2021重庆市中考数学真题A卷（解析版）

2021 年重庆市中考数学试卷（A 卷） 一、选择题：（本大题 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了代 号 A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所 对应的方框涂黑. 1．2 的相反数是（ ） A．﹣2 B．2 C． D． 2．计算 3a6÷a 的结果是（ ） A．3a6 B．2a5 C．2a6 D．3a5 3．不等式 x≤2 在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，△ABC 与△DEF 位似，点 O 是它们的位似中心，则△ABC 与△DEF 的周长之比 是（ ） A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9 5．如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙ O，若∠A＝80°（ ） A．80° B．100° C．110° D．120° 6．计算 × ﹣ 的结果是（ ） A．7 B．6 C．7 D．2 7．如图，点 B，F，C，E 共线，BF＝EC，添加一个条件（ ） A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD 8．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面 20m 高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上 升 10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度 y（单位：m）（单位：s）之间的 关系如图所示．下列说法正确的是（ ） A．5s 时，两架无人机都上升了 40m B．10s 时，两架无人机的高度差为 20m C．乙无人机上升的速度为 8m/s D．10s 时，甲无人机距离地面的高度是 60m 9．如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，连接 OM，过点 O 作 ON⊥OM，则 AB 的长为（ ） A．1 B． C．2 D．2 10．如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站 MA 和 ND．甲在山脚点 C 处 测得通信基站顶端 M 的仰角为 60°；乙在另一座山脚点 F 处测得点 F 距离通信基站 ND 的水平距离 FE 为 50m，测得山坡 DF 的坡度 i＝1：1.25．若 ND＝ ，点 C，B，E，F 在同一水平线上（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）（ ） A．9.0m B．12.8m C．13.1m D．22.7m 11．若关于 x 的一元一次不等式组 的解集为 x≥6，且关于 y 的分式方程 + ，则所有满足条件的整数 a 的值之和是（ ） A．5 B．8 C．12 D．15 12．如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 D 在第二象限，AB∥x 轴，AO⊥AD， 垂足为 E，DE＝4CE．反比例函数 y＝ （x＞0），与边 AB 交于点 F，连接 OE，EF．若 S△EOF＝ ，则 k 的值为（ ） A． B． C．7 D． 二、填空题：（本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）请将每小题的答案直接填在答题 卡中对应的横线上. 13．计算：|3|﹣（ π ﹣1）0＝ ． 14．在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片的正面分别标有数字﹣1，0，1，3．把四 张卡片背面朝上，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数 字之积为负数的概率是 ． 15．若关于 x 的方程 +a＝4 的解是 x＝2，则 a 的值为 ． 16．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，C 为圆心，AO 长为半径画弧，CD 于 点 E，F．若 BD＝4，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留 π ） 17．如图，三角形纸片 ABC 中，点 D，E，AC，BC 上，CF＝6，将这张纸片沿直线 DE 翻 折，AF＝EF，则四边形 ADFE 的面积为 ． 18．某销售商五月份销售 A、B、C 三种饮料的数量之比为 3：2：4，A、B、C 三种饮料的 单价之比为 1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作 了适当的调整，A 饮料增加的销售额占六月份销售总额的 ，B、C 饮料增加的销售额 之比为 2：1．六月份 A 饮料单价上调 20%且 A 饮料的销售额与 B 饮料的销售额之比为 2： 3 ． 三、解答题：（本大题 7 个小题，每小题 10 分，共 70 分）解答时每小题必须给出必要的演 算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）.请将解答过程书写在答题卡中对应的 位置上. 19．（10 分）计算： （1）（x﹣y）2+x（x+2y）； （2）（1﹣ ）÷ ． 20．