1
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2 等式性质与不等式性质(共 2 课时)
(第 1 课时)
一、选择题
1.(2019·高一期末)下列不等式一定成立的是( )
A.
?+?
2
≥ √?? B.
?+?
2
≤ −√?? C.? +
1
?
≥ 2 D.?2 +
1
?2
≥ 2
【答案】D
【解析】当?, ?, ?都为负数时,A,C 选项不正确.当?, ?为正数时,B 选项不正确.根据基本不等式,有
?2 +
1
?2
≥ 2√?2 ⋅
1
?2
= 2,故选 D.
2.(2019 高一期中)已知 x>0,函数
9
y x
x
= + 的最小值是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】C
【解析】∵x>0,∴函数
9 9
2 6y x x
x x
= + = ,当且仅当 x=3 时取等号,
∴y 的最小值是 6.故选:C.
3.(2019 广东高一期末)若正实数 a,b满足? + ? = 1,则下列说法正确的是( )
A.ab有最小值
1
4
B.√? + √?有最小值√2
C.
1
?
+
1
?
有最小值 4 D.?2 + ?2有最小值√2
2
【答案】C
【解析】∵ a > 0,b > 0,且a + b = 1;∴ 1 = a + b ≥ 2√ab;
∴ ab ≤
1
4
;∴ ab有最大值
1
4
,∴选项 A 错误;
(√? + √?)
2
= ? + ? + 2√?? = 1+ 2√?? ≤ 1 + 2√
1
4
= 2,∴ √? + √? ≤ √2,即√a + √b有最大值√2,
∴B 项错误.
1
a
+
1
b
=
a+b
ab
=
1
ab
≥ 4,∴
1
a
+
1
b
有最小值 4,∴C 正确;
?2 + ?2 = (? + ?)2 − 2?? = 1 − 2?? ≥ 1 − 2 ×
1
4
=
1
2
,∴ a2 + b2的最小值是
1
2
,不是√2
2
,∴D 错误.
4.(2019·柳州市第二中学高一期末)若? > −5,则? +
4
?+5
的最小值为( )
2
A.-1 B.3 C.-3 D.1
【答案】A
【解析】? +
4
?+5
= ? + 5+
4
?+5
− 5 ≥ 2 × 2 − 5 = −1,当且仅当? = −3时等号成立,故选 A.
5.(2019 吉林高一月考)若 ( )
1
2
f x x
x
= +
−
( 2)x 在 x n= 处取得最小值,则n =( )
A.
5
2
B.3 C.
7
2
D.4
【答案】B
【解析】: 当且仅当
时,等号成立;所以 ,故选 B.
6.(2019·广西高一期中)已知
5
x
2
,则 f(x)=
2 4 5
2 4
x x
x
− +
−
有
A.最大值 B.最小值 C.最大值 1 D.最小值 1
【答案】D
【解析】 ( )
( )
( )
( )
2
2 1 1 1 1 1
2 2 2 1
2 2 2 2 2 2
x
f x x x
x x x
− +
= = − + − = − − −
当
1
2
2
x
x
− =
−
即 3x = 或1(舍去)时, ( )f x 取得最小值1
二、填空题
7.(2019·宁夏高一期末)当 1x − 时,
1
( )
1
f x x
x
= +
+
的最大值为__________.
【答案】-3.
【解析】当 1x − 时, ( )
1 1
[ ( 1) ] 1
1 1
f x x x
x x
= + = − − + − −
+ +
又
1
( 1) 2
1
x
x
− + −
+
, ( )
1 1
[ ( 1) ] 1 3
1 1
f x x x
x x
= + = − − + − − −
+ +
,故答案为:-3
8.(2019·上海市北虹高级中学高一期末)若 0m , 0n , 1m n+ = ,且
4 1
m n
+ 的最小值是___.
【答案】9
【解析】∵ 0m , 0n , 1m n+ = ,
4 4
( ) 5
4 1 4
5 2
1
9
n m n m
m n
m n m n m n m n
+ = + + = + + + =
,
当且仅当
1 2
,
3 3
n m= = 时“=”成立,故答案为 9.
