高中数学人教A版（2019）必修一同步练习题2.1 等式性质与不等式性质

1 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质（共 2 课时） （第 1 课时） 一、选择题 1．【2018-2019 学年】下列说法正确的是( ) A.某人月收入 x 不高于2000 元可表示为" 2 000x < " B.小明的身高 x ,小华的身高 y ,则小明比小华矮表示为" x y> " C.某变量 x 至少是a可表示为" x a≥ " D.某变量 y 不超过a可表示为" y a≥ " 【答案】C 【解析】对于 ,A x应满足 2 000,x ≤ 故 A错;对于 , ,B x y 应满足 x y< ,故 B 不正确; C 正确; 对于 ,D y与 a的关系可表示为 y a≤ ,故 D错误. 2．【2018-2019 期中】3.已知 ( )1 2, 0,1a a ∈ ,记 1 2M a a= , 1 2 1N a a= + − ,则 M 与 N 的大 小关系是( ) A. M N< B. M N> C. M N= D.不确定 【答案】B 【解析】由题意得 ( )( )1 2 1 2 1 21 1 1 0M N a a a a a a− = − − + = − − > ,故M N> .故选 B 3. 【2018-2019 莆田二中期末】某同学参加期末模拟考试，考后对自己的语文和数学成绩进行了如 下估计：语文成绩 ( )x 高于 85 分，数学成绩 ( )y 不低于 80 分，用不等式组可以表示为 ( ) A． 85 80 x y >    B ． 85 80 x x   D． 85 80 x y >   ∴   ，故选： A． 2 4．【2018-2019 月考】有一家三口的年龄之和为 65 岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分 别为 x 、 y 、 z ，则下列选项中能反映 x 、 y 、 z 关系的是 ( ) A． 65x y z+ + = B ． 65x y z x z y z + + =  >  > C ． 65 0 0 x y z x z y z + + =  > >  > > D． 65 65 65 65 x y z x y z + + =  > ．故选：C ． 5. 【2018-2019 六安中学月考】若 2x ≠ − 且 1y ≠ ,则 2 2 4 2M x y x y= + + − 的值与 5− 的大小关系 是( ) A. 5M > − B. 5M < − C. 5M ≥ − D. 5M ≤ − 【答案】A 【解析】 ( ) 2 25 4 2 5M x y x y− − = + + − + ( ) ( )2 22 1x y= + + − , ∵ 2, 1x y≠ − ≠ ,∴ ( )22 0x + > , ( )21 0y − > ,因此 ( ) ( )2 22 1 0x y+ + − > .故 5M > − . 6．【2018-2019 攀枝花市级联考】某公司从 2016 年起每人的年工资主要由三个项目组成并按下表规 定实施： 项目 计算方法 基础工资 2016 年 1 万元，以后每年逐增10% 住房补贴 按工龄计算：400 元×工龄 医疗费 每年 1600 元固定不变 若该公司某职工在 2018 年将得到的住房补贴与医疗费之和超过基础工资的25% ，到 2018 年底这 位职工的工龄至少是 ( ) A．2 年 B ．3 年 C ．4 年 D．5 年 【答案】C 3 【解析】设这位职工工龄至少为 x 年，则 2400 1600 10000 (1 10%) 25%x + > + × ， 即 400 1600 3025x + > ，即 3.5625x > ，所以至少为 4 年．故选：C ． 二、填空题 7．【2018-2019 】若 x∈R，则 x 1＋x2 E A与 A 1 2E A的大小关系为________． 【答案】 x 1＋x2≤ 1 2 【解析】∵ x 1＋x2－ 1 2＝ 2x－1－x2 2(1＋x2) ＝ －(x－1)2 2(1＋x2) ≤0，∴ x 1＋x2≤ 1 2. 8.【2018-2019 学年山东威海市期中】一辆汽车原来每天行驶 xkm ，如果该汽车每天行驶的路程比 原来多19km ，那么在 8 天内它的行程将超过2200km，用不等式表示为 ． 【答案】8( 19) 2200x + > 【解析】汽车原来每天行驶 xkm ，该汽车每天行驶的路程比原来多19km ， ∴现在汽车行驶的路程为 19x km+ ， 则 8 天内它的行程为8( 19)x km+ ， 若 8 天内它的行程将超过2200km， 则满足8( 19) 2200x + > ； 故答案为：8( 19) 2200x + > ； 9．