绝密★启用前
202l 年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）
文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．设集合 {1,3,5,7,9}, 2 7M N x x ，则 M N
A． 7,9 B． 5,7,9 C． 3,5,7,9 D． 1,3,5,7,9
2．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得
到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是
A．该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6%
B．该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间
3．已知 2(1 i) 3 2iz ，则 z
A． 31 i2
B． 31 i2
C． 3 i2
D． 3 i2
4．下列函数中是增函数的为
A． f x x B． 2
3
x
f x C． 2f x x D． 3f x x
5．点 3,0 到双曲线
2 2
116 9
x y 的一条渐近线的距离为
A． 9
5
B． 8
5
C． 6
5
D． 4
5
6．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录
视力数据，五分记录法的数据 L 和小数记录法的数据 V 满足 5 lgL V ．已知某同学视力的五分记录法的
数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（ 10 10 1.259 ）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
7．在一个正方体中，过顶点 A 的三条棱的中点分别为 E，F，G．该正方体截去三棱锥 A EFG 后，所得
多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是
A． B． C． D．
8．在 ABC△ 中，已知 120B ， 19AC ， 2AB ，则 BC
A．1 B． 2 C． 5 D．3
9．记 nS 为等比数列 na 的前 n 项和．若 2 4S ， 4 6S ，则 6S
A．7 B．8 C．9 D．10
10．将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
11．若 cos0, ,tan 22 2 sin
，则 tan
A． 15
15 B． 5
5 C． 5
3 D． 15
3
12．设 f x 是定义域为 R 的奇函数，且 1f x f x ．若 1 1
3 3f
，则 5
3f
A． 5
3
B． 1
3
C． 1
3
D． 5
3
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．若向量 ,a b 满足 3, 5, 1 a a b a b ，则 b _________．
14．已知一个圆锥的底面半径为 6，其体积为 30 ，则该圆锥的侧面积为________．
15．已知函数 2cosf x x 的部分图像如图所示，则
2f
_______________．
16．已知 1 2,F F 为椭圆 C：
2 2
116 4
x y 的两个焦点，P，Q 为 C 上关于坐标原点对称的两点，且 1 2PQ F F ，
则四边形 1 2PFQF 的面积为________．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（12 分）
甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用
两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
，
2P K k
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18．（12 分）
记 nS 为数列 na 的前 n 项和，已知 2 10, 3n aa a ，且数列 nS 是等差数列，证明： na 是等差数列．
19．（12 分）
已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，侧面 1 1AAB B 为正方形， 2AB BC ，E，F 分别为 AC 和 1CC 的中点，
1 1BF A B ．
（1）求三棱锥 F EBC 的体积；
（2）已知 D 为棱 1 1A B 上的点，证明： BF DE ．
20．（12 分）
设函数 2 2( ) 3ln 1f x a x ax x ，其中 0a ．
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）若 y f x 的图像与 x 轴没有公共点，求 a 的取值范围．
21．（12 分）
抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： 1x 交C于P，Q两点，且OP OQ ．已知点 2,0M ，
且 M 与 l 相切．
（1）求 C， M 的方程；
（2）设 1 2 3, ,A A A 是 C 上的三个点，直线 1 2A A ， 1 3A A 均与 M 相切．判断直线 2 3A A 与 M 的位置关系，
并说明理由．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第
一题计分．
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
2 2 cos ．
（1）将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点 A 的直角坐标为 1,0 ，M 为 C 上的动点，点 P 满足 2AP AM ，写出 P 的轨迹 1C 的参数方
程，并判断 C 与 1C 是否有公共点．
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 ( ) 2 , ( ) 2 3 2 1f x x g x x x ．
（1）画出 y f x 和 y g x 的图像；
（2）若 f x a g x ，求 a 的取值范围．
微信/支付宝扫码支付