（10 分）“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况（单位：kg），进行 整理和分析（餐厨垃圾质量用 x 表示，共分为四个等级：A．x＜1，B.1≤x＜1.5，C.1.5 ≤x＜2，D．x≥2），下面给出了部分信息． 七年级 10 个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，1.1，1.1，1.7，1.9 八年级 10 个班的餐厨垃圾质量中 B 等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.2． 七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 A 等级所占百 分比 七年级 1.3 1.1 a 0.26 40% 八年级 1.3 b 1.0 0.23 m% 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中 a，b，m 的值； （2）该校八年级共 30 个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合 A 等级的班级数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请 说明理由（写出一条理由即可）． 21．如图，在▱ ABCD 中，AB＞AD． （1）用尺规完成以下基本作图：在 AB 上截取 AE，使 AE＝AD；作∠BCD 的平分线交 AB 于点 F．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，连接 DE 交 CF 于点 P，并证明你的结论． 22．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究 函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数 y＝ ，请按要求完成下列各小题． （1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象； x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y＝ … ﹣ ﹣ ﹣ 0 4 0 … （2）请根据这个函数的图象，写出该函数的―条性质； （3）已知函数 y＝﹣ x+3 的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式﹣ 的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过 0.2） 23．某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产 A 产品，乙车间生产 B 产品，1 件 A 产品与 1 件 B 产品售价和为 500 元． （1）A、B 两种产品的销售单价分别是多少元？ （2）随着 5G 时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工 业互联网将乙车间改造为专供用户定制 B 产品的生产车间．预计 A 产品在售价不变的情 况下产量将在去年的基础上增加 a%，但 B 产品的销售单价将提高 3a%．则今年 A、B 两 种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加 a%．求 a 的值． 24．如果一个自然数 M 的个位数字不为 0，且能分解成 A×B，其中 A 与 B 都是两位数，个 位数字之和为 10，则称数 M 为“合和数”，称为“合分解”． 例如∵609＝21×29，21 和 29 的十位数字相同，个位数字之和为 10， ∴609 是“合和数”． 又如∵234＝18×13，18 和 13 的十位数相同，但个位数字之和不等于 10， ∴234 不是“合和数”． （1）判断 168，621 是否是“合和数”？并说明理由； （2）把一个四位“合和数”M 进行“合分解”，即 M＝A×B．A 的各个数位数字之和与 B 的各个数位数字之和的和记为 P（M）；A 的各个数位数字之和与 B 的各个数位数字之 和的差的绝对值记为 Q（M）（M）＝ ，当 G（M）能被 4 整除时 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2+bx+c 经过 A（0，﹣1），B（4，1）．直线 AB 交 x 轴于点 C，P 是直线 AB 下方抛物线上的一个动点．过点 P 作 PD⊥AB，PE∥x 轴，交 AB 于点 E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当△PDE 的周长取得最大值时，求点 P 的坐标和△PDE 周长的最大值； （3）把抛物线 y＝x2+bx+c 平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点 P．M 是新抛 物线上一点，直接写出所有使得以点 A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形的点 M 的坐标 四、解答题：（本大题 1 个小题，共 8 分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画 出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 26．