2021年重庆市中考数学真题B卷（解析版）

2021 年重庆市中考数学真题（B 卷） 一、选择题：（本大题 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面， 都给出了代号为 A，B，C，D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题 卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑 1. 3 的相反数是（ ） A．3 B． C．﹣3 D．﹣ 【考点】相反数． 【答案】C 【分析】根据相反数的定义，即可解答． 【解答】解：3 的相反数是﹣3， 故选：C． 2 不等式 x＞5 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【考点】在数轴上表示不等式的解集． 【专题】数与式；数感． 【答案】A 【分析】明确 x＞5 在数轴上表示 5 的右边的部分即可． 【解答】解：不等式 x＞5 的解集在数轴上表示为：5 右边的部分，不包括 5， 故选：A． 3 计算 x4÷x 结果正确的是（ ） A．x4 B．x3 C．x2 D．x 【考点】同底数幂的除法． 【专题】整式；运算能力． 【答案】B 【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可． 【解答】解：原式＝x4﹣1＝x3， 故选：B． 4 如图，在平面直角坐标系中，将△OAB 以原点 O 为位似中心放大后得到△OCD，若 B（0， 1），D（0，3），则△OAB 与△OCD 的相似比是（ ） A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3 【考点】坐标与图形性质；位似变换． 【专题】图形的相似；应用意识． 【答案】D 【分析】根据信息，找到 OB 与 OD 的比值即可． 【解答】解：∵B（0，1），D（0，3）， ∴OB＝1，OD＝3， ∵△OAB 以原点 O 为位似中心放大后得到△OCD， ∴△OAB 与△OCD 的相似比是 OB：OD＝1：3， 故选：D． 5 如图，AB 是 ⊙ O 的直径，AC，BC 是 ⊙ O 的弦，若∠A＝20°，则∠B 的度数为（ ） A．70° B．90° C．40° D．60° 【考点】圆周角定理． 【专题】圆的有关概念及性质；应用意识． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角为 90°，即可求解． 【解答】解：∵AB 是 ⊙ O 的直径， ∴∠C＝90°， ∵∠A＝20°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝70°， 故选：A． 6 下列计算中，正确的是（ ） A．5 ﹣2 ＝21 B．2+ ＝2 C． × ＝3 D． ÷ ＝3 【考点】二次根式的混合运算． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】C 【分析】根据合并同类二次根式法则、同类二次根式的定义、二次根式的乘法和除法法 则逐一判断即可． 【解答】解：A．5 ﹣2 ＝3 ，此选项计算错误； B．2 与 不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误； C． × ＝ × × ＝3 ，此选项计算正确； D． ÷ ＝ ＝ ，此选项计算错误； 故选：C． 7 小明从家出发沿笔直的公路去图书馆，在图书馆阅读书报后按原路回到家．如图，反映了 小明离家的距离 y（单位：km）与时间 t（单位：h）之间的对应关系．下列描述错误的 是（ ） A．小明家距图书馆 3km B．小明在图书馆阅读时间为 2h C．小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足 4h D．小明去图书馆的速度比回家时的速度快 【考点】函数的图象． 【专题】一次函数及其应用；推理能力． 【答案】D 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项中是说法是否正确． 【解答】解：由图象知： A．小明家距图书馆 3km，正确； B．小明在图书馆阅读时间为 3﹣1＝2 小时，正确； C．小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足 4h，正确； D．因为小明去图书馆需要 1 小时，回来不足 1 小时，所以小明去图书馆的速度比回家时 的速度快，错误，符合题意． 故选：D． 8 如图，在△ABC 和△DCB 中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC 和△DCB 全等的是（ ） A．