【2017-2018 学年上海市金山中学】如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形 构成的,图(2)是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种关系用含字母 ( ),a b a b≠ 的不等式表示出来__________ 【答案】 ( )2 21 2 a b ab+ > 【解析】(1)中面积显然比(2)大,又(1)的面积 ( )2 2 2 2 1 1 , 2 S a b a b= + = + (2)的面积 2S ab= ,所以有 ( )2 21 2 a b ab+ > 10．【2018 广西玉林高一联考】近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/ 斤、b 元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买 3 斤鸡蛋，家庭主妇乙每周 买 10 元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠（两次平均价格低视为实惠）__________．（在横线 4 上填甲或乙即可） 【答案】乙 【解析】由题意得甲购买产品的平均单价为 3 3 6 2 a b a b+ + = ， 乙购买产品的平均单价为 20 2 10 10 ab a b a b = ++ ，由条件得a b≠ ． ∵ ( ) ( ) 2 2 0 2 2 a ba b ab a b a b −+ − = > + + ， ∴ 2 2 a b ab a b + > + ，即乙的购买方式更优惠． 三、解答题 11．【陕西省安康市高级中学检测】有一公园，原来是长方形布局，为美化市容，市规划局要对这 个公园进行规划，将其改成正方形布局，但要求要么保持原面积不变，要么保持原周长不变，那么 对这个公园选哪种布局方案可使其面积较大？ 【答案】见解析； 【解析】 设这个公园原来的长方形布局的长为 a,宽为 b(a>b).若保持原面积不变，则规划后的正 方形布局的面积为 ab;若保持周长不变，则规划后的正方形布局的周长为 2(a+b)，所以其边长为 2 ba + ,其面积为（ 2 ba + ）2.因为 ab-（ 2 ba + ）2 =ab- ( ) ( ) ( ) 0 44 4 4 222 < − −= +− = + babaabba (a>b),所以 ab 时. 1 2y y< ;当 1.25x < 时, 1 2y y> . 又 x 为正整数,所以当 1x = 时, 1 2y y> ,即两口之家应选择乙旅行社; 当 ( )1 xx x N> ∈ 时, 1 2y y< ,即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社. 2.1 等式性质与不等式性质（第 2 课时） 一、选择题 1．（2019 湖南高一期中）若 a＞b，c＞d，下列不等式正确的是（ ） A．c b d a− > − B． ac bd> C． a c b d− > − D． a b d c > 【答案】A 【解析】由题意，因为 a b> ，所以 a b− < − ，即 b a− > − ， 又因为c d> ，所以c b d a− > − ， 故选：A． 2．（2019·福建高二期末）若 , 0a b c ac> > < ，则下列不等式一定成立的是 A． 0ab > B． 0bc < C． ab ac> D． ( ) 0b a c− > 【答案】C 【解析】取 1, 0, 1a b c= = = − 代入，排除 A、B、D，故选：C。 3．（2019·哈尔滨市呼兰区第一中高一期中）设 1 1b a− < < < ，则下列不等式恒成立的是（ ） A． 1 1 b a > B． 1 1 b a < C． 22b a< D． 2b a< 【答案】D 【解析】因为 1 1b a− < < < ，所以 2 1b a< < 当 0b = 时，A,B 不成立，当 0.9, 1.1b a= = 时，C 不成立，综上选 D. 4．（2019 安徽郎溪中学高一期末）已知 ,a b为非零实数，且a b< ，则下列不等式成立的是（ ） A． 2 2a b< B． 1 1 a b > C． 2 2 1 1 ab a b < D． 1 1 a b a> − 【答案】C 【解析】对于 A，若 0a b< < ，则 0a b− > − > ，两边平方得到 2 2a b> ，故 A 不正确； 对于 B，若 0a b< < ，则 1 0 a < ， 1 0 b > ，则 1 1 a b < ，故 B 不正确； 6 对于 C， 2 2 2 2 1 1 a b ab a b a b − − = ，由于 ,a b为非零数，a b< ，则 0a b− < ， 2 2 0a b > ，故 2 2 2 2 1 1 0a b ab a b a b − − = < ，即 2 2 1 1 ab a b < ，所以 C 正确。 