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5.7 三角函数的应用
（用时 45 分钟）
【选题明细表】
知识点、方法 题号
三角函数的应用 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
基础巩固
1.电流 I(A)随时间 t(s)变化的关系式为 I=3sin 100πt,t∈[0,+∞),则电流 I 变化的周期是 ( )
A. B.50 C. D.100
【答案】A
【解析】选 A.T= = = .
2.如图所示的是一个单摆,以平衡位置 OA 为始边、OB 为终边的角 θ(-π0),若弹簧振子运动的振幅为 3,
周期为 ,初相为 ,则这个函数的解析式为________.
【答案】y=3sin
【解析】由题意得 A=3,T= ,φ= ,则 ω= =7,故所求函数解析式为 y=3sin .
8. 据 市 场 调 查 , 某 种 商 品 一 年 内 每 件 的 出 厂 价 在 7 千 元 的 基 础 上 , 按 月 呈 f(x)=
Asin(ωx+φ)+B A>0,ω>0, < 的模型波动(x 为月份),已知 3 月份达到最高价 9 千元,9 月份价格最 低为 5 千元.根据以上条件求 f(x)的解析式. 【答案】函数解析式 f(x)=2sin x+7. 【解析】由题意得 T=2×(9-3)=12,故 ω= = , A= = =2,B= =7, 又 f(3)=9,故 ×3+φ= ,即 φ=0, 所以函数解析式 f(x)=2sin x+7. 能力提升 4 9.稳定房价是我国实施宏观调控的重点,国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响, 某市房地产中介对本市一楼盘的房价做了统计与预测:发现每个季度的平均单价 y(每平方米的价格, 单位:元)与第 x 季度之间近似满足:y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),已知第一、二季度平均单价如表所示:
x 1 2 3
y 10 000 9 500 ?
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是 ( )
A.10 000 元 B.9 500 元
C.9 000 元 D.8 500 元
【答案】C
【解析】选 C.因为 y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),
所以当 x=1 时,500sin(ω+φ)+9 500=10 000;
当 x=2 时,500sin(2ω+φ)+9 500=9 500,
所以 ω 可取 ,φ 可取 π,
即 y=500sin +9 500.
当 x=3 时,y=9 000.
10.某人的血压满足函数关系式 f(t)=24sin 160πt+110,其中,f(t)为血压,t 为时间,则此人每分钟心跳的次
数是________.
【答案】80.
【解析】因为 T= = ,所以此人每分钟心跳的次数为 f= =80.
11.如图所示,一个摩天轮半径为 10 m,轮子的底部在地面上 2 m处,如果此摩天轮按逆时针转动,每 30 s
转一圈,且当摩天轮上某人经过点 P 处(点 P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时.
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式.
(2)在摩天轮转动的一圈内,约有多长时间此人相对于地面的高度不小于 17 m.
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【答案】(1) h=10sin t+12(t≥0).
(2)此人有 10 s 相对于地面的高度不小于 17 m.
【解析】(1)设在 t s 时,摩天轮上某人在高 h m 处.这时此人所转过的角度为 t= t,故在 t s 时,此人
相对于地面的高度为 h=10sin t+12(t≥0).
(2)由 10sin t+12≥17,得 sin t≥ ,则 ≤t≤ .
故此人有 10 s 相对于地面的高度不小于 17 m.
素养达成
12.如图,一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行,已知圆环的半径为 8 cm,圆环的圆心O距离
地面的高度为 10 m,蚂蚁每 12 分钟爬行一圈,若蚂蚁的起始位置在最低点 P0处.
(1)试确定在时刻 t(min)时蚂蚁距离地面的高度 h(m).
(2)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,有多长时间蚂蚁距离地面超过 14 m?
【答案】(1)h=10-8cos t(t≥0). (2)有 4 分钟时间蚂蚁距离地面超过 14 m.
【解析】(1)设在时刻 t(min)时蚂蚁达到点 P,由 OP 在 t 分钟内所转过的角为 t= t,
可知以 Ox 为始边,OP 为终边的角为 t+ π,则 P 点的纵坐标为 8sin ,
则 h=8sin +10=10-8cos t,
所以 h=10-8cos t(t≥0).
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(2)h=10-8cos t≥14⇒cos t≤- ⇒ π+2kπ≤ t≤ π+2kπ(k∈Z).
因为所研究的问题在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,故不妨令 t∈[0,12],所以 4≤t≤8.
所以在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,有 4 分钟时间蚂蚁距离地面超过 14 m.
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