∠ABC＝∠DCB B．AB＝DC C．AC＝DB D．∠A＝∠D 【考点】全等三角形的判定． 【专题】三角形；图形的全等；应用意识． 【答案】B 【分析】根据证明三角形全等的条件 AAS，SAS，ASA，SSS 逐一验证选项即可． 【解答】解：在△ABC 和△DCB 中， ∵∠ACB＝∠DBC，BC＝BC， A：当∠ABC＝∠DCB 时，△ABC≌△DCB（ASA）， 故 A 能证明； B：当 AB＝DC 时，不能证明两三角形全等， 故 B 不能证明； C：当 AC＝DB 时，△ABC≌△DCB（SAS）， 故 C 能证明； D：当∠A＝∠D 时，△ABC≌△DCB（AAS）， 故 D 能证明； 故选：B． 9 如图，把含 30°的直角三角板 PMN 放置在正方形 ABCD 中，∠PMN＝30°，直角顶点 P 在正方形 ABCD 的对角线 BD 上，点 M，N 分别在 AB 和 CD 边上，MN 与 BD 交于点 O， 且点 O 为 MN 的中点，则∠AMP 的度数为（ ） A．60° B．65° C．75° D．80° 【考点】直角三角形斜边上的中线；正方形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力． 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：OM＝OP，从而得出∠DPM ＝150°，利用四边形内角和定理即可求得． 【解答】解：在 Rt△PMN 中，∠MPN＝90°， ∵O 为 MN 的中点， ∴OP＝ ， ∵∠PMN＝30°， ∴∠MPO＝30°， ∴∠DPM＝150°， 在四边形 ADPM 中， ∵∠A＝90°，∠ADB＝45°，∠DPM＝150°， ∴∠AMP＝360°﹣∠A﹣∠ADB﹣∠DPM ＝360°﹣90°﹣45°﹣150° ＝75°． 故选：C． 10 如图，在建筑物 AB 左侧距楼底 B 点水平距离 150 米的 C 处有一山坡，斜坡 CD 的坡度 （或坡比）为 i＝1：2.4，坡顶 D 到 BC 的垂直距离 DE＝50 米（点 A，B，C，D，E 在 同一平面内），在点 D 处测得建筑物顶 A 点的仰角为 50°，则建筑物 AB 的高度约为 （ ） （参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19） A．69.2 米 B．73.1 米 C．80.0 米 D．85.7 米 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【专题】解直角三角形及其应用；推理能力． 【答案】D 【分析】利用斜坡 CD 的坡度（或坡比）为 i＝1：2.4，求出 CE 的长，从而得出 BE，再 利用 tan50°即可求出 AB 的长． 【解答】解：∵斜坡 CD 的坡度（或坡比）为 i＝1：2.4， ∴DE：CE＝5：12， ∵DE＝50 米， ∴CE＝120 米， ∵BC＝150 米， ∴BE＝150﹣120＝30 米， ∴AB＝tan50°×30+50 ＝85.7 米． 故选：D． 11 关于 x 的分式方程 +1＝ 的解为正数，且使关于 y 的一元一次不等式组 有解，则所有满足条件的整数 a 的值之和是（ ） A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2 【考点】分式方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组． 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式(组)及应用；运算能力；应用意识． 【答案】B 【分析】由关于 y 的一元一次不等式组 有解得到 a 的取值范围，再由关于 x 的分式方程 +1＝ 的解为正数得到 a 的取值范围，将所得的两个不等式组成 不等式组，确定 a 的整数解，结论可求． 【解答】解：关于 x 的分式方程 +1＝ 的解为 x＝ ． ∵关于 x 的分式方程 +1＝ 的解为正数， ∴a+4＞0． ∴a＞﹣4． ∵关于 x 的分式方程 +1＝ 有可能产生增根 2， ∴ ． ∴a≠﹣1． 解关于 y 的一元一次不等式组 得： ． ∵关于 y 的一元一次不等式组 有解， ∴a﹣2＜0． ∴a＜2． 综上，﹣4＜a＜2 且 a≠﹣1． ∵a 为整数， ∴a＝﹣3 或﹣2 或 0 或 1． ∴满足条件的整数 a 的值之和是：﹣3﹣2+0+1＝﹣4． 故选：B． 12 如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A，B 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 y ＝ （k＞0，x＞0）的图象经过顶点 D，分别与对角线 AC，边 BC 交于点 E，F，连接 EF，AF．