1
第五章 三角函数
5.6 函数 y=Asin(ωx+φ )的图像
一、选择题
1.(2019·高一课时练)要得到函数 3sin(2 )
4
y x
= + 的图像,只需将函数 3sin 2y x= 的图像( )
A.向左平移
4
个单位 B.向右平移
4
个单位
C.向左平移
8
个单位 D.向右平移
8
个单位
【答案】C
【解析】因为 3sin 2 3sin 2
4 8
y x x
= + = +
,所以由 y=3sin2x 的图象向左平移
8
个单位得
到. 故选 C.
2.(2019·全国高一课时练)把函数 f(x)=sin 2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐
标不变),得到函数 g(x)的图象,则 g(x)的最小正周期为( )
A.2π B.π C.
2
D.
4
【答案】A
【解析】将函数 f(x)=sin2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),可得
y=sin(2
1
2
x)=sinx+1 的图象,即 g(x)=sinx+1.故 T=2π.故选 A.
3.(2019·全国高一课时练)设 g(x)的图象是由函数 f(x)=cos2x的图象向左平移
3
个单位得到的,则
g(
6
)等于( )
A.1 B.
1
2
− C.0 D.-1
【答案】D
【解析】由 f(x)=cos2x的图象向左平移
3
个单位得到的是 g(x)=cos[2(x
3
+ )]的图象,
则 g(
6
)=cos[2(
6 3
+ )]=cosπ=-1.故选 D.
4.(2019·全国高一课时练)要得到函数 y=sin x的图象,只需将函数 y=cos(2x
4
− )的图象上所
有的点( )
A.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向左平移
8
个单位长度
2
B.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向右平移
4
个单位长度
C.横坐标伸长到原来的
1
2
倍(纵坐标不变),再向右平移
4
个单位长度
D.横坐标伸长到原来的
1
2
(纵坐标不变),再向左平移
8
个单位长度
【答案】B
【解析】将函数 y=cos(2x
4
− )的图象上所有的点横伸长到原来的 2 倍,
可得 y=cos(x
4
− )的图象,
再向右平移
4
个单位,可得 y c= os(x
2
− )=sinx的图象,故选:B.
5.(2012·全国高一课时练习)把函数 cos 3 siny x x= − 的图象向左平移 ( 0)m m 个单位长度后,
所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( )
A.
6
B.
3
C.
2
3
D.
5
6
【答案】C
【解析】 cos 3 sin 2cos( )
3
y x x x
= − = + ,将其图像向左平移 ( 0)m m 个单位长度后得到函数
2cos( )
3
y x m
= + + 的图象,则其对称轴为 ( )
3
x m k k Z
+ + = 即 ( )
3
x m k k Z
= − − + ,
所以 ( ) 0
3
m k k Z
− − + = ,则 ( )
3
m k k Z
= − + 。因为 0m ,所以m 的最小值为
2
3
,
故选 C
6.(2019·高一课时练)已知函数 ( ) cosf x x= ( ), 0x R 的最小正周期为 ,
为了得到函数 ( ) sin( )
4
g x x
= + .的图象,只要将 ( )y f x= 的图象( )
A.向左平移
8
个单位长度 B.向右平移
8
个单位长度
C.向左平移
4
个单位长度 D.向右平移
4
个单位长度
【答案】B
【解析】由于 ( ) ( )cosf x x= 的最小正周期为 ,所以
2
2
T
= = .
所以 ( ) cos 2f x x= sin(2 )
2
x
= + .所以将函数 ( )y f x= 向右平移
8
,即可得到
( ) sin 2 sin(2 )
8 2 4
g x x x
= − + = +
.本题选择 B选项.
3
二、填空题
7.(2019·河北省魏县第五中学高一月考)为得到函数 2sin 3y x= 的图象,只需将函数 siny x= 的
图象横坐标________到原来的_________倍,再将纵坐标伸长到原来的 2 倍;
【答案】缩短
1
3
【解析】 siny x= 横坐标缩小为原来的
1
3
倍,得到 sin 3y x= ,再将纵坐标伸长到原来的2 倍得到
2sin 3y x= .故答案为:缩短;
1
3
8.(2019·全国高一课时练)若将函数 y=cos 2x的图象向左平移
π
12
个单位长度,则平移后的函数对称
轴为_____.
【答案】x=
π π
2 12
k
− (k∈Z)
【解析】由题意,将函数 cos 2y x= 的的图象向左平移
π
12
个单位长度后得到
π π
cos 2 cos 2
12 6
y x x
= + = +
的图象,令
π
2
6
x k+ = ,求得
2 12
k
x
= − ,
故平移后函数的对称轴为 ( )
2 12
k
x k Z
= − 故答案为 ( )
2 12
k
x k Z
= −
9.(2019·全国高一课时练)正弦函数 f(x)=Asin(ωx+ φ)+k(A>0,ω>0)的定义域为 R,周期为
2
3
,
初相为
6
,值域为[-1,3],则 f(x)=________.
