1
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
一、选择题
1.已知向量 ( ) ( )1,2 , 1, m= = −a b ,若 ⊥a b ,则m 的值为
A. 2− B. 2 C.
1
2
D.
1
2
−
【答案】C
【解析】因为 ⊥a b ,所以 · 1 2 0m= − + =a b ,解得
1
2
m = .
本题选择 C 选项.
2.若向量 =(1,2), =(1,-1),则 2 + 与 - 的夹角等于( )
A.-
4
B.
3
C.
4
D.
3
4
【答案】C
【解析】由已知 2a+b=(2,4)+(1,-1)=(3,3),a-b=(0,3).
设 2a+b与 a-b的夹角为 θ,
则 cos θ=
( ) ( )2
2
a b a b
a b a b
+ −
+ −
=
9
3 2 3
=
2
2
,
∵0≤θ≤π,∴θ=
π
4
,故选 C.
3.已知向量 =(x,1), =(1,-2),且 ⊥ ,则| + |=( )
A. B. C. D.10
【答案】B
【解析】由题意可得 =(x,1) (1,-2)=x-2=0,解得 x=2.
则 + =(x+1,-1)=(3,-1),可得| + |= ,故选 B.
.4.已知 , ,且 ,则向量 与 夹角的大小为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵ , ,且 ,∴ ,
2
∴向量 与 夹角的大小为 ,故选 C.
5.(多选题)(2019·全国高一课时练习)以下选项中,一定是单位向量的有( )
A. ( )cos , sina = − ;B. ( )lg 2, lg5b = ;C. ( )2 ,2x xc −= ;D. ( )1 ,d x x= − .
【答案】AB
【解析】 ( ) ( )
2 2 2 2cos sin cos sin 1a = + − = + = , ( )lg 2 lg5 lg 2 5 1b = + = = ,
( ) ( )
2 2
2 2 4 4 2 4 4 2 1x x x x x xc − − −= + = + = ,
( )
2
2 2 2 1 1 2
1 2 2 1 2
2 2 2
x x x xd x
− + = − + = − +
= .
因此,a 和b 都是单位向量,故选 AB.
6.(多选题)已知 m=(a,b),向量 n与 m垂直,且|m|=|n|,则 n的坐标为( )
A.(b,-a) B.(-a,b) C.(a,-b) D.(-b,a)
【答案】AD
【解析】设向量 n的坐标为(x,y)
∵向量m=(a,b),且向量 m⊥n 且|m|=|n|,
∴ax+by=0 且 a²+b²=x²+y²,
解得:x=−b ,y=a 或 x=b ,y=−a .
故选 AD。
二、填空题
7.(2019·全国高一课时练习)已知向量 =(1, 3), ( 3,1)=a b ,则 a与 b夹角的大小为_________.
【答案】30 .
【解析】两向量夹角为
2 3 3
cos ,
2 2 2
a b
a b
a b
= = =
,又两个向量夹角范围是 0, ,所以夹角为
6
.
8.(2019·全国高一课时练习)已知 A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点,直线 CD⊥AB,且
CB∥AD,则点 D 的坐标是__________
【答案】 (0,1)
【解析】根据题意,设 D(x,y),则CD=(x﹣3,y) AB =(1,3),CB =(-1,2), AD =
3
(x﹣1,y+1);
若 CD⊥AB,则CD AB• =(x﹣3)1+3y=0,①
若 CB∥AD,则CB AD ,则有 2(x﹣1)=(﹣1)(y+1),②
由①②得 x=0,y=1;所以 D 的坐标为(0,1);
故答案为(0,1).
9.(2019·全国高一课时练习)设向量 a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则 m=_________.
【答案】-2
【解析】由题意得
2 2 2( 1) +3 1 5 2.m m m+ = + + = −
10.(2019·全国高一课时练习)已知平面向量 a,b 的夹角为 60°, ( )1 3=a , , 1=b ,则 =a b __;
2a b− =___.
【答案】1 2
【解析】由题意可得: ( )
2
21 3 2a = + = ,则:
2 1 cos60 1a b = = , ( )
2
2 22 2 4 4 4 4 4 2a b a b a a b b− = − = − + = − + = .
三、解答题
11.(2020·全国高一课时练习)已知 ( )3, 1a = − , ( )1, 2b = − ,求a b , a , b , ,a b .
【答案】5, 10 , 5 ,
4
【解析】 ( ) ( )3 1 1 2 5a b = + − − =
9 1 10a = + = , 1 4 5b = + =
5 2
cos ,
210 5
a b
a b
a b
= = =
, , 0,a b ,
4
a b
=
12.(2019·全国高一课时练习)已知平面向量 ( )3,4a = , ( )9,b x= , ( )4,c y= ,且 //a b ,a c⊥
(1)求b 和 c ;
(2)若 2m a b= − ,n a c= + ,求向量m 与向量n 的夹角的大小.
【答案】(1) ( )9,12b = , ( )4, 3c = − ;(2)
3
4
.
4
【解析】(1) ( )3,4a = , ( )9,b x= , ( )4,c y= ,且 //a b , a c⊥ ,
3 4 9
3 4 4 0
x
y
=
+ =
,
解得
12
3
x
y
=
= −
,因此, ( )9,12b = , ( )4, 3c = − ;
(2) ( ) ( ) ( )2 2 3,4 9,12 3, 4m a b= − = − = − − , ( ) ( ) ( )3,4 4, 3 7,1n a c= + = + − = ,
则 3 7 4 1 25m n = − − = − , ( ) ( )
2 2
3 4 5m = − + − = ,
2 27 1 5 2n = + = ,
设m 与n 的夹角为 ,
25 2
cos ,
25 5 2
m n
m n
m n
−
= = = −
, 0 ,则
3
4
= .
因此,向量m 与向量n 的夹角为
3
4
.