若点 E 为 AC 的中点，△AEF 的面积为 1，则 k 的值为（ ） A． B． C．2 D．3 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形 斜边上的中线；勾股定理；矩形的性质． 【专题】反比例函数及其应用；推理能力． 【答案】D 【分析】首先设 A（a，0），表示出 D（a， ），再根据 D，E，F 都在双曲线上，依次表 示出坐标，再由 S△AEF＝1，转化为 S△ACF＝2，列出等式即可求得． 【解答】解：设 A（a，0）， ∵矩形 ABCD， ∴D（a， ）， ∵矩形 ABCD，E 为 AC 的中点， 则 E 也为 BD 的中点， ∵点 B 在 x 轴上， ∴E 的纵坐标为 ， ∴ ， ∵E 为 AC 的中点， ∴点 C（3a， ）， ∴点 F（3a， ）， ∵△AEF 的面积为 1，AE＝EC， ∴S△ACF＝2， ∴ ， 解得：k＝3． 故选：D． 二、填空题：（本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）请将每小题的答案直 接填在答题卡中对应的横线上 13 计算： ﹣（ π ﹣1）0＝ ． 【考点】实数的运算；零指数幂． 【专题】实数；运算能力． 【答案】2． 【分析】利用算术平方根，零指数幂的意义进行运算． 【解答】解：原式＝3﹣1＝2． 故答案为：2． 14 不透明袋子中装有黑球 1 个、白球 2 个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机 摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，前 后两次摸出的球都是白球的概率是 ． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】概率及其应用；数据分析观念． 【答案】 ． 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解 即可． 【解答】解：列表如下 黑 白 白 黑 （黑，黑） （白，黑） （白，黑） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 由表可知，共有 9 种等可能结果，其中前后两次摸出的球都是白球的有 4 种结果， 所以前后两次摸出的球都是白球的概率为 ， 故答案为： ． 15 方程 2（x﹣3）＝6 的解是 ． 【考点】解一元一次方程． 【专题】一次方程（组）及应用；运算能力． 【答案】x＝6． 【分析】按照去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可． 【解答】解：方程两边同除以 2 得： x﹣3＝3． 移项，合并同类项得： x＝6． 故答案为：x＝6． 16 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC＝12，BD＝16，分别以点 A，B，C，D 为圆心， AB 的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留 π ） 【考点】菱形的性质；扇形面积的计算． 【专题】矩形 菱形 正方形；与圆有关的计算；运算能力；应用意识． 【答案】96﹣100 π ． 【分析】先求出菱形面积，再计算四个扇形的面积即可求解． 【解答】解：在菱形 ABCD 中，有：AC＝12，BD＝16． ∴ ． ∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB＝360°． ∴四个扇形的面积，是一个以 AB 的长为半径的圆． ∴图中阴影部分的面积＝ ×12×16﹣ π ×102＝96﹣100 π ． 故答案为：96﹣100 π ． 17 如图，△ABC 中，点 D 为边 BC 的中点，连接 AD，将△ADC 沿直线 AD 翻折至△ABC 所在平面内，得△ADC′，连接 CC′，分别与边 AB 交于点 E，与 AD 交于点 O．若 AE ＝BE，BC′＝2，则 AD 的长为 ． 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【专题】三角形；图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力；应用意识． 【答案】3． 【分析】根据翻折的性质和三角形的中位线可以得到 OD 的长，然后根据全等三角形的 判定和性质可以得到 AO 的长，从而可以求得 AD 的长． 