（8 分）在△ABC 中，AB＝AC，D 是边 BC 上一动点，将 AD 绕点 A 逆时针旋转至 AE 的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°． （1）如图 1，当∠BAC＝90°时，连接 BE，BD＝2，求 AF 的长； （2）如图 2，连接 BE，取 BE 的中点 G，并证明你的猜想； （3）如图 3，在（2）的条件下，连接 DG，当 BD＞CD，∠AEC＝150°时 的值． 2021 年重庆市中考数学试卷（A 卷） 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了代 号 A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所 对应的方框涂黑. 1．2 的相反数是（ ） A．﹣2 B．2 C． D． 【分析】根据相反数的表示方法：一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号． 【解答】解：2 的相反数是﹣2． 故选：A． 2．计算 3a6÷a 的结果是（ ） A．3a6 B．2a5 C．2a6 D．3a5 【分析】直接利用单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式； 对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式，计算得出答案． 【解答】解：3a6÷a＝2a5． 故选：D． 3．不等式 x≤2 在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【分析】先在数轴上找出表示数 2 的点，再向数轴的负方向画出即可． 【解答】解：不等式 x≤2 的解集在数轴上表示为： ， 故选：D． 4．如图，△ABC 与△DEF 位似，点 O 是它们的位似中心，则△ABC 与△DEF 的周长之比 是（ ） A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9 【分析】根据位似图形的概念得到 BC∥EF，进而证明△OBC∽△OEF，根据相似三角形 的性质解答即可． 【解答】解：∵△ABC 与△DEF 位似， ∴△ABC∽△DEF，BC∥EF， ∴△OBC∽△OEF， ∴ ＝ ＝ ，即△ABC 与△DEF 的相似比为 3：2， ∴△ABC 与△DEF 的周长之比为 1：2， 故选：A． 5．如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙ O，若∠A＝80°（ ） A．80° B．100° C．110° D．120° 【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，再代入求出答案即可． 【解答】解：∵四边形 ABCD 内接于 ⊙ O， ∴∠A+∠C＝180°， ∵∠A＝80°， ∴∠C＝100°， 故选：B． 6．计算 × ﹣ 的结果是（ ） A．7 B．6 C．7 D．2 【分析】根据二次根式的乘法法则和减法法则运算． 【解答】解：原式＝ × ﹣ ＝ × × ﹣ ＝2 ﹣ ＝2 ． 故选：B． 7．如图，点 B，F，C，E 共线，BF＝EC，添加一个条件（ ） A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD 【分析】根据全等三角形的判定方法，可以判断添加各个选项中的条件是否能够判断△ ABC≌△DEF，本题得以解决． 【解答】解：∵BF＝EC， ∴BF+FC＝EC+FC， ∴BC＝EF， 又∵∠B＝∠E， ∴当添加条件 AB＝DE 时，△ABC≌△DEF（SAS）； 当添加条件∠A＝∠D 时，△ABC≌△DEF（AAS）； 当添加条件 AC＝DF 时，无法判断△ABC≌△DEF； 当添加条件 AC∥FD 时，则∠ACB＝∠DFE，故选项 D 不符合题意； 故选：C． 8．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面 20m 高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上 升 10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度 y（单位：m）（单位：s）之间的 关系如图所示．下列说法正确的是（ ） A．5s 时，两架无人机都上升了 40m B．10s 时，两架无人机的高度差为 20m C．乙无人机上升的速度为 8m/s D．10s 时，甲无人机距离地面的高度是 60m 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即 可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【解答】解：由图象可得， 5s 时，甲无人机上升了 40m，故选项 A 错误； 甲无人机的速度为：40÷5＝7（m/s），乙无人机的速度为：（40﹣20）÷5＝4（m/s）； 则 10s 时，两架无人机的高度差为：（8×10）﹣（20+4×10）＝20（m）； 10s 时，甲无人机距离地面的高度是 8×10＝80（m）； 故选：B． 9．如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，连接 OM，过点 O 作 ON⊥OM，则 AB 的长为（ ） A．1 B． C．2 D．2 【分析】根据正方形的性质，可以得到△DOM≌△CON，然后即可发现四边形 MOND 的面积等于△DOC 的面积，从而可以求得正方形 ABCD 的面积，从而可以求得 AB 的长． