人教A版（2019）必修一同步练习题2.2 基本不等式

1 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 等式性质与不等式性质（共 2 课时） （第 1 课时） 一、选择题 1．（2019·高一期末）下列不等式一定成立的是（ ） A． ?+? 2 ≥ √?? B． ?+? 2 ≤ −√?? C．? + 1 ? ≥ 2 D．?2 + 1 ?2 ≥ 2 【答案】D 【解析】当?, ?, ?都为负数时，A,C 选项不正确.当?, ?为正数时，B 选项不正确.根据基本不等式，有 ?2 + 1 ?2 ≥ 2√?2 ⋅ 1 ?2 = 2，故选 D. 2．（2019 高一期中）已知 x＞0，函数 9 y x x = + 的最小值是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】∵x＞0，∴函数 9 9 2 6y x x x x = +   = ，当且仅当 x=3 时取等号， ∴y 的最小值是 6．故选：C． 3.（2019 广东高一期末）若正实数 a，b满足? + ? = 1，则下列说法正确的是( ) A．ab有最小值 1 4 B．√? + √?有最小值√2 C． 1 ? + 1 ? 有最小值 4 D．?2 + ?2有最小值√2 2 【答案】C 【解析】∵ a > 0，b > 0，且a + b = 1；∴ 1 = a + b ≥ 2√ab； ∴ ab ≤ 1 4 ；∴ ab有最大值 1 4 ，∴选项 A 错误； (√? + √?) 2 = ? + ? + 2√?? = 1+ 2√?? ≤ 1 + 2√ 1 4 = 2，∴ √? + √? ≤ √2，即√a + √b有最大值√2， ∴B 项错误. 1 a + 1 b = a+b ab = 1 ab ≥ 4，∴ 1 a + 1 b 有最小值 4，∴C 正确； ?2 + ?2 = (? + ?)2 − 2?? = 1 − 2?? ≥ 1 − 2 × 1 4 = 1 2 ,∴ a2 + b2的最小值是 1 2 ，不是√2 2 ，∴D 错误． 4．（2019·柳州市第二中学高一期末）若? > −5，则? + 4 ?+5 的最小值为（ ） 2 A．-1 B．3 C．-3 D．1 【答案】A 【解析】? + 4 ?+5 = ? + 5+ 4 ?+5 − 5 ≥ 2 × 2 − 5 = −1，当且仅当? = −3时等号成立，故选 A. 5．（2019 吉林高一月考）若 ( ) 1 2 f x x x = + − ( 2)x  在 x n= 处取得最小值，则n =（ ） A． 5 2 B．3 C． 7 2 D．4 【答案】B 【解析】： 当且仅当 时,等号成立;所以 ,故选 B. 6．（2019·广西高一期中）已知 5 x 2  ,则 f(x)= 2 4 5 2 4 x x x − + − 有 A．最大值 B．最小值 C．最大值 1 D．最小值 1 【答案】D 【解析】 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 x f x x x x x x − +   = = − +  − = − − −  当 1 2 2 x x − = − 即 3x = 或1（舍去）时， ( )f x 取得最小值1 二、填空题 7．（2019·宁夏高一期末）当 1x  − 时， 1 ( ) 1 f x x x = + + 的最大值为__________. 【答案】-3. 【解析】当 1x  − 时， ( ) 1 1 [ ( 1) ] 1 1 1 f x x x x x = + = − − + − − + + 又 1 ( 1) 2 1 x x − + −  + ， ( ) 1 1 [ ( 1) ] 1 3 1 1 f x x x x x = + = − − + − −  − + + ,故答案为：-3 8．（2019·上海市北虹高级中学高一期末）若 0m  ， 0n  ， 1m n+ = ，且 4 1 m n + 的最小值是___. 【答案】9 【解析】∵ 0m  ， 0n  ， 1m n+ = ， 4 4 ( ) 5 4 1 4 5 2 1 9 n m n m m n m n m n m n m n    + = + + = + + +  =    , 当且仅当 1 2 , 3 3 n m= = 时“=”成立，故答案为 9. 3 9．（2019·浙江高一期末）已知 0a  ， 0b  ，若不等式 2 1 2 m a b a b +  + 恒成立，则m 的最大值为 ______． 【答案】9. 