高中数学人教A版（2019）必修一同步练习题5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）

1 第五章 三角函数 5.6 函数 y=Asin（ωx+φ ）的图像 一、选择题 1．（2019·高一课时练）要得到函数 3sin(2 ) 4 y x  = + 的图像，只需将函数 3sin 2y x= 的图像( ) A．向左平移 4  个单位 B．向右平移 4  个单位 C．向左平移 8  个单位 D．向右平移 8  个单位 【答案】C 【解析】因为 3sin 2 3sin 2 4 8 y x x       = + = +          ，所以由 y=3sin2x 的图象向左平移 8  个单位得 到. 故选 C． 2．（2019·全国高一课时练）把函数 f(x)＝sin 2x＋1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐 标不变)，得到函数 g(x)的图象，则 g(x)的最小正周期为( ) A．2π B．π C． 2  D． 4  【答案】A 【解析】将函数 f（x）＝sin2x＋1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），可得 y＝sin（2 1 2  x）=sinx＋1 的图象，即 g（x）=sinx＋1．故 T＝2π．故选 A． 3．（2019·全国高一课时练）设 g(x)的图象是由函数 f(x)＝cos2x的图象向左平移 3  个单位得到的，则 g( 6  )等于( ) A．1 B． 1 2 − C．0 D．－1 【答案】D 【解析】由 f(x)＝cos2x的图象向左平移 3  个单位得到的是 g(x)＝cos[2（x 3  + ）]的图象， 则 g( 6  )＝cos[2（ 6 3   + ）]=cosπ=-1.故选 D． 4．（2019·全国高一课时练）要得到函数 y＝sin x的图象，只需将函数 y＝cos（2x 4  − ）的图象上所 有的点( ) A．横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再向左平移 8  个单位长度 2 B．横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再向右平移 4  个单位长度 C．横坐标伸长到原来的 1 2 倍(纵坐标不变)，再向右平移 4  个单位长度 D．横坐标伸长到原来的 1 2 (纵坐标不变)，再向左平移 8  个单位长度 【答案】B 【解析】将函数 y=cos（2x 4  − ）的图象上所有的点横伸长到原来的 2 倍， 可得 y=cos（x 4  − ）的图象， 再向右平移 4  个单位，可得 y c= os（x 2  − ）=sinx的图象，故选：B． 5．（2012·全国高一课时练习）把函数 cos 3 siny x x= − 的图象向左平移 ( 0)m m  个单位长度后， 所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是（ ） A． 6  B． 3  C． 2 3  D． 5 6  【答案】C 【解析】 cos 3 sin 2cos( ) 3 y x x x  = − = + ，将其图像向左平移 ( 0)m m  个单位长度后得到函数 2cos( ) 3 y x m  = + + 的图象，则其对称轴为 ( ) 3 x m k k Z  + + =  即 ( ) 3 x m k k Z  = − − +  ， 所以 ( ) 0 3 m k k Z  − − +  = ，则 ( ) 3 m k k Z  = − +  。因为 0m  ，所以m 的最小值为 2 3  ， 故选 C 6．（2019·高一课时练）已知函数 ( ) cosf x x= ( ), 0x R   的最小正周期为 ， 为了得到函数 ( ) sin( ) 4 g x x  = + .的图象，只要将 ( )y f x= 的图象（ ） A．向左平移 8  个单位长度 B．向右平移 8  个单位长度 C．向左平移 4  个单位长度 D．向右平移 4  个单位长度 【答案】B 【解析】由于 ( ) ( )cosf x x= 的最小正周期为 ，所以 2 2 T   = = . 所以 ( ) cos 2f x x= sin(2 ) 2 x  = + .所以将函数 ( )y f x= 向右平移 8  ，即可得到 ( ) sin 2 sin(2 ) 8 2 4 g x x x      = − + = +      .本题选择 B选项. 3 二、填空题 7．（2019·河北省魏县第五中学高一月考）为得到函数 2sin 3y x= 的图象，只需将函数 siny x= 的 图象横坐标________到原来的_________倍，再将纵坐标伸长到原来的 2 倍； 【答案】缩短 1 3 【解析】 siny x= 横坐标缩小为原来的 1 3 倍，得到 sin 3y x= ，再将纵坐标伸长到原来的2 倍得到 2sin 3y x= .故答案为：缩短； 1 3 8．（2019·全国高一课时练）若将函数 y=cos 2x的图象向左平移 π 12 个单位长度,则平移后的函数对称 轴为_____. 【答案】x= π π 2 12 k − (k∈Z) 【解析】由题意，将函数 cos 2y x= 的的图象向左平移 π 12 个单位长度后得到 π π cos 2 cos 2 12 6 y x x     = + = +        的图象,令 π 2 6 x k+ = ，求得 2 12 k x   = − ， 故平移后函数的对称轴为 ( ) 2 12 k x k Z   = −  故答案为 ( ) 2 12 k x k Z   = −  9.