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC， ∴∠DON+∠CON＝90°， ∵ON⊥OM， ∴∠MON＝90°， ∴∠DON+∠DOM＝90°， ∴∠DOM＝∠CON， 在△DOM 和△CON 中， ， ∴△DOM≌△CON（ASA）， ∵四边形 MOND 的面积是 1，四边形 MOND 的面积＝△DOM 的面积+△DON 的面积， ∴四边形 MOND 的面积＝△CON 的面积+△DON 的面积＝△DOC 的面积， ∴△DOC 的面积是 1， ∴正方形 ABCD 的面积是 8， ∵AB2＝4， ∴AB＝8， 故选：C． 10．如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站 MA 和 ND．甲在山脚点 C 处 测得通信基站顶端 M 的仰角为 60°；乙在另一座山脚点 F 处测得点 F 距离通信基站 ND 的水平距离 FE 为 50m，测得山坡 DF 的坡度 i＝1：1.25．若 ND＝ ，点 C，B，E，F 在同一水平线上（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）（ ） A．9.0m B．12.8m C．13.1m D．22.7m 【分析】根据正切的定义求出 MB，根据坡度的概念求出 DE，进而求出 ND，结合图形 计算，得到答案． 【解答】解：在 Rt△MCB 中，∠MCB＝60°，tan∠MCB＝ ， ∴MB＝CB•tan∠MCB＝30× ≈51.9（m）， ∵山坡 DF 的坡度 i＝3：1.25，EF＝50m， ∴DE＝40（m）， ∵ND＝ DE， ∴ND＝25（m）， ∴两个通信基站顶端 M 与顶端 N 的高度差＝40+25﹣51.9＝13.1（m）， 故选：C． 11．若关于 x 的一元一次不等式组 的解集为 x≥6，且关于 y 的分式方程 + ，则所有满足条件的整数 a 的值之和是（ ） A．5 B．8 C．12 D．15 【分析】解出一元一次不等式组的解集，根据不等式组的解集为 x≥6，列出不等式，求 出 a 的范围；解出分式方程的解，根据方程的解是正整数，列出不等式，求得 a 的范围； 检验分式方程，列出不等式，求得 a 的范围；综上所述，得到 a 的范围，最后根据方程 的解是正整数求得满足条件的整数 a 的值，求和即可． 【解答】解： ， 解不等式①得：x≥6， 解不等式②得：x＞ ， ∵不等式组的解集为 x≥6， ∴ 6， ∴a＜7； 分式方程两边都乘（y﹣8）得：y+2a﹣3y+7＝2（y﹣1）， 解得：y＝ ， ∵方程的解是正整数， ∴ ＞0， ∴a＞﹣5； ∵y﹣3≠0， ∴ 1， ∴a≠﹣3， ∴﹣5＜a＜7，且 a≠﹣3， ∴能使 是正整数的 a 是：﹣1，8，3，5， ∴和为 2， 故选：B． 12．如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 的顶点 D 在第二象限，AB∥x 轴，AO⊥AD， 垂足为 E，DE＝4CE．反比例函数 y＝ （x＞0），与边 AB 交于点 F，连接 OE，EF．若 S△EOF＝ ，则 k 的值为（ ） A． B． C．7 D． 【分析】延长 EA 交 x 轴于点 G，过点 F 作 FH⊥x 轴于点 H，AB∥x 轴，AE⊥CD，AB ∥CD，可得 AG⊥x 轴；利用 AO⊥AD，AO＝AD 可得△ADE≌△OAG，得到 DE＝AG， AE＝OG；利用 DE＝4CE，四边形 ABCD 是菱形，可得 AD＝CD＝ DE．设 DE＝4a， 则 AD＝OA＝5a，由勾股定理可得 EA＝3a，EG＝AE+AG＝7a，可得 E 点坐标为（3a， 7a），所以 k＝21a2．由于 AGHF 为矩形，FH＝AG＝4a，可得点 F 的坐标为（ ，4a）， 这样 OH＝ a，GH＝OH﹣OG＝ ；利用 S△OEF＝S△OEG+S 梯形 EGHF﹣S△OFH，列出关 于 a 的方程，求得 a 的值，k 的值可求． 【解答】解：延长 EA 交 x 轴于点 G，过点 F 作 FH⊥x 轴于点 H， ∵AB∥x 轴，AE⊥CD， ∴AG⊥x 轴． ∵AO⊥AD， ∴∠DAE+∠OAG＝90°． ∵AE⊥CD， ∴∠DAE+∠D＝90°． ∴∠D＝∠OAG． 在△DAE 和△AOG 中， ． ∴△DAE≌△AOG（AAS）． ∴DE＝AG，AE＝OG． ∵四边形 ABCD 是菱形，DE＝4CE， ∴AD＝CD＝ DE． 设 DE＝4a，则 AD＝OA＝5a． ∴OG＝AE＝ ． ∴EG＝AE+AG＝3a． ∴E（3a，7a）． ∵反比例函数 y＝ （x＞4）的图象经过点 E， ∴k＝21a2． ∵AG⊥GH，AH⊥GH， ∴四边形 AGHF 为矩形． ∴HF＝AG＝4a． ∵点 F 在反比例函数 y＝ （x＞7）的图象上， ∴y＝ ． ∴F（ ）． ∴OH＝ a． ∴GH＝OH﹣OG＝ ． ∵S△OEF＝S△OEG+S 梯形 EGHF﹣S△OFH，S△EOF＝ ， ∴ ． × × ﹣ ＝ ． 解得：a2＝ ． ∴k＝21a2＝21× ＝ ． 故选：A． 二、填空题：（本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）请将每小题的答案直接填在答题 卡中对应的横线上. 13．计算：|3|﹣（ π ﹣1）0＝ 2 ． 【分析】首先计算零指数幂和绝对值，然后计算减法，求出算式的值即可． 【解答】解：|3|﹣（ π ﹣1）5 ＝3﹣1 ＝7． 故答案为：2． 14．在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片的正面分别标有数字﹣1，0，1，3．把四 张卡片背面朝上，记下数字且放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数 字之积为负数的概率是 ． 