数学中考冲刺练习

1 数学中考冲刺练习 1.如图，等边△ABC 的边长为 3，P 为 BC 上一点，且 BP＝1，D 为 AC 上一点， 若∠APD＝60°，则 CD 的长为（ ） A． 3 2 B． 2 3 C． 1 2 D． 3 4 2.如图，已知 O 是四边形 ABCD 内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO+∠DCO 的大小是（ ） A．70° B．110° C．140° D．150° 3.如图所示的运算程序中，若开始输入的 x 值为 48，我们发现第 1 次输出的结果为 24，第 2 次输出的结 果为 12，……第 2010 次输出的结果为_____ ______． 4.如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1 为半径的扇形，并且所有多边形的每条边长都大于 2，则第 n 个多边形中，所有扇形面积之和是 （结果保留π）. 5.邮递员小王从县城出发骑自行车去 A 村投递，途中遇到县城中学的学生李明从 A 村步行返校.小王在 A 村完成投递工作后，在返回途中又遇到李明，便用自行车载上李明一起去县城，结果小王比预计的时间 晚到了 1 分钟.两人与县城间的距离 y（km）和小王从县城出发后所用时间 x(分钟)之间的函数关系如下 图.假设两人之间交流的时间不计. (1)两人第一次相遇时距县城多远？ (2)小王从县城出发到返回县城共用多少时间？ (3)李明从 A 村到县城共用了多少时间？ 解：(1) 4 千米 (2)共有时间是 24+60+1＝85 分钟。 (3) 105 分钟。 B CO A D A D CPB 60° 输入 x 1 2 x x +3 输出 x 为偶数 x 为奇数 第 1 个 第 2 个 第 3 个 第 n 个 …… 2 6.如图①，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M，AB 边交 y 轴于点 H．动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC 方向以 2 个单位／秒的速度向终 点 C 匀速运动，图②所示为点 P 在线段 AB 上运动时，△PAC 的面积 T 与运动时间 t 之间关系的图像. （1）求点 A 的坐标直线 AC 的解析式； （2）求出点 P 在剩余时间内运动时，△PAC 的面积 T 与运动时间 t 之间关系，在图②中画出相应图像； （3）连接 BM，如图③，设△PMB 的面积为 S（S≠0），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关 系式（要求写出自变量 t 的取值范围）； （4）当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线 OP 与直线 AC 所夹锐角的正切值． 备用图 3 )(小时x )(吨y O 82 4 10 3 A B C （1）A（-3，4） …………………… 2 分 AC： 2 5 2 1  xy ……… 1 分 （2） T=20-4t …………………… 1 分 如图②所示 …………………… 1 分 7.某仓库有甲、乙、丙三辆运货车，每辆车只负责进货或出货，丙车每小时的 运输量 4 最多，乙车每小时的运输量最少，乙车每小时运 6 吨，下图是甲、乙、丙三辆运输车开始工作后，仓库 的库存量 y（吨）与工作时间 x（小时）之间的函数图像，其中 OA 段只有甲、丙两车参与运输，AB 段只 有乙、丙两车参与运输，BC 段只有甲、乙两车参与运输。 (1)甲、乙、丙三辆车中，谁是进货车？ (2)甲车和丙车每小时各运输多少吨？ (3)由于仓库接到临时通知，要求三车在 8 小时后同时开始工作，但 丙车在运送 10 吨货物后出现故障而退出，问：8 小时后，甲、乙两 车又工作了几小时，使仓库的库存量为 6 吨？ （1）乙、丙是进货车，甲是出货车。 （2）设：甲、丙两车每小时运货 x 吨和 y 吨，则                 10 8 410656 42 y x： xy xy 解得 ∴甲车和丙车每小时各运 8 吨和 10 吨。 （3）设：经过 m 小时后，库存是 6 吨，则 m(6-8)+10=-4,解得：m=7 答：甲、乙两车又工作了 7 小时，库存是 6 吨。 8.已知如图，在平面直角坐标系中有四点，坐标分别为 A(－4，3)、B(4，3)、M(0，1)、Q(1，2)，动 点 P 在线段．．AB 上，从点 A 出发向点 B 以每秒 1 个单位运动。连结 PM、PQ 并延长分别交 X 轴于 C、D 两点(如图)．设点Ｐ移动的时间为 t(秒). (1)在点 P 移动的过程中，若点 M、C、D、Q 能构成四边形，则 t 的取值范围是__________，并写出当 t=2 时，点 C 的坐标________． (2)在点 P 移动的过程中，△PMQ 可能是轴对称图形吗？若能，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不能，请 说明理由． (3)在点 P 移动的过程中，求四边形 MCDQ 的面积 S 的范围． (1)0≤t≤8，且 t≠6 点 C 的坐标为(1、0)； (2)点 P 的坐标为(－1、3)、(0、3)； (3)四边形 MCDQ 的面积 S 的范围是 0＜S≤ 2 21 ． 