A 级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．与原数据单位不一样的是( )
A．众数 B．平均数
C．标准差 D．方差
答案 D
解析 由方差的意义可知，方差与原数据单位不一样．
2．为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田，这 n 块地的亩产量
(单位：kg)分别为 x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩
产量稳定程度的是( )
A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn 的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数
答案 B
解析 平均数和中位数反映一组数据的集中趋势，标准差和方差反映一组数
据的稳定程度．故选 B.
3．某公司 10 位员工的月工资(单位：元)分别为 x1，x2，…，x10，其平均数
和方差分别为 x
－和 s2，若从下月起每位员工的月工资增加 100 元，则这 10 位员工
下月工资的平均数和方差分别为( )
A. x
－，s2＋1002 B. x
－＋100，s2＋1002
C. x
－，s2 D. x
－＋100，s2
答案 D
解析 解法一：因为每个数据都加上 100，所以平均数也增加 100，而离散程
度保持不变，即方差不变．
解法二：由题意，知 x1＋x2＋…＋x10＝10 x
－，s2＝
1
10
×[(x1－ x
－
)2＋(x2－ x
－
)2
＋…＋(x10－ x
－
)2]，则所求平均数 y
－＝
1
10
×[(x1＋100)＋(x2＋100)＋…＋(x10＋100)]
＝
1
10
×(10 x
－＋10×100)＝ x
－＋100，所求方差为
1
10
×[(x1＋100－ y
－
)2＋(x2＋100－
y
－
)2＋…＋(x10＋100－ y
－
)2]＝
1
10
×[(x1－ x
－
)2＋(x2－ x
－
)2＋…＋(x10－ x
－
)2]＝s2.
4．如图，样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为 x
－
A和 x
－
B，样本标准差分别为 sA和 sB，则( )
A. x
－
A> x
－
B，sA>sB B. x
－
A< x
－
B，sA>sB
C. x
－
A> x
－
B，sA3)，所以丙同学可能是尖子生．丁同学：众数为 2，说明某两次
名次为 2，设另一次名次为 x，经验证，当 x＝1,2,3 时，方差均小于 1，故 x>3.
推断丁一定不是尖子生．故选 D.
二、填空题
6．一组数据 2，x,4,6,10 的平均值是 5，则此组数据的标准差是________．
答案 2 2
解析 ∵一组数据 2，x,4,6,10 的平均值是 5，∴2＋x＋4＋6＋10＝5×5，解得
x＝3，∴此组数据的方差 s2＝
1
5
×[(2－5)2＋(3－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(10－5)2]
＝8，∴此组数据的标准差 s＝2 2.
7．下列四个结论，其中正确的有________．
①在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等；
②如果一组数据中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，
方差不改变；
③一个样本的方差是 s2＝
1
20
[(x1－3)2＋(x2－3)2＋…＋(x20－3)2]，则这组样本
数据的总和等于 60；
④数据 a1，a2，a3，…，an的方差为 δ2，则数据 2a1,2a2,2a3，…，2an的方差
为 4δ2.
答案 ①②③④
解析 对于①，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相
等，都等于
1
2
，∴①正确；
对于②，一组数据中每个数减去同一个非零常数 a，这一组数的平均数变为 x
－
－a，方差 s2不改变，∴②正确；
对于③，一个样本的方差是 s2＝
1
20
×[(x1－3)2＋(x2－3)2＋…＋(x20－3)2]，∴
这组样本数据有 20 个数据，平均数是 3，∴这组数据的总和为 3×20＝60，∴③正
确；
对于④，数据 a1，a2，a3，…，an的方差为 δ2，则数据 2a1,2a2,2a3，…，2an
的方差为(2δ)2＝4δ2，∴④正确．
综上，正确的是①②③④.
8．若 40 个数据的平方和是 56，平均数是
2
2
，则这组数据的方差是________，
标准差是________．
答案 0.9
3 10
10
解析 设这 40 个数据为 xi(i＝1,2，…，40)，平均数为 x
－
.
则 s2＝
1
40
×[(x1－ x
－
)2＋(x2－ x
－
)2＋…＋(x40－ x
－
)2]
＝
1
40
×[x2
1＋x2
2＋…＋x2
40＋40 x
－2－2 x
－
(x1＋x2＋…＋x40)]
＝
1
40
×
56＋40×
2
2
2－2×
2
2
×40×
2
2
＝
1
40
×
56－40×
1
2
＝0.9.
∴s＝ 0.9＝
9
10
＝
3 10
10
.
三、解答题
9．某校高一(1)、(2)班各有 49 名学生，两班在一次数学测试中的成绩统计如
下表：
班级 平均分 众数 中位数 标准差
高一(1)班 79 70 87 19.8
高一(2)班 79 70 79 5.2
(1)请你对下面的一段话给予简要分析：
高一(1)班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测试中，全班的平均分为 79
分，得 70 分的人最多，我得了 85 分，在班里算是上游了”；
(2)请你根据表中的数据分析两班的测试情况，并提出教学建议．
解 (1)由高一(1)班成绩的中位数是 87 分可知，85 分排在 25 位以后，从位
次上讲并不能说 85 分在班里是上游，但也不能从这次测试上来判断学习的好坏，
小刚得了 85 分，说明他对这阶段的学习内容掌握得较好，从掌握的学习内容上讲
也算是上游．
(2)高一(1)班成绩的中位数是 87 分，说明高于 87 分的人数占一半左右，而平
均分为 79 分，标准差又很大，说明低分者也多，两极分化严重，建议对学习差的
学生给予帮助．
高一(2)班成绩的中位数和平均数都是 79 分，标准差较小，说明学生成绩之
间的差别也较小，学习差的学生较少，但学习优秀的学生也很少，建议采取措施
提高优秀学生的人数．
B 级：“四能”提升训练
从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，
由测量结果得如下频数分布表：
质量指标
值分组
[75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125]
频数 6 26 38 22 8
(1)作出这些数据的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的
中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标
值不低于 95 的产品至少要占全部产品的 80%”的规定？
解 (1)频率分布直方图如图所示：
(2)质量指标值的样本平均数为：
x
－＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为：
s2 ＝ (80－ 100)2×0.06＋ (90－ 100)2×0.26＋ (100－ 100)2×0.38＋ (110－
100)2×0.22＋(120－100)2×0.08＝104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 100，方差的估计值为 104.
(3)质量指标值不低于 95的产品所占比例的估计值为 0.38＋0.22＋0.08＝0.68.
由于该估计值小于 0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低
于 95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定．
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