【解答】解：由题意可得， △DCAQ≌△DC′A，OC＝OC′，∠COD＝∠C′OD＝90°， ∴点 O 为 CC′的中点， ∵点 D 为 BC 的中点， ∴OD 是△BCC′的中位线， ∴OD＝ BC′，OD∥BC′， ∴∠COD＝∠EC′B＝90°， ∵AE＝BE，BC′＝2， ∴OD＝1， 在△EC′B 和△EOA 中， ， ∴△EC′B≌△EOA（AAS）， ∴BC′＝AO， ∴AO＝2， ∴AD＝AO+OD＝2+1＝3， 故答案为：3． 18 盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现 销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共 22 个，搭配为 A， B，C 三种盲盒各一个，其中 A 盒中有 2 个蓝牙耳机，3 个多接口优盘，1 个迷你音箱；B 盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数 量之比为 3：2；C 盒中有 1 个蓝牙耳机，3 个多接口优盘，2 个迷你音箱．经核算，A 盒 的成本为 145 元，B 盒的成本为 245 元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优 盘、迷你音箱的成本之和），则 C 盒的成本为 元． 【考点】三元一次方程组的应用． 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识． 【答案】155． 【分析】根据题意确定 B 盲盒各种物品的数量，设出三种物品的价格列出代数式，解代 数式即可． 【解答】解：∵蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共 22 个，A 盒中有 2 个蓝牙耳机，3 个多接口优盘，1 个迷你音箱；C 盒中有 1 个蓝牙耳机，3 个多接口优盘，2 个迷你音箱； ∴B 盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共 22﹣2﹣3﹣1﹣1﹣3﹣2＝10（个）， ∵B 盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱 的数量之比为 3：2， ∴B 盒中有多接口优盘 10× ＝5（个），蓝牙耳机有 5× ＝3（个），迷你音箱有 10 ﹣5﹣3＝2（个）， 设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分别为 a 元，b 元，c 元， 由题知： ， ∵①×2﹣②得：a+b＝45， ②×2﹣①×3 得：b+c＝55， ∴C 盒的成本为：a+3b+2c＝（a+b）+（2b+2c）＝45+55×2＝155（元）， 故答案为：155． 三、解答题：（本大题 7 个小题，每小题 10 分，共 70 分）解答时每小题必须给 出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程 书写在答题卡中对应的位置上. 19 计算： （1）a（2a+3b）+（a﹣b）2； （2） ÷（x+ ）． 【考点】单项式乘多项式；完全平方公式；分式的混合运算． 【专题】整式；分式；运算能力． 【答案】（1）3a2+ab+b2；（2） ． 【分析】（1）先利用单项式乘多项式法则、完全平方公式计算，再合并同类项即可； （2）先将被除式分子、分母因式分解，同时计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘 法，继而约分即可． 【解答】解：（1）原式＝2a2+3ab+a2﹣2ab+b2 ＝3a2+ab+b2； （2）原式＝ ÷（ + ） ＝ ÷ ＝ • ＝ ． 20. 2021 年是中国共产党建党 100 周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知 识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了 20 名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成 绩均为整数，满分为 10 分，9 分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下： 抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）： 6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10． 