人教A版（2019）必修一同步练习题5.8 章末复习课(1)

章末复习课 [网络构建] [核心归纳] 1.任意角与弧度制 (1)与角 α 终边相同的角的集合为 S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}. (2)角度与弧度的互化：1°＝ π 180 rad，1 rad＝( 180 π )°. (3)弧长公式：l＝|α|r， 扇形面积公式：S＝ 1 2 lr＝ 1 2 |α|r2. 2.任意角的三角函数 设任意角 α 的终边上任意一点 P(x，y)，r＝ x2＋y2，则 sin α＝ y r ，cos α＝ x r ，tan α ＝ y x (x≠0). 3.同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1； sin α cos α ＝tan α. 4.诱导公式 (1)记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. (2)功能：将 k· π 2 ±α(k∈Z)的三角函数值化为 α 的三角函数值，实现变名、变号或 变角等作用. 5.三角函数的图象 (1)正弦曲线： (2)余弦曲线： (3)正切曲线： 6.三角函数的性质(表中 k∈Z) y＝sin x y＝cos x y＝tan x 定义域 R R {x|x∈R，且 x≠ π 2 ＋ kπ} 单调性 增区间：[－ π 2 ＋ 2kπ， π 2 ＋2kπ]， 减区间：[ π 2 ＋ 2kπ， 3π 2 ＋2kπ] 增区间：[－π＋ 2kπ，2kπ]， 减区间：[2kπ， π＋2kπ] 增区间：(－ π 2 ＋kπ， π 2 ＋kπ) 周期性 2π 2π π 图象的对称轴 x＝ π 2 ＋kπ x＝kπ 无 图象的对称中心 (kπ，0) ( π 2 ＋kπ，0) ( 1 2 kπ，0) 7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 cos(α±β)＝cos αcos β sin αsin β sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β tan(α±β)＝ tan α±tan β 1 tan αtan β 8.倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α tan 2α＝ 2tan α 1－tan2α 9.辅助角公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)(其中 φ为辅助角且 tan φ＝ b a )(或 asin x＋bcos x ＝ a2＋b2cos(x－φ)，tan φ＝ a b ) 要点一 任意角三角函数的定义 利用定义求三角函数值的两种方法： (1)先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义， 求出相应的三角函数值. (2)取角 α 的终边上任意一点 P(a，b)(原点除外)，则对应的角 α 的正弦值 sin α＝ b a2＋b2 ，余弦值 cos α＝ a a2＋b2 ，正切值 tan α＝ b a .当角 α 的终边上点的坐标以 参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 【例 1】 已知角 α 的终边经过点 P(3m－9，m＋2). (1)若 m＝2，求 5sin α＋3tan α 的值； (2)若 cos α≤0，且 sin α>0，求实数 m 的取值范围. 解 (1)若 m＝2，则 P(－3，4)， 所以 x＝－3，y＝4，r＝5， 所以 sin α＝ 4 5 ，cos α＝－ 3 5 ，tan α＝－ 4 3 ， 故 5sin α＋3tan α＝5× 4 5 ＋3×      － 4 3 ＝4－4＝0. (2)由题意知，cos α＝ x r ≤0，sin α＝ y r >0， 即 x≤0，y>0， 所以   3m－9≤0， m＋2>0， 所以－20，∴m2＝ 1 4 ，∴m＝ 1 2 .故选 B. 答案 B 要点二 同角三角函数基本关系式的应用 同角三角函数基本关系式的应用方法 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可以实现 α 的正弦、余弦的转化，利用 sin α cos α ＝tan α 可以 实现角 α 弦切互化. (2)关系式的逆用与变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α， (sin α＋cos α)2＝(sin α－cos α)2＋4sin αcos α. (3)sin α，cos α 的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于 sin α，cos α 的齐次式 或含有 sin2α，cos2α 及 sin αcos α 的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”， 利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”求解. 【例 2】 (1)已知 tan α＝ 1 2 ，α∈       0， π 2 ，则 sin α－cos α＝________. 解析 因为 tan α＝ 1 2 ＝ sin α cos α ， 由   sin α cos α ＝ 1 2 ， sin2α＋cos2α＝1， 解得   sin α＝ 5 5 ， cos α＝ 2 5 5 ， 所以 sin α－cos α＝ 5 5 － 2 5 5 ＝－ 5 5 . 答案 － 5 5 (2)已知 α 是三角形的内角，且 sin α＋cos α＝ 1 5 . ①求 tan α 的值； ②把 1 cos2α－sin2α 用 tan α 表示出来，并求其值. 解 ①由 sin α＋cos α＝ 1 5 ， 得 1＋2sin αcos α＝ 1 25 ， 所以 sin αcos α＝－ 12 25 ， 因为 α是三角形的内角，所以 sin α>0，cos α