【解析】由 2 1 2 m a b a b +  + 得 ( ) 2 1 2m a b a b    + +    恒成立，而 ( ) 2 1 2 2 2 5 a b a b a b b a   + + = + +    2 2 5 2 5 4 9 a b b a  +  = + = ，故 9m  ，所以m 的最大值为9 . 10．（2019·浙江高一月考）设函数 2 4 ( ) ( 2) ( 0)f x x x x x = − + +  ．若 ( ) 4f x = ，则 x = ________． 【答案】2 【解析】因为 2( 2) 0y x= −  ，当 2x = 时，取最小值； 又 0x  时， 4 2 4 4y x x = +  = ，当且仅当 0 6（ ，），即 2x = 时，取最小值； 所以当且仅当 2x = 时， 2 4 ( ) ( 2)f x x x x = − + + 取最小值 (2) 4f = . 即 ( ) 4f x = 时， 2x = .故答案为 2 三、解答题 11．（2016·江苏高一期中）已知 a＞0，b＞0，且 4a＋b＝1，求 ab 的最大值； （2）若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，求 3x＋4y 的最小值； （3）已知 x＜ 5 4 ，求 f（x）＝4x－2＋ 1 4 5x − 的最大值； 【答案】（1） 的最大值 ；（2） 的最小值为 5； （3）函数 的最大值为 【解析】（1） , 当且仅当 , 时取等号，故 的最大值为 （2） ， 4 当且仅当 即 时取等号 （3） 当且仅当 ,即 时,上式成立,故当 时, 函数 的最大值为 . 12．（2019·福建高一期中）设 0, 0, 1a b a b  + = 求证： 1 1 1 8 a b ab + +  【答案】可以运用多种方法。 【解析】证明[法一]： 0, 0, 1a b a b  + = 1 1 1 1a b a b ab ab ab +  + + = + 2 2 1 1 2 2 2 8 1 2 2 ab ab ab a b = + =  = = +            当且仅当 1 = = 2 a b ，取“=”号。 故 1 1 1 8 a b ab + +  证明[法二]： 0, 0, 1a b a b  + = 1 1 1 1 1 1 1 1 + = + + a b a b a b ab a b ab a b b a + +  + + = + + ( ) 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 =8a b ab a b a b ab     = + = + +           当且仅当 1 = = 2 a b ，取“=”号。故 1 1 1 8 a b ab + +  证明[法三] 0, 0, 1a b a b  + = 1 1 1 1 1 1 1 1 + = + + a b a b a b ab a b ab a b b a + +  + + = + + 1 1 2 2 =2 2+ a b a b b a a b a b a b + +      = + = + +            =4+2 4+2 2 =8 b a b a a b a b   +       当且仅当 1 = = 2 a b 时，取“=”号。故 1 1 1 8 a b ab + +  证明[法五]： 0, 0, 1a b a b  + = 5 1 1 1 8 1 8b a ab a b ab  + +   + +  2 1 4 2 a b ab ab +         显然成立 1 1 1 1 = = = 8 2 a b a b ab + + 当且仅当 时，取“ ”号,故 2.2 基本不等式（第 2 课时） 二、选择题 1．（2019·四川高一期中）用篱笆围一个面积为 2100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 所用篱笆最短，最短的篱笆是（ ） A．30 B．36 C．40 D．50 【答案】C 【解析】设矩形的长为 ( )x m ，则宽为 100 ( )m x ，设所用篱笆的长为 ( )y m ，所以有 100 2 2y x x = +  ， 根据基本不等式可知： 100 100 2 2 2 2 2 40y x x x x = +     = ，（当且仅当 100 2 2x x =  时，等号成 立，即 10x = 时，取等号）故本题选 C. 2．（2019·北京高一期中）若实数 x，y满足2? + ? = 1，则? ⋅ ?的最大值为( ) A．1 B． 1 4 C． 1 8 D． 1 16 【答案】C 【解析】∵实数 x，y满足2? + ? = 1，∴ ? = 1 − 2?，∴ ?? = ?