人教A版（2019）必修二同步练习题8.1 基本立体图形

A 级：“四基”巩固训练 一、选择题 1．下列几何体是简单组合体的是( ) 答案 D 解析 A 项中的几何体是圆锥，B 项中的几何体是圆柱，C 项中的几何体是 球，D 项中的几何体是一个圆台中挖去一个圆锥，是简单组合体． 2．给出下列命题：①圆柱的底面是圆；②经过圆柱任意两条母线的截面是一 个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱的任意 两条母线互相平行．其中正确命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B 解析 本题的判断依据是圆柱的定义及结构特征．①中圆柱的底面是圆面， 而不是圆，故①错误；②和④中，圆柱有无数条母线，它们平行且相等，并且母 线都与底面垂直，②④正确；③中连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定 与圆柱的轴平行，故③错误．故选 B. 3．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为 ( ) A．一个球体 B．一个球体中间挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球体中间挖去一个长方体 答案 B 解析 圆面旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选 B. 4．若用长为 4，宽为 2 的矩形作侧面围成一个圆柱，则此圆柱轴截面的面积 为( ) A．8 B. 8 π C. 4 π D. 2 π 答案 B 解析 若 4 为底面周长，则圆柱的高为 2，此时圆柱的底面直径为 4 π ，其轴截 面的面积为 8 π ；若底面周长为 2，则圆柱高为 4，此时圆柱的底面直径为 2 π ，其轴 截面的面积也为 8 π . 5．两平行平面截半径为 5 的球，若截面的面积分别为 9π 和 16π，则这两个 平面间的距离是( ) A．1 B．7 C．3 或 4 D．1 或 7 答案 D 解析 如图(1)所示，若两个平行平面在球心同侧，则 CD＝ 52－32－ 52－42＝1.如图(2)所示，若两个平行平面在球心两侧，则 CD＝ 52－32＋ 52－42＝7.故选 D. 二、填空题 6．已知圆锥的底面半径为 1 cm，高为 2 cm，其内部有一个内接正方体， 则这个内接正方体的棱长为________． 答案 2 2 cm 解析 过圆锥的顶点 S 和正方体底面的一条对角线 CD 作圆锥的截面，得圆 锥的轴截面 SEF，正方体对角面 CDD1C1，如图所示． 设正方体棱长为 x cm， 则 CC1＝x cm，C1D1＝ 2x cm， 作 SO⊥EF 于 O，则 SO＝ 2 cm，OE＝1 cm， ∵△ECC1∽△ESO，∴ CC1 SO ＝ EC1 EO ， 即 x 2 ＝ 1－ 2 2 x 1 ，∴x＝ 2 2 ，即内接正方体棱长为 2 2 cm. 7．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的截面，则截面的面积与球的一 个大圆面积之比为________． 答案 3∶4 解析 令球的半径为 2r，则截面的半径为 3r，截面的面积为 3πr2，大圆的 面积为 4πr2，所以它们的面积之比为 3∶4. 8．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的可能图形有 ________． 答案 ①②③ 解析 当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的对角线时 得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④. 三、解答题 9.如图所示，已知圆锥的母线长为 6 cm，底面直径为 3 cm，在母线 OA 上有 一点 B，AB＝2 cm，求由 A 点绕圆锥侧面一周到 B 点的最短距离． 解 设侧面展开的扇形圆心角为 n. 由题意知底面周长为 3π cm， 则 6nπ 180° ＝3π，解得 n＝90°. 如图，在展开扇形中， ∠AOB′＝90°，OB′＝4 cm. 在 Rt△AOB′中， AB′＝ AO2＋B′O2＝ 62＋42＝2 13 cm. 故由 A 点绕圆锥侧面一周到 B 点的最短距离为 2 13 cm. B 级：“四能”提升训练 1．由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形如图 所示，若将它绕轴旋转 180°后形成一个组合体，则下面说法不正确的是( ) A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体 B．该组合体仍然关于旋转轴对称 C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点 D．该组合体中的球和半球只有一个公共点 答案 A 解析 等腰梯形旋转形成的是圆台，矩形旋转形成的是圆柱，半圆旋转形成 的是半球，圆旋转形成的是球，倒三角形旋转形成的是圆锥． 2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，轴截面的面积等于 392 cm2，母线与轴的夹角是 45°，求这个圆台的高、母线长和两底面的半径． 解 圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面的半径分别为 x cm,3x cm， 延长 AA1交 OO1的延长线于 S， 在 Rt△SOA 中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°， 所以 SO＝AO＝3x，SO1＝A1O1＝x，所以 OO1＝2x. 又 S 轴截面＝ 1 2 (6x＋2x)·2x＝392，所以 x＝7. 所以圆台的高 OO1＝14(cm)，母线长 l＝ 2OO1＝14 2(cm)， 两底面的半径分别为 7 cm,21 cm.