9.如图，正方形 ABCD 的边长为 6cm,动点 P 由点 C 出发沿折线 CB-BA-AD 向终点 D 运动，速度为 acm/s；点 5 Q 由点 B 出发，以 2 cm/s 的速度沿对角线 BD 向终点 D 运动。两点同时出发，当其中有一 个点到达终 点时另一个点也停止运动.设运动时间为 t(s). （1）若 a=3，求 PQ 所在直线与 BC 垂直时 t 的值； （2）是否存在一个大于 2 的正数 a,使得整个运动过程中，以 PQ 为直径的圆与直线 BD 相切三次？若存在， 请求 a 的值或范围；若不存在,说明理由. 10.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC、BC 的长为方程 x2－14x＋a＝0 的两根，且 AC－BC＝2，D 为 AB 的中点． （1）求 a 的值． （2）动点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位的速度，沿 A→D→C 的路线向点 C 运动；动点 Q 从点 B 出发， 以每秒 3 个单位的速度，沿 B→C 的路线向点 C 运动，且点 Q 每运动 1 秒，就停止 2 秒，然后再运 动 1 秒……若点 P、Q 同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为 t 秒． ①在整个运动过程中，设△PCQ 的面积为 S，试求 S 与 t 之间的函数关系式；并指出 t 的取值范围； ②是否存在这样的 t，使得△PCQ 为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的 t 的值；若不存在， 请说明理由． （1）∵AC、B C 的长为方程 x2－14x＋a＝0 的两根，∴AC＋BC＝14.……1 分 B C A D B C D Q P D C B A 6 又∵AC－BC＝2，∴AC＝8，BC＝6，……2 分 ∴a＝8×6＝48. ……3 分 （2）∵∠ACB＝90°，∴AB＝AC2＋BC2＝10. 又∵D 为 AB 的中点，∴CD＝12AB＝5.…………………4 分 ①当 0＜t≤1 时，S＝125t2－845t＋24；……………5 分 当 1＜t≤52 时，S＝－125t＋12；……………6 分 当 52＜t≤3 时，S＝－125t＋12；……………7 分 当 3＜t＜4 时，S＝125t2－1085t＋48.……………8 分 ②在整个运动过程中，只可能∠PQC＝90°，∴∠PQB＝90°. 当 P 在 AD 上时，若∠PQC＝90°，则求得 t＝52 秒，…………9 分 当 P 在 DC 上时，若∠PQC＝90°，则求得 t＝52 秒或 103 秒.…………10 分 ∴当 t＝52 秒或 103 秒时，△PCQ 为直角三角形.…………11 分 11.已知 A、B 两地相距 300 千米，甲、乙两车同时从 A 地出发，以各自的速度匀速往返两地．甲车先到达 B 地，停留 1 小时后按原路返回．设两车行驶的时间为 x小时，离开 A 地的距离是 y 千米，如图是 y 与 x 的函数图象. （1）计算甲、乙两车的速度； (2) 几小时后两车相遇； (3) 在从开始出发到两车相遇的过程中，设两车之间 的距离为 s千米，乙车行驶的时间为t 小时， 求S与t之间的函数关系式． （1）甲车速度为 100 千米/小时，乙车速度为 60 千米/小时 (2) 小时两车相遇 (3)当 时， ，当 时， ，当 时， 12.如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（－2，1），B 点在 x 轴负半轴上，且∠ABO＝45°，将△OAB 绕点 O 顺时针旋转 90°，使 A 点到达 A’点，B 点到达 B’点． (1)求 A’，B’两点的坐标； (2)求经过 B，B’，A’三点的抛物线的解析式； (3)以原点 O 为位似中心把线段 AB 放大(或缩小)，使经过位似变换后的点 A 落在(2)中的抛物线上，求 变换后的线段的长； (4)若点 P 是 y 轴右侧的抛物线上一点，Q 是 y 轴上一点，且△B'PQ∽△OA'B’，请求出 P，Q 两点坐标． (1)A’(1，2)，B’(0，3) 4 5 300 x （小时） y （千米） O 7 (2) 32 1 2 1 2  xxy (3)可设位似变换后的点 A”的坐标为（－2k，k）或者（2k，－k）， 代入抛物线解析式 32 1 2 1 2  xxy 中，求得 2 6k ， ∴A”B”＝ 32 6222  ky A ， 所以变换后的线段长为 3 (4)∵△B'PQ∽△OA'B’，∴∠OB'A’＝∠B'QP＝45°， 作 PE⊥EQ，设 P（m， 32 1 2 1 2  mm ）， 则 Q（0， 32 1 2 1 2  mm ）， ∵△B'PQ∽△OA'B’， ∴ BA PQ BO QB   ，得方程 2 2 3 )32 3 2 1(3 2 mmm   ， 解得 m1＝0（舍去），m2=3，可得 P（3，－3），Q（0，－6） 13.