人教A版(2019)必修一同步练习题5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)(1)
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人教A版(2019)必修一同步练习题5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)(1)

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资料简介
1 第五章 三角函数 5.6 函数 y=Asin(ωx+φ )的图像 一、选择题 1.(2019·高一课时练)要得到函数 3sin(2 ) 4 y x  = + 的图像,只需将函数 3sin 2y x= 的图像( ) A.向左平移 4  个单位 B.向右平移 4  个单位 C.向左平移 8  个单位 D.向右平移 8  个单位 【答案】C 【解析】因为 3sin 2 3sin 2 4 8 y x x       = + = +          ,所以由 y=3sin2x 的图象向左平移 8  个单位得 到. 故选 C. 2.(2019·全国高一课时练)把函数 f(x)=sin 2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐 标不变),得到函数 g(x)的图象,则 g(x)的最小正周期为( ) A.2π B.π C. 2  D. 4  【答案】A 【解析】将函数 f(x)=sin2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),可得 y=sin(2 1 2  x)=sinx+1 的图象,即 g(x)=sinx+1.故 T=2π.故选 A. 3.(2019·全国高一课时练)设 g(x)的图象是由函数 f(x)=cos2x的图象向左平移 3  个单位得到的,则 g( 6  )等于( ) A.1 B. 1 2 − C.0 D.-1 【答案】D 【解析】由 f(x)=cos2x的图象向左平移 3  个单位得到的是 g(x)=cos[2(x 3  + )]的图象, 则 g( 6  )=cos[2( 6 3   + )]=cosπ=-1.故选 D. 4.(2019·全国高一课时练)要得到函数 y=sin x的图象,只需将函数 y=cos(2x 4  − )的图象上所 有的点( ) A.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向左平移 8  个单位长度 2 B.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向右平移 4  个单位长度 C.横坐标伸长到原来的 1 2 倍(纵坐标不变),再向右平移 4  个单位长度 D.横坐标伸长到原来的 1 2 (纵坐标不变),再向左平移 8  个单位长度 【答案】B 【解析】将函数 y=cos(2x 4  − )的图象上所有的点横伸长到原来的 2 倍, 可得 y=cos(x 4  − )的图象, 再向右平移 4  个单位,可得 y c= os(x 2  − )=sinx的图象,故选:B. 5.(2012·全国高一课时练习)把函数 cos 3 siny x x= − 的图象向左平移 ( 0)m m  个单位长度后, 所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( ) A. 6  B. 3  C. 2 3  D. 5 6  【答案】C 【解析】 cos 3 sin 2cos( ) 3 y x x x  = − = + ,将其图像向左平移 ( 0)m m  个单位长度后得到函数 2cos( ) 3 y x m  = + + 的图象,则其对称轴为 ( ) 3 x m k k Z  + + =  即 ( ) 3 x m k k Z  = − − +  , 所以 ( ) 0 3 m k k Z  − − +  = ,则 ( ) 3 m k k Z  = − +  。因为 0m  ,所以m 的最小值为 2 3  , 故选 C 6.(2019·高一课时练)已知函数 ( ) cosf x x= ( ), 0x R   的最小正周期为 , 为了得到函数 ( ) sin( ) 4 g x x  = + .的图象,只要将 ( )y f x= 的图象( ) A.向左平移 8  个单位长度 B.向右平移 8  个单位长度 C.向左平移 4  个单位长度 D.向右平移 4  个单位长度 【答案】B 【解析】由于 ( ) ( )cosf x x= 的最小正周期为 ,所以 2 2 T   = = . 所以 ( ) cos 2f x x= sin(2 ) 2 x  = + .所以将函数 ( )y f x= 向右平移 8  ,即可得到 ( ) sin 2 sin(2 ) 8 2 4 g x x x      = − + = +      .本题选择 B选项. 3 二、填空题 7.(2019·河北省魏县第五中学高一月考)为得到函数 2sin 3y x= 的图象,只需将函数 siny x= 的 图象横坐标________到原来的_________倍,再将纵坐标伸长到原来的 2 倍; 【答案】缩短 1 3 【解析】 siny x= 横坐标缩小为原来的 1 3 倍,得到 sin 3y x= ,再将纵坐标伸长到原来的2 倍得到 2sin 3y x= .故答案为:缩短; 1 3 8.(2019·全国高一课时练)若将函数 y=cos 2x的图象向左平移 π 12 个单位长度,则平移后的函数对称 轴为_____. 