【分析】画树状图，共有 16 种等可能的结果，两次抽取卡片上的数字之积为负数的结果 有 4 种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如图： 共有 16 种等可能的结果，两次抽取卡片上的数字之积为负数的结果有 4 种， ∴两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率为 ＝ ， 故答案为： ． 15．若关于 x 的方程 +a＝4 的解是 x＝2，则 a 的值为 3 ． 【分析】把 x＝2 代入方程 +a＝4 得出 +a＝4，再求出方程的解即可． 【解答】解：把 x＝2 代入方程 +a＝4 得： ， 解得：a＝3， 故答案为：2． 16．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，C 为圆心，AO 长为半径画弧，CD 于 点 E，F．若 BD＝4，则图中阴影部分的面积为 π ．（结果保留 π ） 【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形 AEO 和扇形 CFO 的面积之和． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC＝BD＝4，OA＝OC＝OB＝OD ∴OA＝OC＝2，∠ACD＝∠CAB＝36°， ∴图中阴影部分的面积为：4× ＝ π ， 故答案为： π ． 17．如图，三角形纸片 ABC 中，点 D，E，AC，BC 上，CF＝6，将这张纸片沿直线 DE 翻 折，AF＝EF，则四边形 ADFE 的面积为 5 ． 【分析】由沿直线 DE 翻折，点 A 与点 F 重合可知：DE 垂直平分 AF，因为 DE∥BC， 所以 DE 为△ABC 的中位线，DE＝ BC＝5；由折叠可得 AE＝EF，因为 AF＝EF，可得 △AEF 为等边三角形，∠FAC＝60°；在 Rt△AFC 中，解直角三角形可得 AF 的长，四 边形 ADFE 的面积为 DE×AF，结论可得． 【解答】解：∵纸片沿直线 DE 翻折，点 A 与点 F 重合， ∴DE 垂直平分 AF． ∴AD＝DF，AE＝EF． ∵DE∥BC， ∴DE 为△ABC 的中位线． ∴DE＝ BC＝ （4+6）＝6． ∵AF＝EF， ∴△AEF 为等边三角形． ∴∠FAC＝60°． 在 Rt△AFC 中， ∵tan∠FAC＝ ， ∴AF＝ ＝2 ． ∴四边形 ADFE 的面积为： DE×AF＝ ＝5 ． 故答案为：5 ． 18．某销售商五月份销售 A、B、C 三种饮料的数量之比为 3：2：4，A、B、C 三种饮料的 单价之比为 1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作 了适当的调整，A 饮料增加的销售额占六月份销售总额的 ，B、C 饮料增加的销售额 之比为 2：1．六月份 A 饮料单价上调 20%且 A 饮料的销售额与 B 饮料的销售额之比为 2： 3 9：10 ． 【分析】根据三种饮料的数量比、单价比，可以按照比例设未知数，即五月份 A、B、C 三种饮料的销售的数量和单价分别为 3a、2a、4a；b、2b、b．可以表示出五月份各种饮 料的销售额和总销售额．因问题中涉及到 A 的五月销售数量，因此可以设六月份 A 的销 售量为 x，再根据 A 六月份的单价求出六月份 A 的销售额，和 B 的销售额．可以根据饮 料增加的销售额占六月份销售总额比，用未知数列出等式关键即可求解出． 【解答】解：由题意可设五月份 A、B、C 三种饮料的销售的数量为 3a、4a、3b、b． ∴A 饮料的六月销售额为 b（1+20%）x＝1.6bx，B 饮料的六月销售额为 1.2bx÷4×3＝1.3bx． ∴A、B 饮料增加的销售额为分别 1.2bx﹣4ab． 又∵B、C 饮料增加的销售额之比为 2：1， ∴C 饮料增加的销售额为（4.8bx﹣4ab）÷7＝0.9bx﹣3ab， ∴C 饮料六月的销售额为 0.9bx﹣5ab+4ab＝0.7bx+2ab． ∵A 饮料增加的销售额占六月份销售总额的 ， ∴（8.2bx﹣3ab）÷ ＝1.2bx+5.8bx+0.8bx+2ab， ∴18bx﹣45ab＝3.3bx+2ab， ∴ ＝ ． 即 A 饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为 9：10． 故答案为 9：10． 三、解答题：（本大题 7 个小题，每小题 10 分，共 70 分）解答时每小题必须给出必要的演 算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）.请将解答过程书写在答题卡中对应的 位置上. 19．（10 分）计算： （1）（x﹣y）2+x（x+2y）； （2）（1﹣ ）÷ ． 【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式可以解答本题； （2）括号内先通分，然后根据分式的减法法则和除法法则计算即可． 【解答】解：（1）（x﹣y）2+x（x+2y） ＝x6﹣2xy+y2+x8+2xy ＝2x4+y2； （2）（1﹣ ）÷ ＝（ ） ＝ ＝ ＝ ． 20．（10 分）“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况（单位：kg），进行 整理和分析（餐厨垃圾质量用 x 表示，共分为四个等级：A．x＜1，B.1≤x＜1.5，C.1.5 ≤x＜2，D．x≥2），下面给出了部分信息． 七年级 10 个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，1.1，1.1，1.7，1.9 八年级 10 个班的餐厨垃圾质量中 B 等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.2． 