绝密★启用前
2021 年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．设 2( ) 3(2 ) 4 6iz z z ，则 z （ ）
A．1 2i B．1 2i C．1 i D．1 i
2．已知集合 2 1,S s s n n Z ， 4 1,T t t n n Z ，则 S T （ ）
A． B． S C．T D． Z
3．已知命题 :p x R ，sin 1x ；命题 :q x R ， | |e 1x ，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． p q B． p q C． p q D． ( )p q
4．设函数 1( ) 1
xf x x
，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． ( 1) 1f x B． ( 1) 1f x C． ( 1) 1f x D． ( 1) 1f x
5．在正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 中， P 为 1 1B D 的中点，则直线 PB 与 1AD 所成的角为（ ）
A．
2
B．
3
C．
4
D．
6
6．将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训，每名志愿者只分
配到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60 种 B．120 种 C．240 种 D．480 种
7．把函数 ( )y f x 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 1
2
倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移
3
个
单位长度，得到函数 sin 4y x
的图像，则 ( )f x （ ）
A． 7sin 2 12
x
B．sin 2 12
x
C． 7sin 2 12x
D．sin 2 12x
8．在区间 (0,1) 与 (1,2) 中各随机取 1 个数，则两数之和大于 7
4
的概率为（ ）
A． 7
9
B． 23
32
C． 9
32
D． 2
9
9．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点 E ，
H ，G 在水平线 AC 上，DE 和 FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称
为“表距”，GC 和 EH 都称为“表目距”，GC 与 EH 的差称为“表目距的差”，则海岛的高 AB （ ）
A． 表高 表距 表高表目距的差 B． 表高 表距 表高表目距的差
C． 表高 表距 表距表目距的差 D． 表高 表距 -表距表目距的差
10．设 0a ，若 x a 为函数 2( ) ( ) ( )f x a x a x b 的极大值点，则（ ）
A． a b B． a b C． 2ab a D． 2ab a
11．设 B 是椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的上顶点，若 C 上的任意一点 P 都满足| | 2PB b ，则 C 的离
心率的取值范围是（ ）
A． 2 ,12
B． 1 ,12
C． 20, 2
D． 10, 2
12．设 2ln1.01a ， ln1.02b ， 1.04 1c ．则（ ）
A． a b c B．b c a C．b a c D． c a b
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知双曲线
2
2: 1( 0)xC y mm
的一条渐近线为 3 0x my ，则 C 的焦距为_________．
14．已知向量 1,3 , 3,4a b ，若 ( )a b b ，则 __________．
15．记 ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，面积为 3 ， 60B ， 2 2 3a c ac ，则 b ________．
16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所
选侧视图和俯视图的编号依次为___________（写出符合要求的一组答案即可）．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（12 分）
某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台
新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 x 和 y ，样本方差分别记为 2
1s 和 2
2s ．
（1）求 2 2
1 2, , ,x y s s ﹔
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果
2 2
1 22 10
s sy x ，则认为
新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
18．（12 分）
如图，四棱锥 P ABCD 的底面是矩形， PD 底面 ABCD ， 1PD DC ，M 为 BC 的中点，且
PB AM ．
（1）求 BC ，
（2）求二面角 A PM B 的正弦值．
19．（12 分）
记 nS 为数列 na 的前 n 项和， nb 为数列 nS 的前 n 项积，已知 2 1 2
n nS b
．
（1）证明：数列 nb 是等差数列;
（2）求 na 的通项公式．
20．（12 分）
设函数 lnf x a x ，已知 0x 是函数 y xf x 的极值点．
（1）求 a；
（2）设函数 ( )( ) ( )
x f xg x xf x
．证明: 1g x ．
21．（12 分）
已知抛物线 2: 2 0C x py p 的焦点为 F，且 F 与圆 2 2: ( 4) 1M x y 上点的距离的最小值为 4．
（1）求 p；
（2）若点 P 在 M 上， ,PA PB 是 C 的两条切线， ,A B 是切点，求 PAB 面积的最大值．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中， C 的圆心为 2,1C ，半径为 1．
（1）写出 C 的一个参数方程；
（2）过点 4,1F 作 C 的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线
的极坐标方程．
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 3f x x a x ．
（1）当 1a 时，求不等式 6f x 的解集；
（2）若 f x a ，求 a 的取值范围．
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