（2019·全国高一课时练）正弦函数 f(x)＝Asin(ωx＋ φ)＋k(A>0，ω>0)的定义域为 R，周期为 2 3  ， 初相为 6  ，值域为[－1,3]，则 f(x)＝________. 【答案】2sin 3 6 x   +    ＋1 【解析】由值域[－1,3]知，A＝ 3 6 x   +    [3－(－1)]＝2， ∴k＝1.周期 T＝ 2  ＝ 2 3  ，∴ω＝3，∴f(x)＝2sin 3 6 x   +    ＋1. 10．（2019·江西宜春九中高一月考）关于函数 3 ( ) 2sin(3 ) 4 f x x  = − ，有下列命题：①其最小正周期是 2 3  ；②其图象可由 2sin 3y x= 的图象向左平移 4  个单位得到；③其表达式可改写 2cos(3 ) 4 y x  = − ；④在 5 , 12 12 x        上为增函数．其中正确的命题的序是：______． 【答案】①④ 4 【解析】解： 3 ( ) 2sin(3 ) 4 f x x  = − ， 2 3 T  = ，则命题①正确； 由 3 ( ) 2sin(3 ) 2sin3( ) 4 4 f x x x   = − = − ，得，由 2sin 3y x= 的图象向右平移 4  个单位得到 3 ( ) 2sin(3 ) 4 f x x  = − ，命题②错误； 3 ( ) 2sin(3 ) 2sin(3 ) 2cos(3 ) 4 4 2 4 f x x x x     = − = − − = − − ，命题③ 错误；当 5 , 12 12 x        时， 3 3 [ , ] 4 2 2 x    −  − ，在 5 , 12 12 x        上为增函数，命题④正确． 三、解答题 11．（2019·福建省宁德第一中学高一月考）函数 ( ) ( )sinf x A x= +  （ A、、 常数， 0A  ， 0 ， 2    ）的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数 ( )f x 的解析式； （Ⅱ）将函数 ( )f x 的图象向左平移 6  单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数 ( )g x 的图象， 求函数 ( )g x 的单调递减区间. 【答案】（Ⅰ） ( ) 2sin 2 3 f x x   = +    ；（Ⅱ） ( ) 5 , 12 12 k k k Z       − +     . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）先计算出 ( ) ( ) max min 2 f x f x A − = ，由函数图象得出 ( )y f x= 的最小正周期T ，再由公式 2 T   = 求出的值，然后将点 7 , 2 12   −    代入函数解析式并结合 的取值范围求出 的值，由此可 得出函数 ( )y f x= 的解析式； （Ⅱ）利用图象变换得出函数 ( )y g x= 的解析式为 ( ) 2 2sin 2 1 3 g x x   = + +    ，然后解不等式 5 ( ) 2 3 2 2 2 2 3 2 k x k k Z     +  +  +  ，可得出函数 ( )y g x= 的单调递减区间. 【详解】 （Ⅰ）由图可知， ( ) ( ) ( )max min 2 2 2 2 2 f x f x A − − − = = = ， 设函数 ( )y f x= 的最小正周期为T ，则 7 4 12 3 4 T    = − = ， T  = ，则 2 2 T   = = ， ( ) ( )2sin 2f x x  = + ， 由图象可知 7 7 7 2sin 2 2sin 2 12 12 6 f            =  + = + = −            ， 7 sin 1 6      + = −    ， 2 2   −   ， 2 7 5 3 6 3      +  ， 7 3 6 2    + = ， 3   = ， 因此， ( ) 2sin 2 3 f x x   = +    ； （Ⅱ）由题意可得 ( ) 2 2sin 2 1 2sin 2 1 6 3 3 g x x x        = + + + = + +          ， 由 ( ) 2 3 2 2 2 2 3 2 k x k k Z     +  +  +  ，得 ( ) 5 12 12 k x k k Z    −   +  . 因此，函数 ( )y g x= 的单调递减区间为 ( ) 5 , 12 12 k k k Z       − +     . 12．（2019·江西宜春九中高一月考）已知 2 n 2) 3 ( sif x x   = +    （1）求函数 ( )f x 的对称轴和对称中心 （2）用五点作图法画出函数在一个周期内的图像（要列表） 【答案】(1) 对称轴为直线 1 12 2 x k  = + .对称中心： ,0 , 2 6 k k Z    −     (2)见解析 6 【解析】（1）令2 , 3 2   + = + x k k Z .则对称轴为直线 1 12 2 x k  = + . 令 2 , 3 x k k Z  + =  则对称中心： ,0 , 2 6 k k Z    −     （2）列表如下： 2 3 x  + 0 2   3 2  2 x 6  − 12  3  7 12  5 6  y 0 2 0 -2 0