【答案】x= π π 2 12 k − (k∈Z) 【解析】由题意,将函数 cos 2y x= 的的图象向左平移 π 12 个单位长度后得到 π π cos 2 cos 2 12 6 y x x     = + = +        的图象,令 π 2 6 x k+ = ,求得 2 12 k x   = − , 故平移后函数的对称轴为 ( ) 2 12 k x k Z   = −  故答案为 ( ) 2 12 k x k Z   = −  9.(2019·全国高一课时练)正弦函数 f(x)=Asin(ωx+ φ)+k(A>0,ω>0)的定义域为 R,周期为 2 3  , 初相为 6  ,值域为[-1,3],则 f(x)=________. 【答案】2sin 3 6 x   +    +1 【解析】由值域[-1,3]知,A= 3 6 x   +    [3-(-1)]=2, ∴k=1.周期 T= 2  = 2 3  ,∴ω=3,∴f(x)=2sin 3 6 x   +    +1. 10.(2019·江西宜春九中高一月考)关于函数 3 ( ) 2sin(3 ) 4 f x x  = − ,有下列命题:①其最小正周期是 2 3  ;②其图象可由 2sin 3y x= 的图象向左平移 4  个单位得到;③其表达式可改写 2cos(3 ) 4 y x  = − ;④在 5 , 12 12 x        上为增函数.其中正确的命题的序是:______. 【答案】①④ 4 【解析】解: 3 ( ) 2sin(3 ) 4 f x x  = − , 2 3 T  = ,则命题①正确; 由 3 ( ) 2sin(3 ) 2sin3( ) 4 4 f x x x   = − = − ,得,由 2sin 3y x= 的图象向右平移 4  个单位得到 3 ( ) 2sin(3 ) 4 f x x  = − ,命题②错误; 3 ( ) 2sin(3 ) 2sin(3 ) 2cos(3 ) 4 4 2 4 f x x x x     = − = − − = − − ,命题③ 错误;当 5 , 12 12 x        时, 3 3 [ , ] 4 2 2 x    −  − ,在 5 , 12 12 x        上为增函数,命题④正确. 三、解答题 11.(2019·福建省宁德第一中学高一月考)函数 ( ) ( )sinf x A x= +  ( A、、 常数, 0A  , 0 , 2    )的部分图象如图所示. (Ⅰ)求函数 ( )f x 的解析式; (Ⅱ)将函数 ( )f x 的图象向左平移 6  单位长度,再向上平移1个单位长度得到函数 ( )g x 的图象, 求函数 ( )g x 的单调递减区间. 【答案】(Ⅰ) ( ) 2sin 2 3 f x x   = +    ;(Ⅱ) ( ) 5 , 12 12 k k k Z       − +     . 【解析】 【分析】 (Ⅰ)先计算出 ( ) ( ) max min 2 f x f x A − = ,由函数图象得出 ( )y f x= 的最小正周期T ,再由公式 2 T   = 求出的值,然后将点 7 , 2 12   −    代入函数解析式并结合 的取值范围求出 的值,由此可 得出函数 ( )y f x= 的解析式; (Ⅱ)利用图象变换得出函数 ( )y g x= 的解析式为 ( ) 2 2sin 2 1 3 g x x   = + +    ,然后解不等式 5 ( ) 2 3 2 2 2 2 3 2 k x k k Z     +  +  +  ,可得出函数 ( )y g x= 的单调递减区间. 【详解】 (Ⅰ)由图可知, ( ) ( ) ( )max min 2 2 2 2 2 f x f x A − − − = = = , 设函数 ( )y f x= 的最小正周期为T ,则 7 4 12 3 4 T    = − = , T  = ,则 2 2 T   = = , ( ) ( )2sin 2f x x  = + , 由图象可知 7 7 7 2sin 2 2sin 2 12 12 6 f            =  + = + = −            , 7 sin 1 6      + = −    , 2 2   −   , 2 7 5 3 6 3      +  , 7 3 6 2    + = , 3   = , 因此, ( ) 2sin 2 3 f x x   = +    ; (Ⅱ)由题意可得 ( ) 2 2sin 2 1 2sin 2 1 6 3 3 g x x x        = + + + = + +          , 由 ( ) 2 3 2 2 2 2 3 2 k x k k Z     +  +  +  ,得 ( ) 5 12 12 k x k k Z    −   +  . 因此,函数 ( )y g x= 的单调递减区间为 ( ) 5 , 12 12 k k k Z       − +     . 12.(2019·江西宜春九中高一月考)已知 2 n 2) 3 ( sif x x   = +    (1)求函数 ( )f x 的对称轴和对称中心 (2)用五点作图法画出函数在一个周期内的图像(要列表) 【答案】(1) 对称轴为直线 1 12 2 x k  = + .对称中心: ,0 , 2 6 k k Z    −     (2)见解析 6 【解析】(1)令2 , 3 2   + = + x k k Z .则对称轴为直线 1 12 2 x k  = + . 令 2 , 3 x k k Z  + =  则对称中心: ,0 , 2 6 k k Z    −     (2)列表如下: 2 3 x  + 0 2   3 2  2 x 6  − 12  3  7 12  5 6  y 0 2 0 -2 0

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