人教A版（2019）必修二同步练习题9.3 本章综合与测试

第九章 单元质量测评 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟． 第Ⅰ卷(选择题，共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列说法错误的是( ) A．在统计里，最常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法 B．一组数据的平均数一定等于这组数据中的某个数据 C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势 D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大 答案 B 解析 平均数不一定等于这组数据中的某个数据，故 B 错误． 2．某学校有老师 200 人，男学生 1200 人，女学生 1000 人，现用比例分配的 分层随机抽样方法从全体师生中抽取一个样本量为 n 的样本，已知女学生一共抽 取了 80 人，则 n 的值是( ) A．193 B．192 C．191 D．190 答案 B 解析 由题意可得 1000×n 200＋1200＋1000 ＝80，解得 n＝192.故选 B. 3．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人 送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这 批米内夹谷约为( ) A．134 石 B．169 石 C．338 石 D．1365 石 答案 B 解析 根据样本估计总体，可得这批米内夹谷约为 28 254 ×1534≈169(石)，故 选 B. 4．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1,2 所示．为了解该地区中 小学生的近视形成原因，用比例分配的分层随机抽样方法抽取 2%的学生进行调 查，则样本量和抽取的高中生近视人数分别为( ) A．200,20 B．100,20 C．200,10 D．100,10 答案 A 解析 根据题中的统计图知该地区中小学生一共有 10000 人，由于抽取 2% 的学生，所以样本量是 10000×2%＝200.由于高中生的近视率为 50%，所以抽取 的高中生近视人数为 2000×2%×50%＝20. 5．对一个样本量为 100 的数据分组，各组的频数如下： 区间 [17,19) [19,21) [21,23) [23,25) 频数 1 1 3 3 区间 [25,27) [27,29) [29,31) [31,33] 频数 18 16 28 30 估计小于 29 的数据大约占总体的( ) A．42% B．58% C．40% D．16% 答案 A 解析 小于 29 的数据频数为 1＋1＋3＋3＋18＋16＝42，所以小于 29 的数据 大约占总体的 42 100 ×100%＝42%. 6．某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出 60 名学生，并统计了他们的 物理成绩(成绩均为整数且满分为 100 分)，把其中不低于 50 分的分成五段[50,60)， [60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]后画出如图所示的部分频率分布直方图，则物 理成绩低于 50 分的学生人数与及格的学生的物理平均成绩分别为( ) A．6 78 B．7 79 C．6 77.7 D．7 77.7 答案 C 解析 因为各组的频率和等于 1. 所以由频率分布直方图得低于 50 分的频率为 f1＝1－(0.015×2＋0.03＋0.025 ＋0.005)×10＝0.1.又抽出的学生共有 60名，所以成绩低于 50分的人数为 60×0.1 ＝6. 由题意，得[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]四组的人数分别为 9,18,15,3. 又四组的组中值分别为 65,75,85,95，所以及格的学生的物理平均成绩约为 9×65＋18×75＋15×85＋3×95 45 ＝ 3495 45 ≈77.7. 7．某出租汽车公司为了了解本公司司机的交通违章情况，随机调查了 50 名 司机，得到了他们某月交通违章次数的数据，并制成了如图所示的统计图，根据 此统计图可得这 50 名出租车司机该月平均违章的次数为( ) A．1 B．1.8 C．2.4 D．3 答案 B 解析 5×0＋20×1＋10×2＋10×3＋5×4 50 ＝1.8. 8．为了调查民众对最新各大城市房产限购政策的了解情况，对甲、乙、丙、 丁四个不同性质的单位做分层随机抽样调查．假设四个单位的人数有如下关系： 甲、乙的人数之和等于丙的人数，甲、丁的人数之和等于乙、丙的人数之和，且 丙单位有 36 人．若在甲、乙两个单位抽取的人数之比为 1∶2，则这四个单位的 总人数为( ) A．96 B．120 C．144 D．160 答案 B 解析 因为甲、乙的人数之和等于丙的人数，丙单位有 36 人，且在甲、乙两 个单位抽取的人数之比为 1∶2，所以甲单位有 12 人，乙单位有 24 人，又甲、丁 的人数之和等于乙、丙的人数之和，所以丁单位有 48 人，所以这四个单位的总人 数为 12＋24＋36＋48＝120. 9．下列说法中正确的个数为( ) ①若样本数据 x1，x2，…，xn的平均数 x －＝5，则样本数据 2x1＋1,2x2＋1，…， 2xn＋1 的平均数为 10； ②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化； ③简单随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与先后顺序有关． A．0 B．1 C．2 D．3 答案 A 解析 对于①，样本数据 2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1 的平均数为 2×5＋1＝ 11，故①错误；对于②，将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数发 生变化，方差没有变化，故②错误；对于③，简单随机抽样是等可能抽样，与个 体被抽到的先后顺序无关，故③错误． 10．