人教A版（2019）必修二同步练习题10.4 本章综合与测试(1)

第十章 单元质量测评 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟． 第Ⅰ卷(选择题，共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列事件中，随机事件的个数是( ) ①2022 年 8 月 18 日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在 4 ℃时结冰； ③从标有 1,2,3,4 的 4 张号签中任取一张，恰为 1 号签；④向量的模不小于 0. A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B 解析 ①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件．故选 B. 2．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( ) A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾” C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾” 答案 A 解析 由互斥事件的定义可得，“甲站排头”与“乙站排头”为互斥事件． 3．如果从一个不透明的口袋中摸出白球的概率为 5 6 ，已知袋中有红球和白球， 红球有 3 个，那么袋中球的总个数为( ) A．16 B．18 C．20 D．24 答案 B 解析 设袋中有 x 个球，因为摸出白球的概率为 5 6 ，故摸到红球的概率为 1 6 ， 且袋中红球有 3 个，所以 3 x ＝ 1 6 .所以 x＝18. 4．将数字 1,2,3 填入标号为 1,2,3 的三个方格里，每格填上一个数字，则每个 方格的标号与所填的数字均不相同的概率是( ) A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 答案 B 解析 将数字 1,2,3 填入标号为 1,2,3 的三个方格里有 6 种不同的填法，这 6 种情况发生的可能性是相等的．而每个方格的标号与所填的数字均不相同只有两 种不同的填法．故所求概率 P＝ 2 6 ＝ 1 3 . 5．对于同一试验来说，若事件 A 是必然事件，事件 B 是不可能事件，则事 件 A 与事件 B 的关系是 ( ) A．互斥不对立 B．对立不互斥 C．互斥且对立 D．不互斥、不对立 答案 C 解析 ∵事件 A，B 不可能同时发生，但必有一个发生，∴事件 A，B 的关系 是互斥且对立． 6．若“A＋B”发生(A，B 中至少有一个发生)的概率为 0.6，则 A －，B －同时发 生的概率为( ) A．0.6 B．0.36 C．0.24 D．0.4 答案 D 解析 “A＋B”发生指 A，B 中至少有一个发生，它的对立事件为 A，B 都 不发生，即 A －， B －同时发生．故选 D. 7．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级 品的概率为 0.03、丙级品的概率为 0.01，则对产品抽查一件，抽得次品的概率为 ( ) A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.04 答案 D 解析 设“抽得次品”为事件 A，“抽得乙级品”为事件 B，“抽得丙级品” 为事件 C，由题意，知事件 B 与事件 C 是互斥事件，且 A＝B∪C，所以 P(A)＝ P(B∪C)＝[P(B)＋P(C)]＝0.03＋0.01＝0.04. 8．从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是 女同学的概率为( ) A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 答案 D 解析 设 2 名男同学为 A1，A2,3 名女同学为 B1，B2，B3，从以上 5 名同学中 任选 2 人总共有 A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3 共 10 种等可能的情况，选中的 2 人都是女同学的情况共有 B1B2，B1B3，B2B3 3 种可能，则选中的 2 人都是女同学的概率为 P＝ 3 10 ＝0.3.故选 D. 9．甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群“兄弟”，为庆祝兄弟相聚，甲发了 一个 9 元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人均抢到整数元，且每人至少 抢到 2 元，则丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的概率是 ( ) A. 1 3 B. 3 10 C. 2 5 D. 3 4 答案 C 解析 列出乙、丙、丁三人分别得到的钱数，有(2,2,5)，(2,3,4)，(2,4,3)，(2,5,2)， (3,2,4)，(3,3,3)，(3,4,2)，(4,2,3)，(4,3,2)，(5,2,2)，共有 10 种等可能的情况．而丙 获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的情况有(2,4,3)，(2,5,2)， (3,3,3)，(3,4,2)，共 4 种，故所求概率为 4 10 ＝ 2 5 ，故选 C. 10．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合图形，现用红、 蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个图形颜色不全相同的概 率为( ) A. 3 4 B. 3 8 C. 1 4 D. 1 8 答案 A 解析 每一个图形有 2 种涂法，总的涂色种数为 23＝8，三个图形颜色完全 相同的有 2 种(全是红或全是蓝)，则三个图形颜色不全相同的涂法种数为 8－2＝ 6.所以三个图形颜色不全相同的概率为 6 8 ＝ 3 4 .故选 A. 11．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取 3 次，则下列事件的概率为 8 9 的是( ) A．颜色相同 B．颜色不全相同 C．颜色全不相同 D．无红球 答案 B 解析 有放回地取球 3 次，共 27 种可能结果，其中颜色相同的结果有 3 种， 其概率为 3 27 ＝ 1 9 ；颜色不全相同的结果有 24 种，其概率为 24 27 ＝ 8 9 ；颜色全不相同的 结果有 6 种，其概率为 6 27 ＝ 2 9 ；无红球的结果有 8 种，其概率为 8 27 .故选 B. 12．为了调查某厂 2000 名工人生产某种产品的能力，随机抽查了 20 名工人 某天生产该产品的数量(单位：个)，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)， [25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于 20 件产品的工 人中随机地选取 2 名进行培训，则这 2 名工人不在同一组的概率是( ) A. 1 10 B. 7 15 C. 8 15 D. 13 15 答案 C 解析 根据频率分布直方图可知，生产产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数 分别为 5×0.02×20＝2，5×0.04×20＝4.