七八年级教师竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8.5 8.5 中位数 a 9 众数 8 b 优秀率 45% 55% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝ ，b＝ ； （2）估计该校七年级 120 名教师中竞赛成绩达到 8 分及以上的人数； （3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异． 【考点】用样本估计总体；中位数；众数． 【专题】数据的收集与整理；应用意识． 【答案】（1）8；9．（2）102 人；（3）八年级教师更加优异． 【分析】（1）根据中位数定义、众数的定义即可找到 a、b 的值． （2）计算出成绩达到 8 分及以上的人数的频率即可求解． （3）根据优秀率进行评价即可． 【解答】解：（1）∵七年级教师的竞赛成绩：6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9， 9，9，10，10，10，10，10． ∴中位数 a＝8． 根据扇形统计图可知 D 类是最多的，故 b＝9． 故答案为：8；9． （2）该校七年级 120 名教师中竞赛成绩达到 8 分及以上的人数＝ ＝102 （人）． （3）根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：45%、55%．故八年级的教师学习党史 的竞赛成绩谁更优异． 21 如图，四边形 ABCD 为平行四边形，连接 AC，且 AC＝2AB．请用尺规完成基本作图： 作出∠BAC 的角平分线与 BC 交于点 E．连接 BD 交 AE 于点 F，交 AC 于点 O，猜想线 段 BF 和线段 DF 的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法） 【考点】平行四边形的性质；作图—基本作图． 【专题】多边形与平行四边形；推理能力；应用意识． 【答案】图见解答过程；猜想：DF＝3BF 证明过程见解答． 【分析】根据题意作出图即可； 【解答】解：如图： 猜想：DF＝3BF． 证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形． ∴OA＝OC，OD＝OB． ∵AC＝2AB． ∴AO＝AB． ∵∠BAC 的角平分线与 BC 交于点 E． ∴BF＝FO． ∴DF＝3BF． 22 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括 函数性质的过程．以下是我们研究函数 y＝x+|﹣2x+6|+m 性质及其应用的部分过程，请按 要求完成下列各小题． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 6 5 4 a 2 1 b 7 … （1）写出函数关系式中 m 及表格中 a，b 的值： m＝ ，a＝ ，b＝ ； （2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出 该函数的一条性质： ； （3）已知函数 y＝ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 x+|﹣ 2x+6|+m＞ 的解集． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【专题】数形结合；应用意识． 【答案】（1）﹣2，3，4； （2）图象见解答过程，当 x＝3 时函数有最小值 y＝1（答案不唯一）； （3）x＜0 或 x＞4． 【分析】（1）代入一对 x、y 的值即可求得 m 的值，然后代入 x＝1 求 a 值，代入 x＝4 求 b 值即可； （2）利用描点作图法作出图像并写出一条性质即可； （3）根据图像求出即可． 【解答】解：（1）当 x＝0 时，|6|+m＝4， 解得：m＝﹣2， 即函数解析式为：y＝x+|﹣2x+6|﹣2， 当 x＝1 时，a＝1+|﹣2+6|﹣2＝3， 当 x＝4 时，b＝4+|﹣2×4+6|﹣2＝4， 故答案为：﹣2，3，4； （2）图象如右图，根据图象可知当 x＝3 时函数有最小值 y＝1； （3）根据当 y＝x+|﹣2x+6|﹣2 的函数图象在函数 y＝ 的图象上方时，不等式 x+|﹣2x+6| ﹣2＞ 成立， ∴x＜0 或 x＞4． 23 重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经 典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面 （简称“生食”小面）．已知 3 份“堂食”小面和 2 份“生食”小面的总售价为 31 元，4 份“堂食”小面和 1 份“生食”小面的总售价为 33 元． （1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？ （2）该面馆在 4 月共卖出“堂食”小面 4500 份，“生食”小面 2500 份．