第八章 单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分 150 分，考试时间
120 分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( )
A．①③ B．②④
C．③④ D．①②
答案 C
解析 可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③
④不论选哪一个三角形作底面折叠，都不能折成正四面体．
2．在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方
体，则截去 8 个三棱锥后，剩下的几何体的体积是( )
A.
2
3
B.
7
6
C.
4
5
D.
5
6
答案 D
解析 棱长为 1 的正方体的体积为 1,8 个三棱锥的体积为 8×
1
3
×
1
2
×
1
2
×
1
2
×
1
2
＝
1
6
，所以剩下的几何体的体积为 1－
1
6
＝
5
6
.
3.已知水平放置的△ABC，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中
B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝
3
2
，那么原△ABC 的面积是( )
A. 3 B．2 2
C.
3
2
D.
3
4
答案 A
解析 由斜二测画法的原则可得，BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝2×
3
2
＝
3，由图易得 AO⊥BC，∴S△ABC＝
1
2
×2× 3＝ 3，故选 A.
4．若 l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
答案 B
解析 当 l1⊥l2，l2⊥l3时，l1也可能与 l3相交或异面，故 A 不正确；l1⊥l2，
l2∥l3⇒l1⊥l3，故 B 正确；当 l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3 未必共面，如三棱柱的三条
侧棱，故 C 不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶
点出发的三条棱，故 D 不正确．
5．如图所示，平面 α⊥平面 β，A∈α，B∈β，AB 与两平面 α，β所成的角分
别为
π
4
和
π
6
.过 A，B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为 A′，B′，则 AB∶A′B′
等于( )
A．2∶1 B．3∶1
C．3∶2 D．4∶3
答案 A
解析 如图，由已知得 AA′⊥面 β，∠ABA′＝
π
6
，BB′⊥面 α，∠BAB′＝
π
4
.设 AB＝a，则 BA′＝
3
2
a，BB′＝
2
2
a，在 Rt△BA′B′中，A′B′＝
1
2
a，∴
AB∶A′B′＝2∶1.
6．用 m，n 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列命题正确的是( )
A．若 m∥n，n⊂α，则 m∥α
B．若 m∥α，n⊂α，则 m∥n
C．若 m⊥n，n⊂α，则 m⊥α
D．若 m⊥α，n⊂α，则 m⊥n
答案 D
解析 若 m∥n，n⊂α，则 m∥α或 m⊂α，故排除 A；若 m∥α，n⊂α，则 m
∥n 或 m，n 异面，故排除 B；若 m⊥n，n⊂α，则不能得出 m⊥α，例如，m⊥n，
n⊂α，m⊂α，则 m 与 α不垂直，故排除 C.故选 D.
7．在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，下面说法正确的是( )
A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥AB
C．AC1与 DC 成 45°角 D．A1C1与 B1C 成 60°角
答案 D
解析 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，异面直线 A1C1与 AD 所成的角
为 45°；直线 D1C1与直线 AB 平行；异面直线 AC1与 DC 所成的角的大小为∠C1AB
的大小，其正切值为
BC1
AB
＝ 2≠1，所以异面直线 AC1 与 DC 所成的角不是 45°；
连接 A1D，DC1，因为 A1D∥B1C，所以异面直线 A1C1与 B1C 所成的角就是直线
A1C1 与直线 A1D 所成的角．而△A1DC1 是等边三角形，所以∠C1A1D＝60°，即
A1C1与 B1C 所成的角为 60°.所以答案选 D.
8．如图，正三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于点 G，已知△A′DE
是△ADE 绕边 DE 旋转过程中的一个图形．现给出下列命题：①恒有直线 BC∥
平面 A′DE；②恒有直线 DE⊥平面 A′FG；③恒有平面 A′FG⊥平面 A′DE.
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 D
解析 由 BC∥DE 知，恒有直线 BC∥平面 A′DE，①正确；由 DE⊥A′G，
DE⊥FG 知，恒有直线 DE⊥平面 A′FG，②正确；由直线 DE⊥平面 A′FG，
DE⊂平面 A′DE 知，恒有平面 A′FG⊥平面 A′DE，③正确．
9．如图，在三棱锥 S－ABC 中，△ABC 是边长为 6 的正三角形，SA＝SB＝
SC＝15，平面 DEFH 分别与 AB，BC，SC，SA 交于点 D，E，F，H，且 D，E 分
别是AB，BC的中点，如果直线 SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为( )
A.
