1
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(共 2 课时)
(第 1 课时)
一、选择题
1.(2019 北京高一期中)不等式?(? + 2) < 3的解集是( ).
A.{?| − 1 < ? < 3} B.{?| − 3 < ? < 1}
C.{?|? < −1 ,或? > 3} D.{?|? < −3 ,或? > 1}
【答案】B
【解析】由题意?(? + 2) < 3,∴?2 + 2? − 3 < 0即(? + 3)(? − 1) < 0,解得:−3 < ? < 1,
∴该不等式的解集是{?| − 3 < ? < 1},故选B.
2.(2019 全国课时练习)已知集合? = {?|? − 2 > 0},集合? = {?|?2 − 2? ≤ 0},则? ∪ ? = ( )
A.[0, +∞) B.(−∞, 2] C.[0,2) ∪ (2, +∞) D.?
【答案】A
【解析】∵集合? = {?|? − 2 > 0},集合? = {?|?2 − 2? ≤ 0} = {?|0 ≤ ? ≤ 2},
∴ ? ∪ ? = {?|? ≥ 0} = [0, +∞),故选 A.
3.(2019 全国课时练习)不等式
26 2 0x x− − + 的解集是( )
A. 2 1
|
3 2
x x
−
B. 2 1
|
3 2
x x x
−
或
C. 1
|
2
x x
D. 3
|
2
x x
−
【答案】B
【解析】 2 26 2 0 6 2 0 (2 1)(3 2) 0x x x x x x− − + + − − + 2 1
3 2
或x x − .故选 B.
4.(2019·安徽高一期中)若关于 x 的不等式 2 3 0ax bx+ + 的解集为
1
( 1, )
2
− ,其中 ,a b为常数,
则不等式 23 0x bx a+ + 的解集是( )
A. ( 1,2)− B. ( 2,1)− C.
1
( ,1)
2
− D.
1
( 1, )
2
−
【答案】A
【解析】由 2 3 0ax bx+ + 解集为
1
1,
2
−
可得:
( )
1 1
1
2 2
3 1 1
1
2 2
b
a
a
− = − + = −
= − = −
2
解得:
6
3
a
b
= −
= −
所求不等式为: 23 3 6 0x x− − ,解得: ( )1,2x −
本题正确选项: A
5.(2019 天津高一课时练习)在 R 上定义运算⊗: ? ⊗ ? = ?? + 2? + ?,则满足? ⊗ (? − 2) < 0的
实数 x 的取值范围为( )
A.(0,2) B.(−2,1)
C.(−∞, −2) ∪ (1, +∞) D.(−1,2)
【答案】B
【解析】由定义运算⊙可知不等式 x⊙(x-2)<0 为?(? − 2) + 2? + ? − 2 < 0,解不等式得解集
为(-2,1)
6.(2019 全国高一课时练习)一元二次不等式 2kx2+kx﹣ <0 对一切实数 x 都成立,则 k 的取值范
围是( )
A.(﹣3,0) B.(﹣3,0] C.[﹣3,0] D.(﹣∞,﹣3)∪[0,+∞)
【答案】A
【解析】由一元二次不等式 2kx2+kx﹣ <0 对一切实数 x 都成立,
则 ,解得﹣3<k<0.
综上,满足一元二次不等式 2kx2+kx﹣ <0 对一切实数 x 都成立的 k 的取值范围是(﹣3,0).
故选 A.
二、填空题
7.(2019 全国高三课时练习)不等式 2 2 0x x+ − 的解集为___________.
【答案】 ( )2,1−
【解析】不等式
2 2 0 ( 2)( 1) 0x x x x+ − + − 的解集为 ( )2,1− .
8.(2019 高二课时练习)若关于?的不等式 −
1
2
?2 + 2? > ?? 的解集是{?|0 < ? < 2},
则实数?的值是_____________.
【答案】1.
【解析】∵不等式−
1
2
?2 + 2? > ??的解集为{?|0 < ? < 2},∴ 0,2是方程−
1
2
?2 + (2 − ?)? = 0的两
个根,∴将2代入方程得? = 1,∴ ? = 1,故答案为1.
3
9.(2019 天津高一课时练习)如果关于 x 的不等式 5x2-a≤0 的正整数解是 1,2,3,4,那么实数 a 的取值
范围是____.
【答案】[80,125)
【解析】由题意知 a>0,由 5x2-a≤0,得−√
?
5
≤x≤√
?
5
,不等式的正整数解是 1,2,3,4,则 4≤√
?
5
0的解集.
【答案】(1)? = −2(2)−3 < ? <
1
2
【解析】(1)依题意可得:??2 + 5? − 2=0 的两个实数根为
1
2
和 2,
由韦达定理得:
1
2
+ 2 = −
5
?
,解得:? = −2;.
(2) 则不等式??2 − 5? + ?2 − 1 > 0,可化为−2?2 − 5? + 3 > 0. 解得 {x|−3 < ? <
1
2
},
故不等式 的解集{x|−3 < ? <
1
2
}..
12.(2019·广东揭阳三中高二课时练习)已知函数?(?) = ?2 − 2? − 8,?(?) = 2?2 − 4? − 16,
(1)求不等式?(?) < 0的解集;
(2)若对一切? > 2,均有?(?) ≥ (? + 2)? − ? − 15成立,求实数?的取值范围.
【答案】(1){x|-2