为回馈广大食 客，该面馆从 5 月 1 日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格 降低 a%．统计 5 月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与 4 月相同，“生食”小 面的销量在 4 月的基础上增加 a%，这两种小面的总销售额在 4 月的基础上增加 a%．求 a 的值． 【考点】二元一次方程组的应用；一元二次方程的应用． 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）每份“堂食”小面的价格为 7 元，每份“生食”小面的价格为 5 元； （2）a＝8． 【分析】（1）设每份“堂食”小面的价格为 x 元，每份“生食”小面的价格为 y 元，根 据 3 份“堂食”小面和 2 份“生食”小面的总售价为 31 元，4 份“堂食”小面和 1 份“生 食”小面的总售价为 33 元列方程组解出可得结论； （2）根据 5 月“堂食”小面的销售额+“生食”小面的销售额＝4 月的总销售额（1+ a%）， 用换元法解方程可得结论． 【解答】解：（1）设每份“堂食”小面的价格为 x 元，每份“生食”小面的价格为 y 元， 根据题意得： ， 解得： ， 答：每份“堂食”小面的价格为 7 元，每份“生食”小面的价格为 5 元； （2）由题意得：4500×7+2500（1+ a%）×5（1﹣ a%）＝（4500×7+2500×5）（1+ a%）， 设 a%＝m，则方程可化为：9×7+25（1+ m）（1﹣ m）＝（9×7+25）（1+ m）， 375m2﹣30m＝0， m（25m﹣2）＝0， 解得：m1＝0（舍），m2＝ ， ∴a＝8． 24 对于任意一个四位数 m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上 的数字之和的 2 倍，则称这个四位数 m 为“共生数”．例如：m＝3507，因为 3+7＝2× （5+0），所以 3507 是“共生数”；m＝4135，因为 4+5≠2×（1+3），所以 4135 不是“共 生数”． （1）判断 5313，6437 是否为“共生数”？并说明理由； （2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的 2 倍，百位上的数字与个位 上的数字之和能被 9 整除时，记 F（n）＝ ．求满足 F（n）各数位上的数字之和是偶数 的所有 n． 【考点】列代数式；因式分解的应用． 【专题】新定义；运算能力． 【答案】（1）5313 是“共生数”，6437 不是“共生数”； （2）2148 或 3069． 【分析】（1）根据题目中的定义，可直接判断 5313，6437 是否为“共生数”； （2）根据定义，先用两个未知数表示 F（n），然后列出含有 n 的式子，找出满足要求的 结果即可． 【解答】解：（1）∵5+3＝2×（3+1）， ∴5313 是”共生数“， ∵6+7≠2×（3+4）， ∴6437 不是“共生数”； （2）∵n 是“共生数”，根据题意，个位上的数字要大于百位上的数字， 设 n 的千位上的数字为 a，则十位上的数字为 2a，（1≤a≤4）， 设 n 的百位上的数字为 b， ∵个位和百位都是 0﹣9 的数字， ∴个位上的数字为 9﹣b，且 9﹣b＞b， ∴0≤b≤4 ∴n＝1000a+100b+20a+9﹣b； ∴F（n）＝ ＝340a+33b+3， 由于 n 是“共生数”， ∴a+9﹣b＝2×（2a+b）， 即 a+b＝3， 可能的情况有： ， ∴n 的值为 1227 或 2148 或 3069， 各位数和为偶数的有 2148 和 3069， ∴n 的值是 2148 或 3069． 25 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与 x 轴交于点 A（﹣1，0）， B（4，0），与 y 轴交于点 C． （1）求该抛物线的解析式； （2）直线 l 为该抛物线的对称轴，点 D 与点 C 关于直线 l 对称，点 P 为直线 AD 下方抛 物线上一动点，连接 PA，PD，求△PAD 面积的最大值． （3）在（2）的条件下，将抛物线 y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射线 AD 平移 4 个单位， 得到新的抛物线 y1，点 E 为点 P 的对应点，点 F 为 y1 的对称轴上任意一点，在 y1 上确 定一点 G，使得以点 D，E，F，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的 点 G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 【考点】二次函数综合题． 