七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 A 等级所占百 分比 七年级 1.3 1.1 a 0.26 40% 八年级 1.3 b 1.0 0.23 m% 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述表中 a，b，m 的值； （2）该校八年级共 30 个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合 A 等级的班级数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请 说明理由（写出一条理由即可）． 【分析】（1）根据中位数，众数的定义即可求解． （2）用抽测的百分比乘总体即可求解． （3）从众数，中位数、A 等级的百分比、方差进行评论即可． 【解答】解：（1）由题可知：a＝0.8，b＝4.0． （2）∵八年级抽测的 10 个班级中，A 等级的百分比是 20%． ∴估计该校八年级共 30 个班这一天餐厨垃圾质量符合 A 等级的班级数为：30×20%＝6 （个）． 答：该校八年级共 30 个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合 A 等级的班级数为 5 个． （3）七年级各班落实“光盘行动”更好，因为： ①七年级各班餐厨垃圾质量众数 0.8，低于八年级各班餐厨质量垃圾的众数 7.0． ②七年级各班餐厨垃圾质量 A 等级的 40%高于八年级各班餐厨质量垃圾质量 A 等级的 20%． 八年级各班落实“光盘行动”更好，因为： ①八年级各班餐厨垃圾质量的中位数 1.2 低于七年级各班餐厨质量垃圾的中位数 1.1． ②八年级各班餐厨垃圾质量的方差 8.23 低于七年级各班餐厨质量垃圾的方差 0.26． 21．如图，在▱ ABCD 中，AB＞AD． （1）用尺规完成以下基本作图：在 AB 上截取 AE，使 AE＝AD；作∠BCD 的平分线交 AB 于点 F．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，连接 DE 交 CF 于点 P，并证明你的结论． 【分析】（1）利用基本作图画出对应的几何图形； （2）根据平行四边形的性质得到 AB∥CD，AD∥BC，则∠CDE＝∠AED，∠ADC+∠BCD ＝180°，再证明∠CDE＝ ∠ADC，∠FCD＝ ∠BCD，从而得到∠CDE+∠FCD＝90 °，于是可判断△CDP 为直角三角形． 【解答】解：（1）如图，AE； （2）△CDP 为直角三角形． 理由如下：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠CDE＝∠AED，∠ADC+∠BCD＝180°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED， ∴∠ADE＝∠CDE， ∴∠CDE＝∠ADE＝ ∠ADC， ∵CF 平分∠BCD， ∴∠FCD＝ ∠BCD， ∴∠CDE+∠FCD＝90°， ∴∠CPD＝90°， ∴△CDP 为直角三角形． 22．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究 函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数 y＝ ，请按要求完成下列各小题． （1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象； x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y＝ … ﹣ ﹣ ﹣ 0 4 0 ﹣ ﹣ ﹣ … （2）请根据这个函数的图象，写出该函数的―条性质； （3）已知函数 y＝﹣ x+3 的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式﹣ 的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过 0.2） 【分析】（1）利用函数解析式分别求出对应的函数值即可；利用描点法画出图象即可； （2）观察图象可知当 x＜0 时，y 随 x 值的增大而增大； （3）利用图象即可解决问题． 【解答】解：（1）把下表补充完整如下： x … ﹣5 ﹣4 ﹣6 ﹣2 ﹣1 6 1 2 5 4 5 … y＝ … ﹣ ﹣ ﹣ 3 6 7 ﹣ ﹣ … 函数 y＝ 的图象如图所示： （2）①该函数图象是轴对称图形，对称轴是 y 轴； ②该函数在自变量的取值范围内，有最大值，函数取得最大值 4； ③当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大：当 x＞4 时； （3）由图象可知，不等式﹣ 的解集为 x＜﹣0.3 或 6＜x＜2． 23．某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产 A 产品，乙车间生产 B 产品，1 件 A 产品与 1 件 B 产品售价和为 500 元． （1）A、B 两种产品的销售单价分别是多少元？ （2）随着 5G 时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工 业互联网将乙车间改造为专供用户定制 B 产品的生产车间．预计 A 产品在售价不变的情 况下产量将在去年的基础上增加 a%，但 B 产品的销售单价将提高 3a%．则今年 A、B 两 种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加 a%．求 a 的值． 