高中数学人教A版（2019）必修一同步练习题5.5 三角恒等变换

1 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 （用时 45 分钟） 【选题明细表】 知识点、方法 题号 给角求值 1,6,8 给值求值 2,5,7,10 给值求角 4,13 二倍角公式 3,11 综合运用 9,12,14 基础巩固 1．cos15的值是（ ） A． 6 2 2 − B． 6 2 2 + C． 6 2 4 − D． 6 2 4 + 【答案】D 【解析】 ( ) 2 3 2 1 6 2 cos15 cos 45 30 cos 45 cos30 sin 45 sin 30 2 2 2 2 4 +  = −  =  +   =  +  = ，故 选：D. 2．已知 为锐角， 为第三象限角，且 12 cos 13  = ， 3 sin 5  = − ，则 ( )cos  − 的值为（ ） A． 63 65 − B． 33 65 − C． 63 65 D． 33 65 【答案】A 【解析】 为锐角，且 12 cos 13  = ， 2 5 sin 1 cos 13   = − = .  为第三象限角，且 3 sin 5  = − ， 2 4 cos 1 sin 5   = − − = − ， ( ) 12 4 5 3 cos cos cos sin sin 13 5 13 5            − = + =  − +  −        2 63 65 = − .故选 A. 3．已知 4 cos( ) 5  − = ，则 为第三象限角，则 tan 2 的值等于（ ） A． 3 4 B． 3 4 − C． 24 7 D． 24 7 − 【答案】C 【解析】∵ ( ) 4 5 cos  − = = − cosα，∴cosα 4 5 = − ，∵α 为第三象限角，∴sinα 2 3 1 5 cos = − − = − ， ∴tanα 3 4 sin cos   = = ， 则 tan2α 2 2 24 1 7 tan tan   = = − ， 故选：C． 4．若 5 sin 5 A = ， 10 sin 10 B = ，且 A，B 均为钝角，则 A B+ 的值为（ ） A． 7 3  B． 7 4  C． 3 2  D． 6 5  【答案】B 【解析】 A， B 均为钝角且 5 sin 5 A = ， 10 sin 10 B = ， 2 2 5 cos 1 sin 5 A A = − − = − ， 2 3 10 cos 1 sin 10 B B= − − = − ， ( ) 2 5 3 10 cos cos cos sin sin 5 10 A B A B A B      + = − = −  −           5 10 2 5 10 2 −  = ①，又 2 A    ， 2 B    ， 2A B   +  ②，由①②，知 7 4 A B  + = . 故选：B 5．已知 1 cos 6 3 x   − = −    ，则cos cos 3 x x   + −    的值为（ ） A． 3 3 B． 3 C． 3 3 − D． 3− 【答案】C 【解析】因为 1 cos 6 3 x   − = −    ， 3 所以 1 cos cos sin sin 6 6 3 x x   + = − 即 3 1 1 cos sin 2 2 3 x x+ = − 而所求的cos cos 3 x x   + −    cos cos cos sin sin 3 3 x x x   = + + 3 3 cos sin 2 2 x x= + 3 1 3 cos sin 2 2 x x   = +     3 3 = − 故选：C. 6．计算：sin 23 cos 22 sin 67 sin 22  +   = ______________ 【答案】 2 2 【解析】 sin 67 sin(90 23 ) cos 23 = −  =  2 sin 23 cos 22 sin 67 sin 22 sin 23 cos 22 cos 23 sin 22 sin(23 22 ) sin 45 2   +   =  +   = +  =  = 故答案为： 2 2 7． 4 sin( )cos cos( )sin 5      − − − = ，且 是第四象限角，则cos 2  = ______. 【答案】 2 5 5  【解析】由题, sin( )cos cos( )sin     − − − = ( ) 4 sin sin 5    − − = − =   , 4 sin 5  = −  是第四象限角, 4 3 cos 5  = 2   是第二、四象限角, ( )2 1 1 3 4 cos 1 cos 1 2 2 2 5 5      = + =  + =    2 5 cos 2 5   =  本题答案为： 2 5 5  8．不用计算器，求值： sin 7 cos15 sin8 cos7 sin15 sin8 +   −   。 【答案】2 3− 【解析】 sin 7 cos15 sin8 sin(15 8 ) cos15 sin8 sin15 cos8 tan15 cos7 sin15 sin8 cos(15 8 ) sin15 sin8 cos15 cos8 +   −  +     = = =  −   −  −     3 1 tan 45 tan 30 3tan15 tan(45 30 ) 2 3 1 tan 45 tan 30 3 1 3 − −   = −  = = = − +   + 9．