设生产产品的数量在[10,15)内的 2 人分 别是 A，B，[15,20)内的 4 人分别为 C，D，E，F，则从生产低于 20 件产品的工 人中随机选取 2 名工人的样本点有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B， C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E， F)，共 15 个，且这 15 个样本点发生的可能性是相等的.2 名工人不在同一组的样 本点有(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，共 8 个，则选取的 2 名工人不在同一组的概率为 8 15 . 第Ⅱ卷(非选择题，共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在题中的横 线上) 13．口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为 1,2,3,4,5，若从中 一次随机摸出两个球，则摸出的两个球的编号之和大于 6 的概率为________． 答案 2 5 解析 画树状图如下： ，共 20 种等可 能的结果，其中摸出的两个球的编号之和大于 6 的结果有 8 种，故所求概率为 8 20 ＝ 2 5 . 14．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上用数字 1～5 进行了标 记，投掷 100 次，记录落在桌面的数字，得到如下频数表： 落在桌面的数字 1 2 3 4 5 频数 32 18 15 13 22 则落在桌面的数字不小于 4 的频率为________． 答案 0.35 解析 落在桌面的数字不小于 4，即 4,5 的频数共 13＋22＝35，所以所求频 率＝ 35 100 ＝0.35. 15．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了 20000 辆 汽车的数据，时间是从某年的 5 月 1 日到下一年的 5 月 1 日，共发现有 600 辆汽 车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________． 答案 0.03 解析 设“一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎”为事件 A，由频率的稳定性， 知事件 A 发生的频率为 600 20000 ＝ 3 100 ＝0.03，即是概率的近似值． 16．A，B，C，D 四名学生按任意次序站成一排，则 A 或 B 在边上的概率为 ________． 答案 5 6 解析 A，B，C，D 四名学生按任意次序站成一排，样本点总数为 24，如下 图所示． 这 24 个样本点发生的可能性是相等的．其中 A，B 都不在边上共 4 个样本点， 所以 A 或 B 在边上的概率为 P＝1－ 4 24 ＝ 5 6 . 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)某超市随机选取 1000 位顾客，记录了他们购买甲、 乙、丙、丁 4 种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×” 表示未购买． (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率； (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率； (3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最 大？ 解 (1)从统计表可以看出，在这 1000 位顾客中有 200 位顾客同时购买了乙 和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 200 1000 ＝0.2. (2)从统计表可以看出，在这 1000 位顾客中有 100 位顾客同时购买了甲、丙、 丁，另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2 种商品，所 以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为 100＋200 1000 ＝0.3. (3)与(1)同理，可得 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 200 1000 ＝0.2， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为 100＋200＋300 1000 ＝0.6， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 100 1000 ＝0.1. 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大． 18．(本小题满分 12 分)某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演 讲社团的情况，数据如下表(单位：人)： (1)从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； (2)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 A1，A2， A3，A4，A5,3 名女同学 B1，B2，B3.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求 A1被选中且 B1 未被选中的概率． 解 (1)设“该同学至少参加上述一个社团”为事件 A， 则 P(A)＝ 8＋2＋5 45 ＝ 1 3 . 所以该同学至少参加上述一个社团的概率为 1 3 . (2)从 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人的所有样本点有：(A1，B1)， (A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)， (A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A5，B1)，(A5，B2)，(A5，B3)，共 15 个，且这 15 个样本点发生的可能性是相等的．其中 A1被选中且 B1未被选中的有(A1，B2)，(A1， B3)共 2 个，所以 A1被选中且 B1未被选中的概率为 P＝ 2 15 . 19．