一个样本 a,3,5,7 的平均数是 b，且 a，b 是方程 x2－5x＋4＝0 的两根， 则这个样本的方差是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 答案 C 解析 方程 x2－5x＋4＝0 的两根是 1,4.当 a＝1 时，a,3,5,7 的平均数是 4；当 a＝4 时，a,3,5,7 的平均数不是 1.∴a＝1，b＝4，则方差 s2＝ 1 4 ×[(1－4)2＋(3－4)2 ＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5. 11．给出如图所示的三幅统计图及四个命题： ①从折线统计图能看出世界人口的变化情况； ②2050 年非洲人口将达到大约 15 亿； ③2050 年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多； ④从 1957 年到 2050 年各洲中北美洲人口增长速度最慢． 其中正确的命题是( ) A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 答案 B 解析 从折线统计图能看出世界人口的变化情况，故①正确；从条形统计图 中可得到：2050 年非洲人口大约将达到 18 亿，故②错误；从扇形统计图中能够 明显地得到结论：2050 年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故③正确；由 题中三幅统计图并不能得出从 1957 年到 2050 年中哪个洲人口增长速度最慢，故 ④错误．因此正确的命题有①③.故选 B. 12．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有 发生大规模群体感染的标志为“连续 10 天，每天新增疑似病例不超过 7 人”．根 据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( ) A．甲地：总体均值为 3，中位数为 4 B．乙地：总体均值为 1，总体方差大于 0 C．丙地：中位数为 2，众数为 3 D．丁地：总体均值为 2，总体方差为 3 答案 D 解析 根据信息可知，连续 10 天内，每天的新增疑似病例不能超过 7 人，A 中，中位数为 4，可能存在大于 7 的数；同理，C 中也有可能；B 中的总体方差 大于 0，叙述不明确，如果方差太大，也有可能存在大于 7 的数；D 中，根据方 差公式，如果有大于 7 的数存在，那么方差不可能为 3. 第Ⅱ卷(非选择题，共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在题中的横 线上) 13．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这 600 个销售点中抽取一个样本 量为 100 的样本，记这项调查为①；在丙地区中有 20 个特大型销售点，要从中抽 取 7 个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①②这两项调查 宜采用的抽样方法依次是________． 答案 分层随机抽样、简单随机抽样 解析 由于甲、乙、丙、丁四个地区有明显差异，所以在完成①时，需用分 层随机抽样．在丙地区中有 20 个特大型销售点，没有显著差异，所以完成②宜采 用简单随机抽样． 14．一支田径队有男运动员 48 人，女运动员 36 人，若用分层随机抽样的方 法从该队的全体运动员中抽取一个样本量为 21 的样本，则抽取男运动员的人数为 ________． 答案 12 解析 抽取的男运动员的人数为 21 48＋36 ×48＝12. 15．将容量为 100 的某个样本数据拆分为 10 组，若前七组的频率之和为 0.79， 而剩下的三组的频率依次相差 0.05，则剩下的三组中频率最大的一组的频率为 __________． 答案 0.12 解析 设剩下的三组中频率最大的一组的频率为 x，则另两组的频率分别为 x －0.05，x－0.1.因为频率总和为 1，所以 0.79＋(x－0.05)＋(x－0.1)＋x＝1，解得 x ＝0.12. 16．某学校有高中学生 500 人，其中男生 320 人，女生 180 人．有人为了获 得该校全体高中学生的身高信息，采用比例分配的分层随机抽样方法，抽取 50 人作样本进行分析．已知计算出男生样本的均值为 173.5，方差为 17，女生样本 的均值为 163.83，方差为 30.03.则总样本的均值为________，方差为________． 答案 170.02 43.24 解析 由比例分配的分层随机抽样方法，得抽样比例 50 500 ＝ 1 10 ，得男生样本数 为 32，女生样本数为 18， ∴总样本均值为 32 50 ×173.5＋ 18 50 ×163.83≈170.02， ∴总方差 s2＝ 1 50 ×{32×[(17＋ (173.5－170.02)2]＋18×[30.03＋ (163.83－ 170.02)2]}≈43.24. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)某校开展了以“了解传统习俗，弘扬民族文化”为主 题的实践活动，某实践小组就“是否知道中秋节的来由”这个问题，随机抽取部 分学生进行了一次问卷调查，并对收集到的信息进行了统计，得到了下面两个尚 不完整的统计图表，请你根据统计图表中所提供的信息解答下列问题： 调查情况 频数 频率 非常了解 0.1 了解 140 0.7 基本了解 0.18 不了解 4 0.02 合计 200 1 (1)此次问卷调查采用的是________方法(填“全面调查”或“抽样调查”)， 抽取的样本量是________． (2)如果要对“是否知道中秋节的来由”这个问题作出合理判断，最应关注的 数据是________(填“中位数”“众数”或“方差”)． (3)样本中对“中秋节的来由”非常了解的人数是________，基本了解的人数 是________． (4)补全上面的条形统计图． 答案 (1)抽样调查 200 (2)众数 (3)20 36 (4)见解析 解析 (1)此次问卷调查采用了抽样调查方法，抽取的样本量为 200. (2)众数． (3)样本中对“中秋节的来由”非常了解的人数是 200×0.1＝20，基本了解的 人数是 200×0.18＝36. (4)补全条形统计图如下： 18．