3
9.(2019·浙江高一期末)已知 0a , 0b ,若不等式
2 1
2
m
a b a b
+
+
恒成立,则m 的最大值为
______.
【答案】9.
【解析】由
2 1
2
m
a b a b
+
+
得 ( )
2 1
2m a b
a b
+ +
恒成立,而 ( )
2 1 2 2
2 5
a b
a b
a b b a
+ + = + +
2 2
5 2 5 4 9
a b
b a
+ = + = ,故 9m ,所以m 的最大值为9 .
10.(2019·浙江高一月考)设函数
2 4
( ) ( 2) ( 0)f x x x x
x
= − + + .若 ( ) 4f x = ,则 x = ________.
【答案】2
【解析】因为
2( 2) 0y x= − ,当 2x = 时,取最小值;
又 0x 时,
4
2 4 4y x
x
= + = ,当且仅当 0 6( ,),即 2x = 时,取最小值;
所以当且仅当 2x = 时,
2 4
( ) ( 2)f x x x
x
= − + + 取最小值 (2) 4f = .
即 ( ) 4f x = 时, 2x = .故答案为 2
三、解答题
11.(2016·江苏高一期中)已知 a>0,b>0,且 4a+b=1,求 ab 的最大值;
(2)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,求 3x+4y 的最小值;
(3)已知 x<
5
4
,求 f(x)=4x-2+
1
4 5x −
的最大值;
【答案】(1) 的最大值 ;(2) 的最小值为 5;
(3)函数 的最大值为
【解析】(1)
,
当且仅当 , 时取等号,故 的最大值为
(2)
,
4
当且仅当 即 时取等号
(3)
当且仅当 ,即 时,上式成立,故当 时,
函数 的最大值为 .
12.(2019·福建高一期中)设 0, 0, 1a b a b + = 求证:
1 1 1
8
a b ab
+ +
【答案】可以运用多种方法。
【解析】证明[法一]: 0, 0, 1a b a b + =
1 1 1 1a b
a b ab ab ab
+
+ + = +
2 2
1 1 2 2 2
8
1
2 2
ab ab ab a b
= + = = =
+
当且仅当
1
= =
2
a b ,取“=”号。 故
1 1 1
8
a b ab
+ +
证明[法二]: 0, 0, 1a b a b + =
1 1 1 1 1 1 1 1
+ = + +
a b a b
a b ab a b ab a b b a
+ +
+ + = + +
( )
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 =8a b ab
a b a b ab
= + = + +
当且仅当
1
= =
2
a b ,取“=”号。故
1 1 1
8
a b ab
+ +
证明[法三] 0, 0, 1a b a b + =
1 1 1 1 1 1 1 1
+ = + +
a b a b
a b ab a b ab a b b a
+ +
+ + = + +
1 1
2 2 =2 2+
a b a b b a
a b a b a b
+ +
= + = + +
=4+2 4+2 2 =8
b a b a
a b a b
+
当且仅当
1
= =
2
a b 时,取“=”号。故
1 1 1
8
a b ab
+ +
证明[法五]: 0, 0, 1a b a b + =
5
1 1 1
8 1 8b a ab
a b ab
+ + + +
2
1
4 2
a b
ab ab
+
显然成立
1 1 1 1
= = = 8
2
a b
a b ab
+ + 当且仅当 时,取“ ”号,故
2.2 基本不等式(第 2 课时)
二、选择题
1.(2019·四川高一期中)用篱笆围一个面积为 2100m 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,
所用篱笆最短,最短的篱笆是( )
A.30 B.36 C.40 D.50
【答案】C
【解析】设矩形的长为 ( )x m ,则宽为
100
( )m
x
,设所用篱笆的长为 ( )y m ,所以有
100
2 2y x
x
= + ,
根据基本不等式可知:
100 100
2 2 2 2 2 40y x x
x x
= + = ,(当且仅当
100
2 2x
x
= 时,等号成
立,即 10x = 时,取等号)故本题选 C.
2.(2019·北京高一期中)若实数 x,y满足2? + ? = 1,则? ⋅ ?的最大值为( )
A.1 B.