【答案】2sin 3
6
x
+
+1
【解析】由值域[-1,3]知,A= 3
6
x
+
[3-(-1)]=2,
∴k=1.周期 T=
2
=
2
3
,∴ω=3,∴f(x)=2sin 3
6
x
+
+1.
10.(2019·江西宜春九中高一月考)关于函数
3
( ) 2sin(3 )
4
f x x
= − ,有下列命题:①其最小正周期是
2
3
;②其图象可由 2sin 3y x= 的图象向左平移
4
个单位得到;③其表达式可改写
2cos(3 )
4
y x
= − ;④在
5
,
12 12
x
上为增函数.其中正确的命题的序是:______.
【答案】①④
4
【解析】解:
3
( ) 2sin(3 )
4
f x x
= − ,
2
3
T
= ,则命题①正确;
由
3
( ) 2sin(3 ) 2sin3( )
4 4
f x x x
= − = − ,得,由 2sin 3y x= 的图象向右平移
4
个单位得到
3
( ) 2sin(3 )
4
f x x
= − ,命题②错误;
3
( ) 2sin(3 ) 2sin(3 ) 2cos(3 )
4 4 2 4
f x x x x
= − = − − = − − ,命题③
错误;当
5
,
12 12
x
时,
3
3 [ , ]
4 2 2
x
− − ,在
5
,
12 12
x
上为增函数,命题④正确.
三、解答题
11.(2019·福建省宁德第一中学高一月考)函数 ( ) ( )sinf x A x= + ( A、、 常数, 0A ,
0 ,
2
)的部分图象如图所示.
(Ⅰ)求函数 ( )f x 的解析式;
(Ⅱ)将函数 ( )f x 的图象向左平移
6
单位长度,再向上平移1个单位长度得到函数 ( )g x 的图象,
求函数 ( )g x 的单调递减区间.
【答案】(Ⅰ) ( ) 2sin 2
3
f x x
= +
;(Ⅱ) ( )
5
,
12 12
k k k Z
− +
.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)先计算出
( ) ( )
max min
2
f x f x
A
−
= ,由函数图象得出 ( )y f x= 的最小正周期T ,再由公式
2
T
= 求出的值,然后将点
7
, 2
12
−
代入函数解析式并结合 的取值范围求出 的值,由此可
得出函数 ( )y f x= 的解析式;
(Ⅱ)利用图象变换得出函数 ( )y g x= 的解析式为 ( )
2
2sin 2 1
3
g x x
= + +
,然后解不等式
5
( )
2 3
2 2 2
2 3 2
k x k k Z
+ + + ,可得出函数 ( )y g x= 的单调递减区间.
【详解】
(Ⅰ)由图可知,
( ) ( ) ( )max min
2 2
2
2 2
f x f x
A
− − −
= = = ,
设函数 ( )y f x= 的最小正周期为T ,则
7
4 12 3 4
T
= − = , T = ,则
2
2
T
= = ,
( ) ( )2sin 2f x x = + ,
由图象可知
7 7 7
2sin 2 2sin 2
12 12 6
f
= + = + = −
,
7
sin 1
6
+ = −
,
2 2
− ,
2 7 5
3 6 3
+ ,
7 3
6 2
+ = ,
3
= ,
因此, ( ) 2sin 2
3
f x x
= +
;
(Ⅱ)由题意可得 ( )
2
2sin 2 1 2sin 2 1
6 3 3
g x x x
= + + + = + +
,
由 ( )
2 3
2 2 2
2 3 2
k x k k Z
+ + + ,得 ( )
5
12 12
k x k k Z
− + .
因此,函数 ( )y g x= 的单调递减区间为 ( )
5
,
12 12
k k k Z
− +
.
12.(2019·江西宜春九中高一月考)已知 2 n 2)
3
( sif x x
= +
(1)求函数 ( )f x 的对称轴和对称中心
(2)用五点作图法画出函数在一个周期内的图像(要列表)
【答案】(1) 对称轴为直线
1
12 2
x k
= + .对称中心: ,0 ,
2 6
k
k Z
−
(2)见解析
6
【解析】(1)令2 ,
3 2
+ = + x k k Z .则对称轴为直线
1
12 2
x k
= + .
令 2 ,
3
x k k Z
+ = 则对称中心: ,0 ,
2 6
k
k Z
−
(2)列表如下:
2
3
x
+ 0
2
3
2
2
x
6
−
12
3
7
12
5
6
y 0 2 0 -2 0