(本小题满分 12 分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在 培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 8 次，记录如下： 甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85 现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差 中选两个)考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由？ 解 x － 甲＝ 1 8 ×(82＋81＋79＋78＋95＋88＋93＋84)＝85， x － 乙＝ 1 8 ×(92＋95＋80＋75＋83＋80＋90＋85)＝85. s2 甲＝ 1 8 ×[(82－85)2＋(81－85)2＋(79－85)2＋(78－85)2＋(95－85)2＋(88－85)2 ＋(93－85)2＋(84－85)2]＝35.5， s2 乙＝ 1 8 ×[(92－85)2＋(95－85)2＋(80－85)2＋(75－85)2＋(83－85)2＋(80－85)2 ＋(90－85)2＋(85－85)2]＝41. ∵ x － 甲＝ x － 乙，s2 甲＜s2 乙， ∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适． 19．(本小题满分 12 分)某城市 100 户居民的月平均用电量(单位：度)，以 [160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组 的频率分布直方图如图． (1)求直方图中 x 的值； (2)求月平均用电量的众数和中位数． 解 (1)依题意，20×(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)＝1， 解得 x＝0.0075. (2)由图可知，最高矩形的数据组为[220,240)， ∴众数为 220＋240 2 ＝230. ∵[160,220)的频率之和为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45， ∴依题意，设中位数为 y，∴0.45＋(y－220)×0.0125＝0.5. 解得 y＝224，∴中位数为 224. 20．(本小题满分 12 分)某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了 50 名就餐的教师和学生．根据这 50 名师生对食堂服务质量的评分，绘制出了如图所 示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40,50)，[50,60)，…，[90,100]． (1)求频率分布直方图中 a 的值； (2)若采用比例分配的分层随机抽样方法从评分在[40,60)，[60,80)，[80,100] 的师生中抽取 10 人，则评分在[60,80)内的师生应抽取多少人？ (3)学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于 75 分，否则将进行内部 整顿．用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分 的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿． 解 (1)由(0.004＋a＋0.022＋0.028＋0.022＋0.018)×10＝1，解得 a＝0.006. (2)由频率分布直方图可知，评分在[40,60)，[60,80)，[80,100]内的师生人数之 比为(0.004＋0.006)∶(0.022＋0.028)∶(0.022＋0.018)＝1∶5∶4，所以评分在[60,80) 内的师生应抽取 10× 5 1＋5＋4 ＝5(人)． (3)由题中数据可得师生对食堂服务质量评分的平均分为 x －＝45×0.004×10 ＋ 55×0.006×10 ＋ 65×0.022×10 ＋ 75×0.028×10 ＋ 85×0.022×10 ＋ 95×0.018×10＝76.2.因为 76.2>75，所以食堂不需要内部整顿． 21．(本小题满分 12 分)某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了以 下频率分布直方图，其中身高的变化范围是[96,106](单位：厘米)，样本数据分组 为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]． (1)求 x 的值； (2)已知样本中身高小于 100 厘米的人数是 36，求出样本量 N 的数值； (3)根据频率分布直方图提供的数据及(2)中的条件，求出样本中身高大于或等 于 98 厘米并且小于 104 厘米的人数． 解 (1)由题意，得(0.050＋0.100＋0.150＋0.125＋x)×2＝1.解得 x＝0.075. (2)设样本中身高小于 100 厘米的频率为 p1， ∴p1＝(0.050＋0.100)×2＝0.300，而 p1＝ 36 N ， ∴N＝ 36 p1 ＝ 36 0.300 ＝120. (3)样本中身高大于或等于 98 厘米并且小于 104 厘米的频率为 p2＝(0.100＋ 0.150＋0.125)×2＝0.750， ∴身高大于或等于 98厘米并且小于 104厘米的人数为 n＝p2N＝120×0.750＝ 90. 22．(本小题满分 12 分)从某食品厂生产的面包中抽取 100 个，测量这些面包 的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表： (1)在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图； (2)估计这种面包质量指标值的平均数 x － (同一组中的数据用该组区间的中点 值作代表)； (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该食品厂生产的这种面包符合“质量指 标值不低于 85 的面包至少要占全部面包 90%的规定”？ 解 (1)由频率分布表画出频率分布直方图： (2)质量指标值的样本平均数为 x －＝80×0.08＋90×0.22＋ 100×0.37＋ 110×0.28＋120×0.05＝100， 所以这种面包质量指标值的平均数的估计值为 100. (3)质量指标值不低于 85 的面包所占比例的估计值为 0.22＋0.37＋0.28＋0.05 ＝0.92，由于该估计值大于 0.9，故可以认为该食品厂生产的这种面包符合“质量 指标值不低于 85 的面包至少要占全部面包的 90%的规定”．