1
4
C.
1
8
D.
1
16
【答案】C
【解析】∵实数 x,y满足2? + ? = 1,∴ ? = 1 − 2?,∴ ?? = ?(1 − 2?) = −2?2 + ?
= −2(? −
1
4
)2 +
1
8
≤
1
8
,当? =
1
4
,? =
1
2
时取等号,故选:C.
3.(2019·北京北师大实验中学高一期末)宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假
设一个三角形,边长分别为a b c, , ,三角形的面积 S 可由公式 ( )( )( )S p p a p b p c= − − −
求得,其中 p 为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式,现有一个三角形的边长满
足 12 8a b c+ = =, ,则此三角形面积的最大值为( )
A.4 5 B. 4 15 C.8 5 D.8 15
【答案】C
【解析】由题意,p=10,
6
S ( )( )( ) ( )( )
10 10
10 10 10 10 20 10 10 20
2
a b
a b c a b
− + −
= − − − = − − = 8 5 ,
∴此三角形面积的最大值为 8 5 .故选:C.
4.(2019·湖南高一期中)当? > 0,关于代数式
2?
?2+1
,下列说法正确的是( )
A.有最大值无最小值 B.有最小值无最大值
C.有最小值也有最大值 D.无最小值也无最大值
【答案】A
【解析】∵ ? > 0,
∴
2?
?2+1
=
2
?+
1
?
≤
2
2√?⋅
1
?
= 1
,当且仅当? =
1
?
即? = 1时取等号,
故? > 0,关于代数式
2?
?2+1
有最大值 1,没有最小值,故选:A.
5.(2019·全国高一课时练习)汽车上坡时的速度为 a,原路返回时的速度为 b,且 0<a<b,则汽车
全程的平均速度比 a,b的平均值( )
A.大 B.小 C.相等 D.不能确定
【答案】B
【解析】令单程为 s,则上坡时间为?1 =
?
?
,下坡时间为?2 =
?
?
,
平均速度为
2?
?1+?2
=
2?
?
?
+
?
?
=
2
1
?
+
1
?
≤ √?? ≤
?+?
2 .故选 B.
6.(2019·龙岩市第一中学高一月考)某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客
要购买10?黄金,售货员先将5?的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客;然后又将5?的
砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金( )
A.大于10? B.小于10? C.大于等于10? D.小于等于10?
【答案】A
【解析】由于天平的两臂不相等,故可设天平左臂长为?,右臂长为?(不妨设? > ?),
先称得的黄金的实际质量为?1,后称得的黄金的实际质量为?2 .由杠杆的平衡原理:??1 = ? × 5,
??2 = ? × 5 .解得?1 =
5?
?
,?2 =
5?
?
,则?1 +?2 =
5?
?
+
5?
?
.
下面比较?1 +?2与 10 的大小:
因为(?1 +?2) − 10 =
5?
?
+
5?
?
− 10 ≥ 2√
5?
?
⋅
5?
?
− 10 = 0,又因为? ≠ ? ,所以,(?1 +?2) − 10 > 0,
即?1 +?2 > 10 .这样可知称出的黄金质量大于10? .故选:?
二、填空题
7.(2019·全国高一课时练)某商场中秋前 30 天月饼销售总量 f(t)与时间 t(0<t≤30)的关系大致满足
7
f(t)=t2+10t+16,则该商场前 t天平均售出[如前 10 天的平均售出为
?(10)
10
]的月饼最少为
【答案】18
【解析】平均销售量 y=
?(?)
?
=
?2+10?+16
?
=t+
16
?
+10≥18.
当且仅当 t=
16
?
,即 t=4∈[1,30]等号成立,即平均销售量的最小值为 18.
8.(2016·青海平安一中高一课时练习)有一批材料可以建成 200 m 的围墙,如果用此材料在一边靠墙
的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成面积相等的矩形,如图所示,则围成的矩形场地的最
大面积为____m2(围墙厚度不计).
【答案】2500
【解析】设矩形场地的宽为 x m,则矩形场地的长为(200-4x)m,则矩形场地的面积
S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2500(0