绝密★启用前
2021 年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）
理科数学
注意事项:
1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷上
无效．
3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．设集合 10 4 , 53M xx x N x
，则 M N （ ）
A． 10 3x x
B． 1 43x x
C． 4 5x x D． 0 5x x
2．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得
到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于 4.5 万元的农户比率估计为 6%
B．该地农户家庭年收入不低于 10.5 万元的农户比率估计为 10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过 6.5 万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于 4.5 万元至 8.5 万元之间
3．已知 2(1 i) 3 2iz ，则 z （ ）
A． 31 i2
B． 31 i2
C． 3 i2
D． 3 i2
4．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录
视力数据，五分记录法的数据 L 和小数记录法的数据 V 的满足 5 lgL V ．已知某同学视力的五分记录法
的数据为 4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ 10 10 1.259 ）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
5．已知 1 2,F F 是双曲线 C 的两个焦点，P 为 C 上一点，且 1 2 1 260 , 3F PF PF PF ，则 C 的离心率为
（ ）
A． 7
2 B． 13
2 C． 7 D． 13
6．在一个正方体中，过顶点 A 的三条棱的中点分别为 E，F，G．该正方体截去三棱锥 A EFG 后，所得
多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是（ ）
A． B． C． D．
7．等比数列 na 的公比为 q，前 n 项和为 nS ，设甲： 0q ，乙： nS 是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．2020 年 12 月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86（单位：m），三角高程测量
法是珠峰高程测量方法之一．右图是三角高程测量法的一个示意图，现有 A，B，C 三点，且 A，B，C 在同
一水平面上的投影 , ,A B C 满足 45AC B ， 60A B C ．由 C 点测得 B 点的仰角为15，BB 与
CC 的差为 100；由 B 点测得 A 点的仰角为 45 ，则 A，C 两点到水平面 A B C 的高度差 AA CC 约为
（ 3 1.732 ）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
9．若 π cos0, ,tan 22 2 sin
，则 tan （ ）
A． 15
15 B． 5
5 C． 5
3 D． 15
3
10．将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为（ ）
A． 1
3 B． 2
5 C． 2
3 D． 4
5
11．已如 A，B，C 是半径为 1 的球 O 的球面上的三个点，且 , 1AC BC AC BC ，则三棱锥O ABC
的体积为（ ）
A． 2
12 B． 3
12 C． 2
4 D． 3
4
12 ． 设 函 数 f x 的 定 义 域 为 R ， 1f x 为 奇 函 数 ， 2f x 为 偶 函 数 ， 当 1,2x 时 ，
2( )f x ax b ．若 0 3 6f f ，则 9
2f
（ ）
A． 9
4
B． 3
2
C． 7
4 D． 5
2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．曲线 2 1
2
xy x
在点 1, 3 处的切线方程为__________．
14．已知向量 3,1 , 1,0 , k a b c a b ．若 a c ，则 k ________．
15．已知 1 2,F F 为椭圆 C：
2 2
116 4
x y 的两个焦点，P，Q 为 C 上关于坐标原点对称的两点，且 1 2PQ F F ，
则四边形 1 2PFQF 的面积为________．
16 ． 已 知 函 数 2cos( )f x x 的 部 分 图 像 如 图 所 示 ， 则 满 足 条 件
7 4( ) ( ) 04 3f x f f x f
的最小正整数 x 为________．
三、解答题：共 70 分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（12 分）
甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用
两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
2P K k 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18．（12 分）
已知数列 na 的各项均为正数，记 nS 为 na 的前 n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一
个成立．
①数列 na 是等差数列：②数列 nS 是等差数列；③ 2 13a a ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
19．（12 分）
已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，侧面 1 1AA B B 为正方形， 2AB BC ，E，F 分别为 AC 和 1CC 的中点，
D 为棱 1 1A B 上的点， 1BF A B ．
（1）证明： BF DE ；
（2）当 1B D 为何值时，面 1 1BB C C 与面 DFE 所成的二面角的正弦值最小?
20．（12 分）
抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： 1x 交C于P，Q两点，且OP OQ ．已知点 2,0M ，
且 M 与 l 相切．
（1）求 C， M 的方程；
（2）设 1 2 3, ,A A A 是 C 上的三个点，直线 1 2A A ， 1 3A A 均与 M 相切．判断直线 2 3A A 与 M 的位置关系，
并说明理由．
21．（12 分）
已知 0a 且 1a ，函数 ( ) ( 0)
a
x
xf x xa
．
（1）当 2a 时，求 f x 的单调区间；
（2）若曲线 y f x 与直线 1y 有且仅有两个交点，求 a 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第
一题计分．
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
2 2 cos ．
（1）将 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点 A 的直角坐标为 1,0 ，M 为 C 上的动点，点 P 满足 2AP AM ，写出 P 的轨迹 1C 的参数方
程，并判断 C 与 1C 是否有公共点．
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 ( ) 2 , ( ) 2 3 2 1f x x g x x x ．
（1）画出 y f x 和 y g x 的图像；
（2）若 f x a g x ，求 a 的取值范围．
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