 2 2 2 1( , 0)x y a ba b    的两个焦点 F1、F2，点 P 在椭圆 C 上，且 P F1⊥PF2,,| P F1|= 3 4 , ,| P F2|= 3 14 . （I）求椭圆 C 的方程； （II）若直线 L 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M 交椭圆于 A、B 两点，且 A、 B 关于点 M 对称，求直线 L 的方程。 3．已知椭圆 2 2 12 x y  的左焦点为 F，O 为坐标原点。 （I）求过点 O、F，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；（II）设过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点， 并且线段 AB 的中点在直线 0x y  上，求直线 AB 的方程。 4.设 A、B 为抛物线 xy 42  上两点，且分别位于 x 轴两侧，F 为抛物线的焦点，已知 2FA ， 5FB ， 试在抛物线弧 AB 上求一点 P，使 APB 的面积最大，并求出其最大面积。 5．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2 上异于坐标原点 O 的两不同动点 A、B 满足 AO⊥BO， （I）求△AOB 的重心 G 的轨迹 E 的方程；（II）问在 E 上是否存在一点 P 到直线 42  xy 的距离最小？ 若存在，求 P 的坐标；若不存在，说明理由。 函数 1、已知函数 ( ) lg( ) ( 1 0)x xf x a b a b     （1）求 ( )y f x 的定义域；（2）在函数 ( )y f x 的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直 线平行于 x 轴？（3）当 a、b 满足什么条件时， ( )f x 在 (1, ) 上恒取正值。 2、已知函数    2 1f x x ,g x x   . 6 1 若 x R  使    f x b g x  ,求实数b 的取值范围； ②设       21F x f x mg x m m     ,且  F x 在 0 1, 上单调递增,求实数 m 的取值范围 3、已知函数     24 7 0,12 xf x xx   （1）求  f x 的单调区间和值域。 (2)设   3 21 3 2a g x x a x a   ，函数 ，    101 , 0,1x x ， 若对于任意 总存在      0 0 10,1 ,x g x f x a 使得 成立，求 的取值范围。 4、已知定义在 R 上的函数 dcbadcxbxaxxf ,,,,)( 23 其中 是实数.（Ⅰ）若函数 )(xf 在区 间 ),3()1,(  和 上都是增函数，在区间（－1，3）上是减函数，并且 ,18)0(,7)0(  ff （1）求函数 )(xf 的表达式；（2）若 03,, 2  acbcba 满足 ，求证：函数 )(xf 是单调函数． 5、已知函数 )(xf 的定义域为 R，对任意的 21, xx 都满足 )()()( 2121 xfxfxxf  ，当 0x 时， 0)( xf . （1）判断并证明 )(xf 的单调性和奇偶性 （2）是否存在这样的实数 m，当 ]2,0[   时，使不等式 0)23(]cossin 4)cos)(sin2(2[sin  mfmf  对所有 恒成立，如存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由. 6、定义在 R 上函数 )(xf 对任意实数 x、y∈R 都有 )()()( yfxfyxf  且当 0x 时， 1)( xf (1) 证明当 0x 时，0< )(xf