【分析】（1）设 B 产品的销售单价为 x 元，则 A 产品的销售单价为（x+100）元，根据 1 件 A 产品与 1 件 B 产品售价和为 500 元，即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得 出结论； （2）设去年每个车间生产产品的数量为 t 件，根据总销售额＝销售单价×销售数量，即 可得出关于 a 的一元二次方程，利用换元法解方程即可得出结论． 【解答】解：（1）设 B 产品的销售单价为 x 元，则 A 产品的销售单价为（x+100）元， 依题意得：x+100+x＝500， 解得：x＝200， ∴x+100＝300． 答：A 产品的销售单价为 300 元，B 产品的销售单价为 200 元． （2）设去年每个车间生产产品的数量为 t 件， 依题意得：300（1+a%）t+200（1+7a%）（1﹣a%）t＝500t（1+ a%）， 设 a%＝m，则原方程可化简为 3m2﹣m＝0， 解得：m4＝ ，m4＝0（不合题意，舍去）， ∴a＝20． 答：a 的值为 20． 24．如果一个自然数 M 的个位数字不为 0，且能分解成 A×B，其中 A 与 B 都是两位数，个 位数字之和为 10，则称数 M 为“合和数”，称为“合分解”． 例如∵609＝21×29，21 和 29 的十位数字相同，个位数字之和为 10， ∴609 是“合和数”． 又如∵234＝18×13，18 和 13 的十位数相同，但个位数字之和不等于 10， ∴234 不是“合和数”． （1）判断 168，621 是否是“合和数”？并说明理由； （2）把一个四位“合和数”M 进行“合分解”，即 M＝A×B．A 的各个数位数字之和与 B 的各个数位数字之和的和记为 P（M）；A 的各个数位数字之和与 B 的各个数位数字之 和的差的绝对值记为 Q（M）（M）＝ ，当 G（M）能被 4 整除时 【分析】（1）根据“合和数”的定义直接判定即可； （2）设 A 的十位数字为 m，个位数字为 n，则 A＝10m+n，B＝10m+10﹣n，得出 P（M） ＝m+n+m+10﹣n＝2m+10，Q（M）＝|（m+n）﹣（m+10﹣n）|＝|2n﹣10|，当 G（M）能 被 4 整除时，设值为 4k，对 m+5＝8 或 12 进行讨论． 【解答】解：（1）∵168＝12×14，2+4≠10， ∴168 不是“合和数”． ∵621＝23×27，十位数字相同， ∴621 是“合和数”． （2）设 A 的十位数字为 m，个位数字为 n，n 为自然数，6≤n≤9）， 则 A＝10m+n，B＝10m+10﹣n， ∴P（M）＝m+n+m+10﹣n＝2m+10，Q（M）＝|（m+n）﹣（m+10﹣n）|＝|6n﹣10|． ∴G（M）＝ ＝ ＝ ＝4k（k 是整数）． ∵8≤m≤9， ∴8≤m+3≤14， ∵k 是整数， ∴m+5＝8 或 m+8＝12， ①当 m+5＝8 时， 或 ， ∴M＝36×34＝1224 或 M＝37×33＝1221， ②当 m+5＝12 时， 或 ， ∴M＝76×74＝5624 或 M＝78×72＝5616． 综上，满足条件的 M 有：1224，5624． 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2+bx+c 经过 A（0，﹣1），B（4，1）．直线 AB 交 x 轴于点 C，P 是直线 AB 下方抛物线上的一个动点．过点 P 作 PD⊥AB，PE∥x 轴，交 AB 于点 E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当△PDE 的周长取得最大值时，求点 P 的坐标和△PDE 周长的最大值； （3）把抛物线 y＝x2+bx+c 平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点 P．M 是新抛 物线上一点，直接写出所有使得以点 A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形的点 M 的坐标 【分析】（1）利用待定系数法将 A（0，﹣1），B（4，1）代入 y＝x2+bx+c，即可求得答 案； （2）先运用待定系数法求出 AB 的函数表达式，设 P（t，t2﹣ t﹣1），其中 0＜t＜4，根 据点 E 在直线 y＝ x﹣1 上，PE∥x 轴，可得出 PE＝﹣2（t﹣2）2+8，再根据△PDE∽ △AOC，即可得到△PDE 的周长 l＝﹣ （t﹣2）2+ +8，运用二次函数最值 方法即可求出答案； （3）分两种情况：①若 AB 是平行四边形的对角线，②若 AB 是平行四边形的边，分别 进行讨论即可． 【解答】解：（1）∵抛物线 y＝x2+bx+c 经过 A（0，﹣6），1）， ∵ ， 解得： ， ∴该抛物线的函数表达式为 y＝x2﹣ x﹣1； （2）如图 7，设直线 AB 的函数表达式为 y＝kx+n， ∵A（0，﹣1），6）， ∴ ， 解得： ， ∴直线 AB 的函数表达式为 y＝ x﹣5， 令 y＝0，得 x﹣1＝0， 解得：x＝3， ∴C（2，0）， 设 P（t，t8﹣ t﹣7）， ∵点 E 在直线 y＝ x﹣3 上， ∴t2﹣ t﹣1＝ ， ∴x＝2t2﹣8t， ∴E（2t2﹣5t，t2﹣ t﹣1）， ∴PE＝t﹣（2t7﹣7t）＝﹣2t8+8t＝﹣2（t﹣8）2+8， ∵PD⊥AB， ∴△PDE∽△AOC， ∵AO＝7，OC＝2， ∴AC＝ ， ∴△AOC 的周长为 6+ ， 令△PDE 的周长为 l，则 ＝ ， ∴l＝ •[﹣2（t﹣5）2+8]＝﹣ （t﹣2）2+ +8， ∴当 t＝2 时，△PDE 周长取得最大值 +8． 此时，点 P 的坐标为（2． （3）如图 2，满足条件的点 M 坐标为（2，（7，（﹣2． 