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识． 【答案】（1）y＝x2﹣3x﹣4；（2）8；（3）G（ ）或 G（ ）或 G（ ）． 【分析】（1）直角代入点 A，B 坐标即可； （2）作 PE∥y 轴交直线 AD 于 E，通过铅垂高表示出△APD 的面积即可求出最大面积； （3）通过平移距离为 4 ，转化为向右平移 4 个单位，再向下平移 4 个单位，得出平移 后的抛物线关系式和 E 的坐标，从而平行四边形中，已知线段 DE，分 DE 为边还是对角 线，通过点的平移得出 G 的横坐标即可． 【解答】解：（1）将 A（﹣1，0），B（4，0）代入 y＝ax2+bx﹣4 得 ， ∴ ， ∴y＝x2﹣3x﹣4， （2）当 x＝0 时，y＝﹣4， ∴点 C（0，﹣4）， ∵点 D 与点 C 关于直线 l 对称， ∴D（3，﹣4）， ∵A（﹣1，0）， ∴直线 AD 的函数关系式为：y＝﹣x﹣1， 设 P（m，m2﹣3m﹣4）， 作 PE∥y 轴交直线 AD 于 E， ∴E（m，﹣m﹣1）， ∴PE＝﹣m﹣1﹣（m2﹣3m﹣4） ＝﹣m2+2m+3， ∴S△APD＝ ＝2（﹣m2+2m+3）＝﹣2m2+4m+6， 当 m＝﹣ ＝1 时，S△APD 最大为＝8， （3）∴直线 AD 与 x 轴正方向夹角为 45°， ∴沿 AD 方向平移 ，实际可看成向右平移 4 个单位，再向下平移 4 个单位， ∵P（1，﹣6）， ∴E（5，﹣10）， 抛物线 y＝x2﹣3x﹣4 平移后 y1＝x2﹣11x+20， ∴抛物线 y1 的对称轴为：直线 x＝ ， 当 DE 为平行四边形的边时： 若 D 平移到对称轴上 F 点，则 G 的横坐标为 ， 代入 y1＝x2﹣11x+20 得 y＝﹣ ， ∴ ， 若 E 平移到对称轴上 F 点，则 G 的横坐标为 ， 代入 y1＝x2﹣11x+20 得 y＝ ， ∴ ， 若 DE 为平行四边形的对角线时， 若 E 平移到对称轴上 F 点，则 G 平移到 D 点， ∴G 的横坐标为 ， 代入 y1＝x2﹣11x+20 得 y＝﹣ ， ∴ ∴G（ ）或 G（ ）或 G（ ）， 四、解答题：（本大题 1 个小题，共 8 分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画 出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 26 在等边△ABC 中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为 D，点 E 为 AB 边上一点，点 F 为直线 BD 上一点，连接 EF． （1）将线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 60°得到线段 EG，连接 FG． ①如图 1，当点 E 与点 B 重合，且 GF 的延长线过点 C 时，连接 DG，求线段 DG 的长； ②如图 2，点 E 不与点 A，B 重合，GF 的延长线交 BC 边于点 H，连接 EH，求证：BE+BH ＝ BF； （2）如图 3，当点 E 为 AB 中点时，点 M 为 BE 中点，点 N 在边 AC 上，且 DN＝2NC， 点 F 从 BD 中点 Q 沿射线 QD 运动，将线段 EF 绕点 E 顺时针旋转 60°得到线段 EP，连 接 FP，当 NP+ MP 最小时，直接写出△DPN 的面积． 【考点】几何变换综合题． 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力；模型思想；应用意识． 【答案】（1）① ； ②证明见解答过程； （2） ． 【分析】（1）①过 D 作 DH⊥GC 于 H，先证明△BGF 是等边三角形，求出 CD 长度， 再证明 BF＝CF＝GF，从而在 Rt△BDC 中，求出 CF＝ ＝ ＝2 ， 即得 GF，在 Rt△CDH 中，求出 DH＝CD•sin30°＝ 和 CH＝CD•cos30°＝ ，可 得 GH＝GF+FH＝ ，Rt△GHD 中，即可得到 DG＝ ＝ ； ②过 E 作 EP⊥AB 交 BD 于 P，过 H 作 MH⊥BC 交 BD 于 M，连接 PG，作 BP 中点 N， 连接 EN，由∠ABC+∠EFH＝180°，得 B、E、F、H 共圆，可得∠FBH＝∠FEH，从而 可证 HF＝GF，由 E、P、F、G 共圆可得∠BMH＝∠GPF＝60°，故△GFP≌HFM，PF ＝FM，可得 NF＝MH，BF＝MH+EP，在 Rt△BEP 中，EP＝BE•tan30°＝ BE，Rt△ MHB 中，MH＝BH•tan30°＝ BH，即可得到 BE+BH＝ BF； （2）以 M 为顶点，MP 为一边，作∠PML＝30°，ML 交 BD 于 