A 级:“四基”巩固训练
一、选择题
1.下列说法正确的是( )
A.直线 l 平行于平面 α内的无数条直线,则 l∥α
B.若直线 a 在平面 α外,则 a∥α
C.若直线 a∩b=∅,直线 b⊂α,则 a∥α
D.若直线 a∥b,b⊂α,那么直线 a 平行于平面 α内的无数条直线
答案 D
解析 由直线与平面的位置关系及直线与平面平行的判定定理,知 D 正确.
2.如果直线 l,m 与平面 α,β,γ满足:β∩γ=l,m∥l,m⊂α,则必有( )
A.l∥α B.α∥γ
C.m∥β且 m∥γ D.m∥β或 m∥γ
答案 D
解析
β∩γ=l,l⊂β,l⊂γ
m∥l,m⊂α
⇒m∥β或 m∥γ.若 m 为 α与 β的交线或为 α与
γ的交线,则不能同时有 m∥β,m∥γ.故选 D.
3. 如图,P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点,Q 为 PA 的中点,O 为 AC
与 BD 的交点,下面说法错误的是( )
A.OQ∥平面 PCD
B.PC∥平面 BDQ
C.AQ∥平面 PCD
D.CD∥平面 PAB
答案 C
解析 因为 O 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,所以 AO=OC.又 Q 为 PA
的中点,所以 QO∥PC.由线面平行的判定定理,可知 A,B 正确.又四边形 ABCD
为平行四边形,所以 AB∥CD,故 CD∥平面 PAB,故 D 正确.AQ 与平面 PCD 相
交,C 错误,故选 C.
4.如图所示的三棱柱 ABC-A1B1C1中,过 A1B1 的平面与平面 ABC 交于直线
DE,则 DE 与 AB 的位置关系是( )
A.异面
B.平行
C.相交
D.以上均有可能
答案 B
解析 ∵三棱柱 ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,AB⊂平面 ABC,A1B1⊄平面 ABC,
∴A1B1∥平面 ABC,∵过 A1B1的平面与平面 ABC 交于直线 DE,∴DE∥A1B1,∴DE
∥AB.故选 B.
5.如图所示,长方体 ABCD-A′B′C′D′中,E,F 分别为 AA′,BB′
的中点,过 EF 的平面 EFGH 分别交 BC 和 AD 于点 G,点 H,则 HG 与 AB 的位
置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行或异面
答案 A
解析 ∵E,F 分别为 AA′,BB′的中点,∴EF∥AB.∵AB⊂平面 ABCD,EF
⊄平面 ABCD,∴EF∥平面 ABCD.又平面 EFGH∩平面 ABCD=HG,∴EF∥HG,∴
HG∥AB.
二、填空题
6.过三棱柱 ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面 ABB1A1
平行的直线有________条.
答案 6
解析 如图所示,与平面 ABB1A1平行的直线有:D1E1,E1E,ED,DD1,D1E,
DE1,共 6 条.
7.在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是棱 A1B1,B1C1
的中点,P 是棱 AD 上的一点,AP=
a
3
,过 P,M,N 的平面与棱 CD 交于 Q,则
PQ=________.
答案
2 2a
3
解析 ∵MN∥平面 AC,平面 PMN∩平面 AC=PQ,∴MN∥PQ.易知 DP=DQ
=
2a
3
.故 PQ= 2a·
2
3
=
2 2a
3
.
8.如图所示,在四面体 ABCD 中,M,N 分别是△ACD,△BCD 的重心,
则四面体的四个面中与 MN 平行的是________.
答案 平面 ABC 和平面 ABD
解析 连接 CM 并延长交 AD 于 E,连接 CN 并延长交 BD 于 F,则 E,F 分
别为 AD,BD 的中点,连接 MN,EF,
∴EF∥AB.又 MN∥EF,
∴MN∥AB,
∵MN⊄平面 ABC,AB⊂平面 ABC,
∴MN∥平面 ABC,
∵MN⊄平面 ABD,AB⊂平面 ABD,
∴MN∥平面 ABD.
三、解答题
9. 如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P-ABCD 中,E 是 PC 的中点.求
证:PA∥平面 BDE.
证明 如图,连接 AC 交 BD 于点 O,连接 OE.
在▱ABCD 中,O 是 AC 的中点,
又 E 是 PC 的中点,
∴OE 是△PAC 的中位线.
∴OE∥PA.
∵PA⊄平面 BDE,OE⊂平面 BDE,
∴PA∥平面 BDE.
B 级:“四能”提升训练
1.对于直线 m,n 和平面 α,下列命题中正确的是( )
A.如果 m⊂α,n⊄α,m,n 是异面直线,那么 n∥α
B.如果 m⊂α,n⊄α,m,n 是异面直线,那么 n 与 α相交
C.如果 m⊂α,n∥α,m,n 共面,那么 m∥n
D.如果 m∥α,n∥α,m,n 共面,那么 m∥n
答案 C
解析 对于 A,如图①所示,此时 n 与 α相交,则 A 不正确;对于 B,如图
②所示,此时 m,n 是异面直线,而 n 与 α平行,故 B 不正确;对于 D,如图③
所示,m 与 n 相交,故 D 不正确.故选 C.
2.如图,在三棱台 DEF-ABC 中,AC=2DF,G,H 分别为 AC,BC 的中
点.求证:BD∥平面 FGH.
证明 如图,连接 DG,CD,设 CD∩GF=O,连接 OH.
在三棱台 DEF-ABC 中,
AC=2DF,G 为 AC 的中点,
可得 DF∥GC,DF=GC,
所以四边形 DFCG 为平行四边形.
所以 O 为 CD 的中点.
又 H 为 BC 的中点,
所以 OH∥BD.
又 OH⊂平面 FGH,BD⊄平面 FGH,
所以 BD∥平面 FGH.