小张骑车往返于甲、乙两地，距甲地的路程 y（千米）与时间 x（时）的函数图象如图所示． （1）小张在路上停留_________小时，他从乙地返回时骑车的速度为________千米/时； （2）小李与小张同时从甲地出发，按相同路线匀速前往乙地，到乙地停止．．．途中小李与小张共相遇 3 次．请在图中．．画出小李距甲地的路程 y（千米）与时间 x（时）的函数的大致图象； （3）小王与小张同时出发，按相同路线匀速前往乙地，距甲地的路程 y（千米）与时间 x（时）的函 数关系式为 y=12x+10．小王与小张在途中共相遇几次？请你计算第一次相遇的时间． （1）1，30． （2）所画图象如图所示．（要求图象能正确反映起点与终点）． （3）由函数 12 10y x  的图象可知，小王与小张在途中共相遇 2 次，并在出发后 2 小时到 4 小时之间第一次相遇， 8 当 2 4x≤ ≤ 时， 20 20y x  ． 由 20 20 12 10 y x y x      ， ，得．所以第一次相遇的时间为 15 4 小时. 14.如图，在平面直角坐标系中，两个函数 62 1,  xyxy 的图象交于点 A。动点 P 从点 O 开始沿 OA 方向以每秒 1 个单位的速度运动，作 PQ∥x 轴交直线 BC 于点 Q，以 PQ 为一边向下作正方形 PQMN，设 它与△OAB 重叠部分的面积为 S。 （1）求点 A 的坐标。（2 分） （2）试求出点 P 在线段 OA 上运动时，S 与运动时间 t（秒）的关系式。（4 分） （3）在（2）的条件下，S 是否有最大值？若有，求出 t 为何值时，S 有最大值，并求出最大值；若没 有，请说明理由。（2 分） （4）若点 P 经过点 A 后继续按原方向、原速度运动，当正方形 PQMN 与△OAB 重叠部分面积最大时，运动时间 t 满足的条 件是____________。（2 分） 解：（1）由      ,62 1 , xy xy 可得      .4 ,4 y x ∴A（4，4）。 （2）点 P 在 y = x 上，OP = t，则点 P 坐标为 ).2 2,2 2( tt 点 Q 的纵坐标为 t2 2 ，并且点 Q 在 62 1  xy 上。 ∴ txxt 212,62 1 2 2  ，即点 Q 坐标为 )2 2,212( tt 。 tPQ 2 2312  。 当 tt 2 2 2 2312  时， 23t 。当 时230 ＜t ， .262 3)2 2312(2 2 2 ttttS  当点 P 到达 A 点时， 24t ， 当 2423 ＜t＜ 时， 2)2 2312( tS  1442362 9 2  tt 。 9 （3）有最大值，最大值应在 230 ＜t 中， ,12)22(2 312)824(2 3262 3 222  tttttS 当 22t 时，S 的最大值为 12。 （8 分） （4） 212t 。 （10 分） 15.甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车．已知每隔 2 h 有一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙 城．如图，OA 是第一列动车组列车离开甲城的路程 s（km）与运行时间 t（h）的函数图象，BC 是一列 从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程 s（km）与运行时间 t（h）的函数图象．请根据图中的信息， 解答下列问题： （1）从图象看，普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间 1 h(填”早”或”晚”)， 点 B 的纵坐标 600 的实际意义是 ； （2）请直接在图中画出第二列动车组列车离开甲城的路程 s（km）与时间 t（h）的函数图象； （3）若普通快车的速度为 100 km/h， ①求 BC 的表达式，并写出自变量的取值范围； ②第二列动车组列车出发多长时间后与普通快车相遇？ ③请直接写出这列普通快车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的时间间隔． （1）晚 0.5，甲、乙两城相距 300km． （2）如图 4： （3）①设直线 BC 的解析式为 s kt b  ． ∵ (0.5 300)B ， ， (3.5 0)C ， ， ∴ 3.5 0 0.5 300 k b k b      解得 100 350 k b     ． ∴ 100 350s t   ．自变量 t 的取值范围是 0.5≤t≤3.5． ②解法 1：设直线 MN 的解析式为 1 1s k t b  ． ∵ (1 0)M ， ， (3 300)N ， ， ∴ 150 150s t  ． AB C M O 2 4 61 200 400 600 s/km t/h 10 ∴150 150 100 350t t    ．解得 2t  ． ∴ 2 1 1  ． 解法 2：设第二列动车组列车出发 x 小时后与普通列车相遇，根据图中信息，得150 100( 0.5) 300x x   ． 解得 1x  ． 答：第二列动车组列车发车 1 小时后与普通快车相遇． ③ 3 5 小时（或 36 分钟）．