G，过 P 作 PH⊥ML 于 H，设 MP 交 BD 于 K，Rt△PMH 中，HP＝ MP，NP+ MP 最小即是 NP+HP 最小，此 时 N、P、H 共线，而将线段 EF 绕点 E 顺时针旋转 60°得到线段 EP，可得∠QKP＝∠ FEP＝60°，从而可证 ML∥AC，四边形 GHND 是矩形，由 DN＝2NC，得 DN＝GH＝2， 由等边△ABC 中，AB＝6，点 E 为 AB 中点时，点 M 为 BE 中点，可得 BM＝ ，BD＝ AB•sinA＝3 ，Rt△BGM 中，MG＝ BM＝ ，BG＝BM•cos30°＝ ，可求 MH＝ MG+GH＝ ，GD＝BD﹣BG＝ ，Rt△MHP 中，可得 HP＝ ，从而可得 PN ＝HN﹣HP＝GD﹣HP＝ ，故 S△DPN＝ PN•DN＝ ． 【解答】解：（1）①过 D 作 DH⊥GC 于 H，如图： ∵线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 60°得到线段 EG，点 E 与点 B 重合，且 GF 的延长线过点 C， ∴BG＝BF，∠FBG＝60°， ∴△BGF 是等边三角形， ∴∠BFG＝∠DFC＝60°，BF＝GF， ∵等边△ABC，AB＝6，BD⊥AC， ∴∠DCF＝180°﹣∠BDC﹣∠DFC＝30°，∠DBC＝ ∠ABC＝30°，CD＝ AC＝ AB ＝3， ∴∠BCG＝∠ACB﹣∠DCF＝30°， ∴∠BCG＝∠DBC， ∴BF＝CF， ∴GF＝CF， Rt△BDC 中，CF＝ ＝ ＝2 ， ∴GF＝2 ， Rt△CDH 中，DH＝CD•sin30°＝ ，CH＝CD•cos30°＝ ， ∴FH＝CF﹣CH＝ ， ∴GH＝GF+FH＝ ， Rt△GHD 中，DG＝ ＝ ； ②过 E 作 EP⊥AB 交 BD 于 P，过 H 作 MH⊥BC 交 BD 于 M，连接 PG，作 BP 中点 N， 连接 EN，如图： ∵EF 绕点 E 逆时针旋转 60°得到线段 EG， ∴△EGF 是等边三角形， ∴∠EFG＝∠EGF＝∠GEF＝60°，∠EFH＝120°，EF＝GF， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ABC+∠EFH＝180°， ∴B、E、F、H 共圆， ∴∠FBH＝∠FEH， 而△ABC 是等边三角形，BD⊥AC， ∴∠DBC＝∠ABD＝30°，即∠FBH＝30°， ∴∠FEH＝30°， ∴∠FHE＝180°﹣∠EFH﹣∠FEH＝30°， ∴EF＝HF＝GF①， ∵EP⊥AB，∠ABD＝30°， ∴∠EPB＝60°，∠EPF＝120°， ∴∠EPF+∠EGF＝180°， ∴E、P、F、G 共圆， ∴∠GPF＝∠GEF＝60°， ∵MH⊥BC，∠DBC＝30°， ∴∠BMH＝60°， ∴∠BMH＝∠GPF②， 而∠GFP＝∠HFM③， 由①②③得△GFP≌HFM（AAS）， ∴PF＝FM， ∵EP⊥AB，BP 中点 N，∠ABD＝30°， ∴EP＝ BP＝BN＝NP， ∴PF+NP＝FM+BN， ∴NF＝ BM， Rt△MHB 中，MH＝ BM， ∴NF＝MH， ∴NF+BN＝MH+EP，即 BF＝MH+EP， Rt△BEP 中，EP＝BE•tan30°＝ BE， Rt△MHB 中，MH＝BH•tan30°＝ BH， ∴BF＝ BE+ BH， ∴BE+BH＝ BF； （2）以 M 为顶点，MP 为一边，作∠PML＝30°，ML 交 BD 于 G，过 P 作 PH⊥ML 于 H，设 MP 交 BD 于 K，如图： Rt△PMH 中，HP＝ MP， ∴NP+ MP 最小即是 NP+HP 最小，此时 N、P、H 共线， ∵将线段 EF 绕点 E 顺时针旋转 60°得到线段 EP， ∴F 在射线 QF 上运动，则 P 在射线 MP 上运动，根据“瓜豆原理”，F 为主动点，P 是 从动点，E 为定点，∠FEP＝60°，则 F、P 轨迹的夹角∠QKP＝∠FEP＝60°， ∴∠BKM＝60°， ∵∠ABD＝30°， ∴∠BMK＝90°， ∵∠PML＝30°， ∴∠BML＝60°， ∴∠BML＝∠A， ∴ML∥AC， ∴∠HNA＝180°﹣∠PHM＝90°， 而 BD⊥AC， ∴∠BDC＝∠HNA＝∠PHM＝90°， ∴四边形 GHND 是矩形， ∴DN＝GH， ∵边△ABC 中，AB＝6，BD⊥AC， ∴CD＝3， 又 DN＝2NC， ∴DN＝GH＝2， ∵等边△ABC 中，AB＝6，点 E 为 AB 中点时，点 M 为 BE 中点， ∴BM＝ ，BD＝AB•sinA＝6×sin60°＝3 ， Rt△BGM 中，MG＝ BM＝ ，BG＝BM•cos30°＝ ， ∴MH＝MG+GH＝ ，GD＝BD﹣BG＝ ， Rt△MHP 中，HP＝MH•tan30°＝ ， ∴PN＝HN﹣HP＝GD﹣HP＝ ， ∴S△DPN＝ PN•DN＝ ．