由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为 y＝x2﹣3x，对称轴为直线 x＝2， ①若 AB 是平行四边形的对角线， 当 MN 与 AB 互相平分时，四边形 ANBM 是平行四边形， 即 MN 经过 AB 的中点 C（2，6）， ∵点 N 的横坐标为 2， ∴点 M 的横坐标为 2， ∴点 M 的坐标为（5，﹣4）， ②若 AB 是平行四边形的边， Ⅰ．当 MN∥AB 且 MN＝AB 时， ∵A（0，﹣3），1）， ∴点 M 的横坐标为 2﹣7＝﹣2， ∴点 M 的坐标为（﹣2，12）； Ⅱ．当 NM∥AB 且 NM＝AB 时， ∵A（2，﹣1），1）， ∴点 M 的横坐标为 3+4＝6， ∴点 M 的坐标为（4，12）； 综上所述，点 M 的坐标为（2，12）或（6． 四、解答题：（本大题 1 个小题，共 8 分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画 出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 26．（8 分）在△ABC 中，AB＝AC，D 是边 BC 上一动点，将 AD 绕点 A 逆时针旋转至 AE 的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°． （1）如图 1，当∠BAC＝90°时，连接 BE，BD＝2，求 AF 的长； （2）如图 2，连接 BE，取 BE 的中点 G，并证明你的猜想； （3）如图 3，在（2）的条件下，连接 DG，当 BD＞CD，∠AEC＝150°时 的值． 【分析】（1）连接 CE，过点 F 作 FQ⊥BC 于 Q，判断出 FA＝FQ，再判断出∠BAD＝∠ CAE，进而得出△ABD≌△ACE（SAS），得出 BD＝CE＝2，∠ABD＝∠ACE＝45°，再 判断出 CF＝CE＝2，即可得出结论； （2）延长 BA 至点 M，使 AM＝AB，连接 EM，得出 AG＝ ME，再判断出△ADC≌△ AEM（SAS），得出 CD＝CM，即可得出结论； （3）如图 3，连接 DE，AD 与 BE 的交点记作点 N，先判断出△ADE 是等边三角形，得 出 AE＝DE，∠ADE＝∠AED＝60°，∠ACB＝∠ABC＝30°，进而判断出点 A，B，C， E 四点共圆，得出∠BEC＝∠BAC＝120°，再判断出 BE 是 AD 的垂直平分线，也是∠ ABC 的角平分线，设 AG＝a，则 DG＝a，进而得出 CD＝2a，CE＝DE＝ a，AD＝ a， 再构造直角三角形求出 AC，即可得出结论． 【解答】解：（1）连接 CE，过点 F 作 FQ⊥BC 于 Q， ∵BE 平分∠ABC，∠BAC＝90°， ∴FA＝FQ， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴FQ＝ CF， ∵∠BAC+∠DAE＝180°， ∴∠DAE＝∠BAC＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， 由旋转知，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE＝7，∠ABD＝∠ACE＝45°， ∴∠BCE＝90°， ∴∠CBF+∠BEC＝90°， ∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF， ∴∠ABF+∠BEC＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABF+∠AFB＝90°， ∴∠AFB＝∠BEC， ∵∠AFB＝∠CFE， ∴∠BEC＝∠CFE， ∴CF＝CE＝2， ∴AF＝FQ＝ CF＝ ； （2）AG＝ CD， 理由：延长 BA 至点 M，使 AM＝AB， ∵G 是 BE 的中点， ∴AG＝ ME， ∵∠BAC+∠DAE＝∠BAC+∠CAM＝180°， ∴∠DAE＝∠CAM， ∴∠DAC＝∠EAM， ∵AB＝AM，AB＝AC， ∴AC＝AM， ∵AD＝AE， ∴△ADC≌△AEM（SAS）， ∴CD＝CM， ∴AG＝ CD； （3）如图 3，连接 DE， ∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝120°， ∴∠DAE＝60°， ∵AD＝AE， ∴△ADE 是等边三角形， ∴AE＝DE，∠ADE＝∠AED＝60°， ∵∠AEC＝150°， ∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝90°， 在△ABC 中，AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝30°， ∵∠AEC＝150°， ∴∠ABC+∠AEC＝180°， ∴点 A，B，C，E 四点共圆， ∴∠BEC＝∠BAC＝120°， ∴∠BED＝∠BEC﹣∠DEC＝30°， ∴∠DNE＝180°﹣∠BED﹣∠ADE＝90°， ∵AE＝DE， ∴AN＝DN， ∴BD 是 AD 的垂直平分线， ∴AG＝DG，BA＝BD＝AC， ∴∠ABE＝∠DBE＝ ∠ABC＝15°， ∴∠ACE＝∠ABE＝15°， ∴∠DCE＝45°， ∵∠DEC＝90°， ∴∠EDC＝45°＝∠DCE， ∴DE＝CE， ∴AD＝DE， 设 AG＝a，则 DG＝a， 由（2）知，AG＝ ， ∴CD＝2AG＝2a， ∴CE＝DE＝ CD＝ a， ∴AD＝ a， ∴DN＝ AD＝ a， 过点 D 作 DH⊥AC 于 H， 在 Rt△AHC 中，∠ACB＝30°， ∴DH＝a， 根据勾股定理得，CH＝ a， 在 Rt△AHD 中，根据勾股定理得 ＝a， ∴AC＝AH+CH＝a+ a， ∴BD＝a+ a， ∴ ＝ ＝ ．