人教A版（2019）必修二同步练习题8.2 立体图形的直观图(1)

A 级：“四基”巩固训练 一、选择题 1．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形 A′B′C′，则△ABC 是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 答案 C 解析 如图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC 是钝角三角形． 2.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB 的直观图，B′在 x′轴上， A′O′和 x′轴垂直，且 A′O′＝2，则△AOB 的边 OB 上的高为( ) A．2 B．4 C．2 2 D．4 2 答案 D 解析 由直观图与原图形中边OB长度不变，得 S 原图形＝2 2S 直观图，即 1 2 ·OB·h ＝2 2× 1 2 ×2·O′B′，∵OB＝O′B′，∴h＝4 2. 3．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，直观图中有一边长为 4，则 此正方形的面积是( ) A．16 B．64 C．16 或 64 D．都不对 答案 C 解析 直观图中一条边长为 4，此边可能在 x′轴上，也可能在 y′轴上．若 在 x′轴上，则原正方形的边长为 4，面积为 16；若在 y′轴上，则原正方形的边 长为 8，面积为 64.故选 C. 4．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形， 则原来图形的形状是( ) 答案 A 解析 在直观图中，其一条对角线在 y′轴上且长度为 2，所以在原图形中 其中一条对角线必在 y 轴上，且长度为 2 2，所以 A 正确． 5．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm， 另一个圆锥顶点到底面的距离为 3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为 ( ) A．2 cm B．3 cm C．2.5 cm D．5 cm 答案 D 解析 两顶点间的距离为 2＋3＝5(cm)，与 z 轴平行(或在 z 轴上)的线段在直 观图中长度不变，仍为 5 cm.故选 D. 二、填空题 6．如图所示为一个水平放置的正方形 ABCO，在直角坐标系 xOy 中，点 B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点 B′到 x′轴的 距离为_________． 答案 2 2 解析 点 B′到 x′轴的距离等于点 A′到 x′轴的距离 d，而 O′A′＝ 1 2 OA ＝1，∠C′O′A′＝45°，∴d＝ 2 2 O′A′＝ 2 2 . 7.如图是水平放置的△ABC 在坐标系中的直观图，其中 D′是 A′C′的中 点，且∠ACB≠30°，则原图形中与线段 BD 的长相等的线段有________条． 答案 2 解析 △ABC 为直角三角形，因为 D 为 AC 的中点，所以 BD＝AD＝CD，所 以与 BD 的长相等的线段有两条． 8．如图，四边形 OABC 是上底为 2，下底为 6，底角为 45°的等腰梯形，用 斜二测画法，画出这个梯形的直观图 O′A′B′C′，在直观图中梯形的高为 ________． 答案 2 2 解析 由原图形可知 OA＝6，BC＝2，∠COD＝45°，则 CD＝2，则直观图中 的高 h′＝C′D′sin45°＝1× 2 2 ＝ 2 2 . 三、解答题 9．如图，是用斜二测画法得到的某个四边形的直观图，其中四边形 A′B′C′D′是边长为 1 的正方形，且对角线 A′C′在水平位置，试画出该四 边形的真实图形并求出其面积． 解 四边形 ABCD 的真实图形如图所示， ∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形， ∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°， ∴在原四边形 ABCD 中， DA⊥AC，AC⊥BC， ∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝ 2， ∴S 四边形 ABCD＝AC·AD＝2 2. 10．用斜二测画法画出下列图形的直观图(不写画法)． 解 B 级：“四能”提升训练 1．如图，在斜二测画法下，两个边长为 1 的正三角形 ABC 的直观图不是全 等三角形的一组是( ) 答案 C 解析 根据斜二测画法知在 A，B，D 中，正三角形的顶点 A，B 都在 x 轴上， 点 C 由 AB 边上的高线确定，所得直观图是全等的；对于 C，左侧建系方法画出 的直观图，其中有一条边长为原三角形的边长，但右侧的建系方法中所得的直观 图中没有边与原三角形的边长相等，由此可知不全等． 2．(1)已知△ABC 的直观图△A′B′C′是边长为 a 的正三角形．求原△ABC 的面积； (2)如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC 斜二测画法的直观图，能否判断 △ABC 的形状； (3)若(2)中△A′B′C′的 A′C′＝6，B′C′＝4，则 AB 边的实际长度是 多少？ (4)若已知一个三角形的面积为 S，则它的直观图的面积是多少？ 解 (1)S△ABC＝ 1 2 a· 2asin60° sin45° ＝ 6 2 a2. (2)由斜二测画法规则知∠ACB＝90°，故△ABC 为直角三角形． (3)由已知得△ABC 中，AC＝6，BC＝8，故 AB＝ AC2＋BC2＝10. (4)原三角形面积为 S＝ 1 2 ah(a 为三角形的底，h 为三角形的高)，画直观图后， a′＝a，h′＝ 1 2 hsin45°＝ 2 4 h，S′＝ 1 2 a′h′＝ 1 2 a× 2 4 h＝ 2 4 × 1 2 ah＝ 2 4 S.