对于 D，若 0b a> > ，则 0a b− < ， 1 0 a b < − ， 1 0 a > ，则 1 1 a b a < − ，故 D 不正确； 5.（2019 福建高一期中）已知实数 , ,a b c 满足 c b a< < 且 0ac < ，则下列选项中不．一定成 立的是（ ） A．ab ac> B． ( ) 0c b a− > C． ( ) 0ac a c− < D． 2 2cb ab< 【答案】D 【解析】因为 c b a< < 且 0ac < ，故 0, 0c a< > ，所以ab ac> ，故 A 正确； 又 0b a− < ，故 ( ) 0c b a− > ，故 B 正确； 而 0, 0a c ac− > < ，故 ( ) 0ac a c− < ，故 C 正确； 当 0b = 时， 2 2cb ab= ，当 0b ≠ 时，有 2 2cb ab< ，故 2 2cb ab< 不一定成立， 综上，选 D. 6（2019 浙江高一月考）已知实数 x ， y 满足 4 1x y− ≤ − ≤ − ， 1 4 5x y− ≤ − ≤ ，则 9x y− 的取值范围是（ ） A．[ 7,26]− B．[ 1, 20]− C．[4,15] D．[1,15] 【答案】B 【解析】令m x y= − ， 4n x y= − ， , 3 4 3 n mx n my − =⇒  − =  , 则 8 5 5 5 209 4 1 , 3 3 3 3 3 z x y n m m m= − = − − ≤ ≤ − ∴ ≤ − ≤ 又 8 8 401 5 3 3 3 n n− ≤ ≤ ∴− ≤ ≤ ，因此 8 0 3 1 59 2 3 z x y n m− = − = − ≤≤ ，故本题选 B. 二、填空题 7．【2019 咸阳中学高一检测】已知不等式：①??2?? < ??3；② 1 ?? > 0 > 1 ?? ；③??3 < ????2，如果?? > 0 > 7 ??且??2 > ??2，则其中正确不等式的个数是_______； 【答案】2 【解析】因为?? > 0 > ??且??2 > ??2，所以?? > |??| > 0，①??2?? < ??3化简后是??2 > ??2，显然正确；② 1 ?? > 0 > 1 ??显然正确；③??3 < ????2化简后是??2 < ??2，显然不正确．故正确的不等式是①②，共 2 个．故答案为 2. 8．（2019·吉林省实验高二期中（文））已知 a，b，x 均为正数，且 a＞b，则 b a ____ b x a x + + （填 “＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】< 【解析】由题得 ( ) ( ) ( ) b b x ab bx ab ax b a x a a x a a x a x a + + − − − − = = + + + ， 因为 a>0,x+a>0,b-a0,所以 ( ) 0, ( ) b a x a x a − < + 所以 b b x a a x + < + . 9．（2019·浙江高一月考）已知12 60a< < ,15 36b< < ,则 a b 的取值范围为__________. 【答案】 1( , 4) 3 【解析】 1 1 10 15 36 0 36 15b b< < < ⇒ < < < ，而 12 600 a< ?? ?? ；③???? > ????， 以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？ 【答案】可组成 3 个正确命题． 【解析】（1）对②变形得 ?? ?? > ?? ?? ⇔ ????−???? ???? > 0， 由???? > 0,???? > ????得②成立，即①③⇒②． 8 （2）若???? > 0, ????−???? ???? > 0，则???? > ????，即①②⇒③． （3）若???? > ????， ????−???? ???? > 0，则???? > 0，即②③⇒①． 综上所述，可组成 3 个正确命题． 12．【沈阳市 2018-2019 高一】已知f(x) = ????2 − c,且－4≤f(1)≤－1,－1≤f(2)≤5,求 f(3) 的取值范围. 【答案】[−1,20] 【解析】由题意得� ?? (1) = ?? − ??, ??(2) = 4?? − ??, 解得� ?? = ??(2)−??(1) 3 , ?? = −4 3 ??(1) + 1 3 ??(2), 所以??(3) = 9?? − ?? = −5 3 ??(1) + 8 3 ??(2), 因为−4 ≤ ??(1) ≤ −1，所以 5 3 ≤ −5 3 ??(1) ≤ 20 3 ； 因为−1 ≤ ??(2) ≤ 5，所以−8 3 ≤ 8 3 ??(2) ≤ 40 3 。 两式相加得−1 ≤ ??(3) ≤ 20，故??(3)的取值范围是[−1,20].