(本小题满分 12 分)某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞 赛，从参加考试的学生中抽出 60 名学生，将其成绩(单位：分)整理后，得到如下 频率分布直方图(其中分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[90,100])： (1)求成绩在[70,80)的频率，并补全此频率分布直方图； (2)求这次考试平均分的估计值； (3)若从成绩在[40,50)和[90,100]的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组 区间的概率． 解 (1)第四小组的频率＝1－(0.005＋0.015＋0.020＋0.030＋0.005)×10＝ 0.25. (2)依题意可得， 平均分 x －＝ (45×0.005＋55×0.015＋65×0.020＋75×0.025＋85×0.030＋ 95×0.005)×10＝72.5. 故这次考试平均分的估计值为 72.5. (3)[40,50)与[90,100]的人数分别是 3 和 3，所以从成绩在[40,50)与[90,100]内 的学生中选两人，将[40,50)分数段的 3 人编号为 A1，A2，A3，将[90,100]分数段的 3 人编号为 B1，B2，B3从中任取两人，则样本空间 Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1， B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3， B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共有 15 个样本点，这 15 个样本 点发生的可能性是相等的．其中，在同一分数段内的事件所含样本点有(A1，A2)， (A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共 6 个，故所求概率 P＝ 6 15 ＝ 2 5 . 20．(本小题满分 12 分)一个盒子里装有三张卡片，分别标记数字 1,2,3，这三 张卡片除标记的数字不同外其他完全相同．现随机有放回地抽取 3 次，每次抽取 一张，将抽取的卡片上的数字依次记为 a，b，c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率． 解 (1)由题意，(a，b，c)所有可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)， (1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)， (2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)， (3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共 27 种，且这 27 种结果发生的可能性是相等的． 设“抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”为事件 A，则事件 A 包括(1,1,2)， (1,2,3)，(2,1,3)，共 3 种，所以 P(A)＝ 3 27 ＝ 1 9 .因此，“抽取的卡片上的数字满足 a ＋b＝c”的概率为 1 9 . (2)设“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”为事件 B，则事件B －包括 (1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共 3 种，所以 P(B)＝1－P( B － )＝1－ 3 27 ＝ 8 9 .因此，“抽取 的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率为 8 9 . 21．(本小题满分 12 分)已知在某次 1500 米体能测试中，甲、乙、丙 3 人各 自通过测试的概率分别为 2 5 ， 3 4 ， 1 3 ，且三人是否通过测试互不影响．求： (1)3 人都通过体能测试的概率； (2)只有 2 人通过体能测试的概率； (3)只有 1 人通过体能测试的概率． 解 设事件 A＝“甲通过体能测试”，事件 B＝“乙通过体能测试”，事件 C＝“丙通过体能测试”， 则 P(A)＝ 2 5 ，P(B)＝ 3 4 ，P(C)＝ 1 3 . (1)设 M1表示“甲、乙、丙 3 人都通过体能测试”，即 M1＝ABC，则由 A， B，C 相互独立，可得 P(M1)＝P(A)·P(B)P(C)＝ 2 5 × 3 4 × 1 3 ＝ 1 10 . (2)设 M2表示“只有 2 人通过体能测试”，则 M2＝AB C －＋A B － C＋ A － BC，由 于事件 A 与 B，A 与 C，B 与 C 均相互独立，且事件 AB C －，A B － C， A － BC 两两互 斥，则 P(M2)＝P(AB C －∪A B － C∪ A － BC)＝P(AB C － )＋P(A B － C)＋P( A － BC)＝ 2 5 × 3 4 ×       1－ 1 3 ＋ 2 5 ×       1－ 3 4 × 1 3 ＋       1－ 2 5 × 3 4 × 1 3 ＝ 1 5 ＋ 1 30 ＋ 3 20 ＝ 23 60 . (3)设 M3表示事件“只有 1 人通过体能测试”． 则 M3＝A B － C －＋ A － B C －＋ A － B － C，由于事件 A、B －、C －，A －、B、C －，A －、B －、 C 均相互独立，并且事件 A B － C －， A － B C －， A － B － C 两两互斥，所以所求的概率为 P(M3)＝P(A)P( B － )P( C － )＋P( A － )P(B)P( C － )＋P( A － )·P( B － )P(C) ＝ 2 5 ×       1－ 3 4 ×       1－ 1 3 ＋       1－ 2 5 × 3 4 ×       1－ 1 3 ＋       1－ 2 5 ×       1－ 3 4 × 1 3 ＝ 5 12 . 22．(本小题满分 12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参 加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记 录指针所指区域中的数(不考虑指针落在分界线上的情况)．设两次记录的数分别 为 x，y.奖励规则如下： ①若 xy≤3，则奖励玩具一个； ②若 xy≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动． (1)求小亮获得玩具的概率； (2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由． 解 (1)用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间 Ω＝{(x， y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}． 因为 Ω中元素的个数是 4×4＝16. 所以样本点总数 n＝16. 记“xy≤3”为事件 A， 则事件 A 包含的样本点共 5 个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)． 所以 P(A)＝ 5 16 ，即小亮获得玩具的概率为 5 16 . (2)记“xy≥8”为事件 B，“3