45
2
B.
45 3
2
C．45 D．45 3
答案 A
解析 取 AC 的中点 G，连接 SG，BG.易知 SG⊥AC，BG⊥AC，故 AC⊥平
面 SGB，所以 AC⊥SB.因为 SB∥平面 DEFH，SB⊂平面 SAB，平面 SAB∩平面
DEFH＝HD，所以 SB∥HD.同理 SB∥FE.又 D，E 分别为 AB，BC 的中点，则 H，
F 也分别为 AS，SC 的中点，从而得 HF 綊
1
2
AC 綊 DE，所以四边形 DEFH 为平行
四边形．又 AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以 DE⊥HD，所以四边形 DEFH 为
矩形，其面积 S＝HF·HD＝
1
2
AC ·
1
2
SB ＝
45
2
.
10．PA，PB，PC 是从 P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 60°，
那么直线 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是 ( )
A.
1
2
B.
2
2
C.
3
3
D.
6
3
答案 C
解析 构造正方体如图所示，连接 AB，过点 C 作 CO⊥平面 PAB，垂足为 O，
易知 O 是正三角形 ABP 的中心，连接 PO 并延长交 AB 于 D，于是∠CPO 为直线
PC 与平面 PAB 所成的角．设 PC＝a，则 PD＝
3a
2
，故 PO＝
2
3
PD＝
3
3
a，故 cos
∠CPO＝
PO
PC
＝
3
3
.故选 C.
11．已知 S，A，B，C 是球 O 表面上的不同点，SA⊥平面 ABC，AB⊥BC，
AB＝1，BC＝ 2，若球 O 的表面积为 4π，则 SA＝( )
A.
2
2
B．1
C. 2 D.
3
2
答案 B
解析 根据已知把 S－ABC补成如图所示的长方体．因为球 O的表面积为 4π，
所以球 O 的半径 R＝1,2R＝ SA2＋1＋2＝2，解得 SA＝1，故选 B.
12．在梯形 ABCD 中，∠ABC＝
π
2
，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形 ABCD
绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A.
2π
3
B.
4π
3
C.
5π
3
D．2π
答案 C
解析 过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E，梯形 ABCD 绕 AD 所在直线
旋转一周而形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆的半径，线段 BC 为母线的
圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆的半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体
的体积为 V＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB2·BC－
1
3
·π·CE2·DE＝π×12×2－
1
3
π×12×1＝
5π
3
，
故选 C.
第Ⅱ卷(非选择题，共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在题中的横
线上)
13．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB
⊥EF；②AB 与 CM 所成的角为 60°；③EF 与 MN 是异面直线；④MN∥CD.
以上结论中正确结论的序号为________．
答案 ①③
解析 把正方体的平面展开图还原为正方体，如图所示．因为 AB∥MC，MC
⊥EF，所以 AB⊥EF，故①正确，②错误；EF 与 MN 是异面直线，故③正确；易
知 MN⊥CD，故④错误．故填①③.
14．如图所示，等边三角形 ABC 的边长为 4，D 为 BC 的中点，沿 AD 把△
ADC 折叠到△ADC′处，使二面角 B－AD－C′为 60°，则折叠后二面角 A－BC′
－D 的正切值为________．
答案 2
解析 易知∠BDC′即为二面角 B－AD－C′的平面角，则∠BDC′＝60°，
所以△BDC′为等边三角形．取 BC′的中点 M，连接 DM，AM，易知 DM⊥BC′，
AM⊥BC′，所以二面角 A－BC′－D 的平面角为∠AMD.在等边三角形 ABC 中，
易知 AD＝2 3，在等边三角形 BDC′中，易知 DM＝ 3，所以 tan∠AMD＝
AD
DM
＝
2.
15．已知矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝a，若 PA⊥平面 AC，在 BC 边上取点
E，使 PE⊥DE，则满足条件的 E 点有两个时，a 的取值范围是________．
答案 a>6
解析 如图所示，连接 AE，要使 PE⊥DE，由于 DE⊥PA，则需 DE⊥AE.
要使在矩形 ABCD 中，∠AED＝90°，
满足条件的 E 点有两个，
则需以 AD 为直径的圆与 BC 相割．
∴圆心到 BC 边的距离 d
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