已知角 的终边过点 ( )4 3P ,− . （1）求 ( ) ( ) tan 3 sin 5 cos 2    +   − − +    的值； （2）若 为第三象限角，且 4 tan 3  = ，求 ( )cos  − 的值. 【答案】（1） 5 8 − ；（2）0. 【解析】（1）因为角 的终边过点 ( )4 3P ,− ， 所以 3 sin 5  = ， 4 cos 5  = − ， 所以 ( ) ( ) sin tan 3 1 5cos sin sin 2cos 8 sin 5 cos 2         + = = = −  +  − − +    . 5 （2）因为 为第三象限角，且 4 tan 3  = ， 所以 4 sin 5  = − ， 3 cos 5  = − . 由（1），知 3 sin 5  = ， 4 cos 5  = − ， 所以 ( ) 4 3 3 4 cos cos cos sin sin 0 5 5 5 5           − = + = −  − +  − =        . 能力提升 10．已知 ( ) 3 cos 5  − = ， 5 sin 13  = − ，且 0, 2         ， ,0 2      −    ，则cos =（ ） A． 33 65 B． 56 65 C． 33 65 − D． 56 65 − 【答案】B 【解析】 0 2 0 2         −    ， 0     −  .又 ( ) 3 cos 5  − = ， ( ) ( )2 4 sin 1 cos 5     − = − − = . 0 2  −   ， 5 sin 13  = − ， 12 cos 13  = ， ( ) ( ) ( ) 56 cos cos cos cos sin sin 65            = − + = − − − =  . 故选：B 11．设 1 sin 3  = ，2 3   ，则sin cos 2 2   + =（ ） A． 2 3 3 − B． 2 3 3 C． 4 3 D． 3 3 − 【答案】A 【解析】 1 sin 3  = ,先将sin cos 2 2   + 平方得： 2 2 2 4 sin cos sin 2sin cos cos 1 sin 2 2 2 2 2 2 3          + = + + = + =    . 又 2 3    , 3 2 2      在第三象限, 则 sin 0,cos 0 2 2     , 6 2 3 sin cos 2 2 3    + = − . 故选:A 12．已知 tan 、tan  是关于 x 的一元二次方程 2 4 5 0x x − =+ 的两实根，则 sin( ) cos( )     + = − ________. 【答案】1 【解析】 sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin             + + = − + ,上下同时除以cos cos  得 tan tan 1 tan tan     + + , 又 tan 、 tan  是关于 x 的一元二次方程 2 4 5 0x x − =+ 的两实根, 故 tan tan 4, tan tan 5   + = −  = − ,所以 tan tan 4 1 1 tan tan 1 5     + − = = + − ,即 sin( ) 1 cos( )     + = − . 故答案为：1 13．已知 3 2     ， 3 2     ， 5 sin 5  = − ， 10 cos 10  = − ，求 − 的值. 【答案】 4  − 【解析】由于 3 2     ， 3 2     ， 5 sin 5  = − ， 10 cos 10  = − ，所以 2 2 5 cos 1 sin 5  = − − = − ， 2 3 10 sin 1 cos 10  = − − = − ，所以 ( ) 5 10 3 10 2 5 2 sin 5 10 10 5 2  − =  −  = − ，由于 , 2 2       −  −    ，所以 4   − = − . 素养达成 14．已知函数 ( ) ( )sin 2 cos cos 2 sin ,0f x x x x  = +    R ， 3 4 2 f   =    . 7 （1）求 ( )f x 的解析式； （2）若 5 2 3 13 f    − =    ， , 2          ，求sin 4     +    的值. 【答案】（1） ( ) sin 2 6 f x x   +  =   ； （2） 7 2 26 . 【解析】（1）由 3 4 2 f   =    ，可得 3 sin cos cos sin 2 2 2     + = ，所以 3 cos 2  = . 又0    ，所以 6 π = ， 所以 ( ) sin 2 cos cos 2 sin sin 2 6 6 6 f x x x x     = + = +    . （2）由 5 2 3 13 f    − =    ，可得 5 sin 2 2 3 6 13     − + =      ， 即 5 sin 2 13    − =    ，所以 5 cos 13  = − . 又 , 2          ，所以 2 2 5 12 sin 1 cos 1 13 13     = − = − − =    ， 所以 12 2 5 2 7 2 sin sin cos cos sin 4 4 4 13 2 13 2 26        + = + =  −  =    .