人教A版（2019）必修二同步练习题9.1 随机抽样(1)

A 级：“四基”巩固训练 一、选择题 1．将 A，B，C 三种性质的个体按 1∶2∶4 的比例进行分层随机抽样调查， 若抽取的样本量为 21，则 A，B，C 三种性质的个体分别抽取( ) A．12,6,3 B．12,3,6 C．3,6,12 D．3,12,6 答案 C 解析 由分层随机抽样的概念，知 A，B，C 三种性质的个体应分别抽取 21× 1 7 ＝3,21× 2 7 ＝6,21× 4 7 ＝12. 2．共享单车为人们提供了一种新的出行方式，有关部门对使用共享单车人群 的年龄分布进行了统计，得到的数据如下表所示： 年龄 12～20 岁 20～30 岁 30～40 岁 40 岁及以上 比例 14% 45.5% 34.5% 6% 为调查共享单车使用满意率情况，现采用比例分配的分层随机抽样方法从中 抽取样本量为 200 的样本进行调查，那么应抽取 20～30 岁的人数为( ) A．12 B．28 C．69 D．91 答案 D 解析 由比例分配的分层随机抽样方法可得应抽取 20～30 岁的人数为 200×45.5%＝91. 3．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别 有 40 种、10 种、30 种、20 种，现从中抽取一个样本量为 20 的样本进行食品安 全检测．若采用比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，则抽取的植物油类与果 蔬类食品种数之和是( ) A．4 B．5 C．6 D．7 答案 C 解析 比例分配的分层随机抽样方法中，分层随机抽取时都按相同的抽样比 n N 来抽取，本题中抽样比为 20 40＋10＋30＋20 ＝ 1 5 ，因此植物油类应抽取 10× 1 5 ＝ 2(种)，果蔬类食品应抽 20× 1 5 ＝4(种)，因此从植物油类和果蔬类食品中抽取的种 数之和为 2＋4＝6. 4．在 120 个零件中，一级品 24 个，二级品 36 个，三级品 60 个，用比例分 配的分层随机抽样方法从中抽取样本量为 20 的样本，则每个个体被抽取的可能性 是( ) A. 1 24 B. 1 36 C. 1 60 D. 1 6 答案 D 解析 在比例分配的分层随机抽样方法中，每个个体被抽取的可能性都相等， 且为 样本量 总量 ，所以每个个体被抽取的可能性是 20 120 ＝ 1 6 . 5．比例分配的分层随机抽样是将总体分成若干个互不交叉的层，然后按照一 定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法．在《九 章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五 十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱数多少衰出之，问各几 何？”其译文为：今有甲持 560 钱，乙持 350 钱，丙持 180 钱，甲、乙、丙三人 一起出关，关税共 100 钱，要按照各人带多少的比例进行交税，问三人各应付多 少税？则下列说法错误的是( ) A．甲应付 51 41 109 钱 B．乙应付 32 24 109 钱 C．丙应付 16 56 109 钱 D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少 答案 B 解析 由比例分配的分层随机抽样方法可知，抽样比为 100 560＋350＋180 ＝ 10 109 ， 则甲应付 10 109 ×560＝51 41 109 (钱)；乙应付 10 109 ×350＝32 12 109 (钱)；丙应付 10 109 ×180 ＝16 56 109 (钱)．故选 B. 二、填空题 6．甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4800 件，采用比例分配的分层随机 抽样方法从中抽取一个样本量为 80 的样本进行质量检测．若样本中有 50 件产品 由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件． 答案 1800 解析 设乙设备生产的产品总数为 x 件，则甲设备生产的产品总数为(4800 －x)件．由题意，得 50 80 ＝ 4800－x 4800 ，解得 x＝1800. 7．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1200 辆，6000 辆和 2000 辆．为 检验该公司的产品质量，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取 46 辆进行检验， 这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为________． 答案 6,30,10 解析 设三种型号的轿车依次抽取 x 辆，y 辆，z 辆， 则有    x 1200 ＝ y 6000 ＝ z 2000 ， x＋y＋z＝46， 解得     x＝6， y＝30， z＝10. 故填 6,30,10. 8．某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两 个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有 800 人，按照要求每人只能参加一 个社团，各年级参加社团的人数情况如下表： 高一年级 高二年级 高三年级 泥塑 a b c 剪纸 x y z 其中 x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的 3 5 ，为 了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个 50 人的样本进行调查，则 从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人． 答案 6 解析 解法一：因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的 3 5 ，故“剪纸” 社团的人数占两个社团总人数的 2 5 ， 所以“剪纸”社团的人数为 800× 2 5 ＝320. 因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为 y x＋y＋z ＝ 3 2＋3＋5 ＝ 3 10 ， 所以“剪纸”社团中高二年级人数为 320× 3 10 ＝96. 由题意，知抽样比为 50 800 ＝ 1 16 ，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为 96× 1 16 ＝6. 解法二：因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的 3 5 ，故“剪纸”社团的 人数占两个社团总人数的 2 5 ， 所以抽取的 50 人的样本中，“剪纸”社团中的人数为 50× 2 5 ＝20. 又“剪纸”社团中高二年级人数比例为 y x＋y＋z ＝ 3 2＋3＋5 ＝ 3 10 ， 所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为 20× 3 10 ＝6. 三、解答题 9．数据 x1，x2，…，xm 的平均数为 x － ，数据 y1，y2，…，yn的平均数为 y － ， . 证明 设数据 x1，x2，…，xm，y1，y2，…，yn的平均数为 B 级：“四能”提升训练 某中学举行了为期 3 天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台 赛．为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校 500 名教职员工、3000 名初中生、4000 名高中生中作问卷调查，如果要在所有答卷中抽出 120 份用于评 估． (1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？ (2)要从 3000 份初中生的答卷中抽取一个样本量为 48 的样本，如果采用简单 随机抽样，应如何操作？ 解 (1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所 以应采用比例分配的分层随机抽样方法进行抽样． 因为样本量为 120，总体个数为 500＋3000＋4000＝7500，则抽样比为 120 7500 ＝ 2 125 ， 所以有 500× 2 125 ＝8,3000× 2 125 ＝48,4000× 2 125 ＝64，所以在教职员工、初中 生、高中生中抽取的个体数分别是 8,48,64. 分层随机抽样的步骤是 ①分层：分为教职员工、初中生、高中生，共三层； ②确定每层抽取个体的个数：在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数 分别是 8,48,64； ③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本； ④综合每层抽样，组成样本． 这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论． (2)由于简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数法．如果用抽签法，要作 3000 个号签，费时费力，因此采用随机数法抽取样本，步骤是 ①编号：将 3000 份答卷编号为 1,2,3，…，3000； ②在电子表格软件的任一单元格中，输入“＝RANDBETWEEN(1，3000)”， 生成一个 1～3000 范围内的整数随机数； ③利用电子表格软件的自动填充功能得到 48 个没有重复的随机数； ④与这 48 个号码相对应的 48 份初中生的答卷就是要抽取的样本．