人教A版（2019）必修二同步练习题8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系(1)

A 级：“四基”巩固训练 一、选择题 1．过平面外两点作该平面的平行平面，可以作( ) A．0 个 B．1 个 C．0 个或 1 个 D．1 个或 2 个 答案 C 解析 平面外两点的连线与已知平面的位置关系有两种情况： ①直线与平面相交．此时过平面外两点不能作该平面的平行平面． ②直线与平面平行．此时过平面外两点能作唯一的平面与该平面平行． 2．若不在同一直线上的三点 A，B，C 到平面 α的距离相等，且 A∉α，则( ) A．α∥平面 ABC B．△ABC 中至少有一条边平行于 α C．△ABC 中至少有两条边平行于 α D．△ABC 中只可能有一条边与 α相交 答案 B 解析 由题意，△ABC 所在平面与平面 α 只可能为相交或平行的关系．若相 交，则只有一边与 α平行；若平行，则三边与 α均平行． 3．若直线 a 不平行于平面 α，则下列结论成立的是( ) A．α内的所有直线均与 a 异面 B．α内不存在与 a 平行的直线 C．α内直线均与 a 相交 D．直线 a 与平面 α有公共点 答案 D 解析 由于直线 a 不平行于平面 α，则 a 在 α内或 a 与 α相交，故 A 错误； 当 a⊂α时，在平面 α内存在与 a 平行的直线，故 B 错误；因为 α内的直线也可 能与 a 平行或异面，故 C 错误．故选 D. 4．教室内有一把直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在 的直线( ) A．异面 B．相交 C．平行 D．垂直 答案 D 解析 若尺子与地面相交，则 C 不正确；若尺子平行于地面，则 B 不正确； 若尺子放在地面上，则 A 不正确，所以选 D. 5．若直线 l1和 l2 是异面直线，l1在平面 α 内，l2在平面 β 内，l 是平面 α 与 平面 β的交线，则下列命题正确的是( ) A．l 至少与 l1，l2 中的一条相交 B．l 与 l1，l2都相交 C．l 至多与 l1，l2中的一条相交 D．l 与 l1，l2都不相交 答案 A 解析 如图，当 l1与 l2异面时，l1，l2可同时与 l 相交，l 也可与 l1，l2中的一 条相交．故选 A. 二、填空题 6．如图，若 G，H，M，N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直 线 GH，MN 是异面直线的图形有________． 答案 ②④ 解析 ①中，HG∥MN；③中，GM∥HN，且 GM≠HN，故 HG，NM 必相交， ②④中的符合题意． 7. 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中判断下列位置关系： (1)AD1所在直线与平面 BCC1 的位置关系是________； (2)平面 A1BC1与平面 ABCD 的位置关系是________． 答案 (1)平行 (2)相交 解析 (1)AD1所在的直线与平面 BCC1没有公共点，所以平行． (2)平面 A1BC1与平面 ABCD 有公共点 B，故相交． 8．一条直线和两个相交平面的交线平行，则这条直线满足________(填序号)． ①与两个平面都平行；②与两个平面都相交；③在两个平面内；④至少和其 中一个平面平行． 答案 ④ 解析 一条直线和两个相交平面的交线平行，则这条直线可能在其中一个平 面内且与另一个平面平行，也可能不在任何一个平面内且与两个平面都平行． 三、解答题 9．已知三个平面 α，β，γ两两相交于三条直线，即 α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α ＝b，若 a 和 b 不平行，求证：a，b，c 必过同一点． 证明 ∵β∩γ＝a，γ∩α＝b，∴a⊂γ，b⊂γ. 又直线 a 和 b 不平行，∴a，b 必相交． 设 a∩b＝P，则 P∈a，P∈b. ∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α. 又 α∩β＝c，∴P∈c，即交线 c 经过点 P， ∴a，b，c 三条直线相交于同一点． B 级：“四能”提升训练 1．给出以下结论，其中正确的是________． ①在空间中，若四点中任何三点不共线，则此四点不共面； ②如果直线 a⊂平面 α，直线 b⊂平面 α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则 l⊂ α； ③已知三个平面 α，β，γ两两相交，并且它们的交线交于一点，那么平面 α， β，γ可将空间分成八部分． 答案 ②③ 解析 ①错误，平行四边形 ABCD 四个顶点中，任意三点不共线，但这四点 共面；②正确，直线 l 即直线 MN，∵M∈a，N∈b，a⊂α，b⊂α，∴M∈α，N∈α， ∴l⊂α；③正确，如墙角． 2．如图所示，G 是正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱 DD1延长线上的一点，E， F 是棱 AB，BC 的中点．试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交 线． (1)过点 G 及 AC；(2)过三点 E，F，D1. 解 (1)画法：连接 GA 交 A1D1于点 M，连接 GC 交 C1D1于点 N；连接 MN， AC，则 MA，CN，MN，AC 为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示． (2)画法：连接 EF，并延长交 DC 的延长线于点 P，交 DA 的延长线于点 Q； 连接 D1P 交 CC1于点 M，连接 D1Q 交 AA1于点 N；连接 MF，NE，则 D1M，MF， FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．