章末复习课
[网络构建]
[核心归纳]
1.任意角与弧度制
(1)与角 α 终边相同的角的集合为 S={β|β=α+2kπ,k∈Z}.
(2)角度与弧度的互化:1°=
π
180
rad,1 rad=(
180
π
)°.
(3)弧长公式:l=|α|r,
扇形面积公式:S=
1
2
lr=
1
2
|α|r2.
2.任意角的三角函数
设任意角 α 的终边上任意一点 P(x,y),r= x2+y2,则 sin α=
y
r
,cos α=
x
r
,tan α
=
y
x
(x≠0).
3.同角三角函数基本关系式:sin2α+cos2α=1;
sin α
cos α
=tan α.
4.诱导公式
(1)记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限.
(2)功能:将 k·
π
2
±α(k∈Z)的三角函数值化为 α 的三角函数值,实现变名、变号或
变角等作用.
5.三角函数的图象
(1)正弦曲线:
(2)余弦曲线:
(3)正切曲线:
6.三角函数的性质(表中 k∈Z)
y=sin x y=cos x y=tan x
定义域 R R
{x|x∈R,且 x≠
π
2
+
kπ}
单调性
增区间:[-
π
2
+
2kπ,
π
2
+2kπ],
减区间:[
π
2
+
2kπ,
3π
2
+2kπ]
增区间:[-π+
2kπ,2kπ],
减区间:[2kπ,
π+2kπ]
增区间:(-
π
2
+kπ,
π
2
+kπ)
周期性 2π 2π π
图象的对称轴 x=
π
2
+kπ x=kπ 无
图象的对称中心 (kπ,0) (
π
2
+kπ,0) (
1
2
kπ,0)
7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β
sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β
tan(α±β)=
tan α±tan β
1 tan αtan β
8.倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α=2sin αcos α
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
tan 2α=
2tan α
1-tan2α
9.辅助角公式
asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ)(其中 φ为辅助角且 tan φ=
b
a
)(或 asin x+bcos x
= a2+b2cos(x-φ),tan φ=
a
b
)
要点一 任意角三角函数的定义
利用定义求三角函数值的两种方法:
(1)先由直线与单位圆相交求出交点坐标,再利用正弦、余弦、正切函数的定义,
求出相应的三角函数值.
(2)取角 α 的终边上任意一点 P(a,b)(原点除外),则对应的角 α 的正弦值 sin α=
b
a2+b2
,余弦值 cos α=
a
a2+b2
,正切值 tan α=
b
a
.当角 α 的终边上点的坐标以
参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
【例 1】 已知角 α 的终边经过点 P(3m-9,m+2).
(1)若 m=2,求 5sin α+3tan α 的值;
(2)若 cos α≤0,且 sin α>0,求实数 m 的取值范围.
解 (1)若 m=2,则 P(-3,4),
所以 x=-3,y=4,r=5,
所以 sin α=
4
5
,cos α=-
3
5
,tan α=-
4
3
,
故 5sin α+3tan α=5×
4
5
+3×
-
4
3
=4-4=0.
(2)由题意知,cos α=
x
r
≤0,sin α=
y
r
>0,
即 x≤0,y>0,
所以
3m-9≤0,
m+2>0,
所以-20,∴m2=
1
4
,∴m=
1
2
.故选 B.
答案 B
要点二 同角三角函数基本关系式的应用
同角三角函数基本关系式的应用方法
(1)利用 sin2α+cos2α=1 可以实现 α 的正弦、余弦的转化,利用
sin α
cos α
=tan α 可以
实现角 α 弦切互化.
(2)关系式的逆用与变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,
(sin α+cos α)2=(sin α-cos α)2+4sin αcos α.
(3)sin α,cos α 的齐次式的应用:分式中分子与分母是关于 sin α,cos α 的齐次式
或含有 sin2α,cos2α 及 sin αcos α 的式子求值时,可将所求式子的分母看作“1”,
利用“sin2α+cos2α=1”代换后转化为“切”求解.
【例 2】 (1)已知 tan α=
1
2
,α∈
0,
π
2
,则 sin α-cos α=________.
解析 因为 tan α=
1
2
=
sin α
cos α
,
由
sin α
cos α
=
1
2
,
sin2α+cos2α=1,
解得
sin α=
5
5
,
cos α=
2 5
5
,
所以 sin α-cos α=
5
5
-
2 5
5
=-
5
5
.
答案 -
5
5
(2)已知 α 是三角形的内角,且 sin α+cos α=
1
5
.
①求 tan α 的值;
②把
1
cos2α-sin2α
用 tan α 表示出来,并求其值.
解 ①由 sin α+cos α=
1
5
,
得 1+2sin αcos α=
1
25
,
所以 sin αcos α=-
12
25
,
因为 α是三角形的内角,所以 sin α>0,cos α