(1 − 2?) = −2?2 + ? = −2(? − 1 4 )2 + 1 8 ≤ 1 8 ，当? = 1 4 ，? = 1 2 时取等号，故选：C． 3．（2019·北京北师大实验中学高一期末）宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假 设一个三角形，边长分别为a b c， ， ，三角形的面积 S 可由公式 ( )( )( )S p p a p b p c= − − − 求得，其中 p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满 足 12 8a b c+ = =， ，则此三角形面积的最大值为( ) A．4 5 B． 4 15 C．8 5 D．8 15 【答案】C 【解析】由题意，p＝10， 6 S ( )( )( ) ( )( ) 10 10 10 10 10 10 20 10 10 20 2 a b a b c a b − + − = − − − = − −   = 8 5 ， ∴此三角形面积的最大值为 8 5 ．故选：C． 4．（2019·湖南高一期中）当? > 0，关于代数式 2? ?2+1 ，下列说法正确的是( ) A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值 C．有最小值也有最大值 D．无最小值也无最大值 【答案】A 【解析】∵ ? > 0， ∴ 2? ?2+1 = 2 ?+ 1 ? ≤ 2 2√?⋅ 1 ? = 1 ，当且仅当? = 1 ? 即? = 1时取等号， 故? > 0，关于代数式 2? ?2+1 有最大值 1，没有最小值，故选：A． 5．（2019·全国高一课时练习）汽车上坡时的速度为 a，原路返回时的速度为 b，且 0＜a＜b，则汽车 全程的平均速度比 a，b的平均值( ) A．大 B．小 C．相等 D．不能确定 【答案】B 【解析】令单程为 s,则上坡时间为?1 = ? ? ,下坡时间为?2 = ? ? , 平均速度为 2? ?1+?2 = 2? ? ? + ? ? = 2 1 ? + 1 ? ≤ √?? ≤ ?+? 2 .故选 B. 6．（2019·龙岩市第一中学高一月考）某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客 要购买10?黄金，售货员先将5?的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5?的 砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ） A．大于10? B．小于10? C．大于等于10? D．小于等于10? 【答案】A 【解析】由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为?，右臂长为?（不妨设? > ?）， 先称得的黄金的实际质量为?1，后称得的黄金的实际质量为?2 ．由杠杆的平衡原理：??1 = ? × 5， ??2 = ? × 5 ．解得?1 = 5? ? ，?2 = 5? ? ，则?1 +?2 = 5? ? + 5? ? ． 下面比较?1 +?2与 10 的大小： 因为(?1 +?2) − 10 = 5? ? + 5? ? − 10 ≥ 2√ 5? ? ⋅ 5? ? − 10 = 0，又因为? ≠ ? ，所以，(?1 +?2) − 10 > 0， 即?1 +?2 > 10 ．这样可知称出的黄金质量大于10? ．故选：? 二、填空题 7．（2019·全国高一课时练）某商场中秋前 30 天月饼销售总量 f(t)与时间 t(0＜t≤30)的关系大致满足 7 f(t)＝t2＋10t＋16，则该商场前 t天平均售出[如前 10 天的平均售出为 ?(10) 10 ]的月饼最少为 【答案】18 【解析】平均销售量 y= ?(?) ? = ?2+10?+16 ? =t+ 16 ? +10≥18． 当且仅当 t= 16 ? ，即 t=4∈[1，30]等号成立，即平均销售量的最小值为 18． 8．（2016·青海平安一中高一课时练习）有一批材料可以建成 200 m 的围墙,如果用此材料在一边靠墙 的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成面积相等的矩形,如图所示,则围成的矩形场地的最 大面积为____m2(围墙厚度不计). 【答案】2500 【解析】设矩形场地的宽为 x m,则矩形场地的长为(200-4x)m,则矩形场地的面积 S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2500(0