人教A版（2019）必修二同步练习题7.2 复数的四则运算

A 级：“四基”巩固训练 一、选择题 1．设 z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则 z1－z2在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案 D 解析 z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，在复平面内 z1－z2对应点的坐标为 (5，－7)，位于第四象限． 2．在复平面内，复数 6＋5i，－2＋3i 对应的点分别为 A，B，若 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是( ) A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i 答案 C 解析 两个复数对应的点的坐标分别为 A(6,5)，B(－2，3)，则其中点的坐标 为 C(2,4)，故其对应的复数为 2＋4i. 3．在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若向量OA → ，OB → 对 应的复数分别是 3＋i，－1＋3i，则CD → 对应的复数是( ) A．2＋4i B．－2＋4i C．－4＋2i D．4－2i 答案 D 解析 在平行四边形 ABCD 中，CD → ＝BA → ＝OA → －OB → ＝3＋i－(－1＋3i)＝4－ 2i. 4．设 m∈R，复数 z＝(2m2＋3i)＋(m－m2i)＋(－1＋2mi)，若 z 为纯虚数，则 m 等于( ) A．－1 B．3 C. 1 2 D．－1 或 3 答案 C 解析 z＝(2m2＋m－1)＋(－m2＋2m＋3)i 为纯虚数， 则    2m2＋m－1＝0， －m2＋2m＋3≠0， 解得 m＝ 1 2 . 5．设复数 z 满足|z－3－4i|＝1，则|z|的最大值是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 答案 D 解析 因为|z－3－4i|＝1，所以复数 z 所对应点在以(3,4)为圆心，1 为半径的 圆上，由几何性质得|z|的最大值是 32＋42＋1＝6. 6．A，B 分别是复数 z1，z2 在复平面内对应的点，O 是原点，若|z1＋z2|＝|z1 －z2|，则△AOB 一定是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 答案 B 解析 根据复数加减法的几何意义知，以复数 z1，z2在复平面内对应的向量 O A → ，OB → 为邻边作平行四边形，∵|z1＋z2|＝|z1－z2|，∴该四边形的对角线相等，∴ 此平行四边形为矩形，∴△AOB 是直角三角形． 二、填空题 7．在复平面上复数－1＋i,0,3＋2i 所对应的点分别是 A，B，C，则平行四边 形 ABCD 的对角线 BD 的长为________． 答案 13 解析 B A → 对应的复数为－1＋i，B C → 对应的复数为 3＋2i，BD → 对应的复数为 －1＋i＋3＋2i＝2＋3i，∴BD 的长为|2＋3i|＝ 22＋32＝ 13. 8．实数 x，y 满足 z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且 z1－z2＝2，则 xy 的值是________． 答案 1 解析 z1－z2＝y＋xi－yi＋x＝(x＋y)＋(x－y)i. ∵z1－z2＝2，∴    x＋y＝2， x－y＝0， ∴    x＝1， y＝1， ∴xy＝1. 9．设 f(z)＝z－3i＋|z|，若 z1＝－2＋4i，z2＝5－i，则 f(z1＋z2)＝________. 答案 3＋3 2 解析 因为 z1＋z2＝－2＋4i＋5－i＝3＋3i，所以 f(z1＋z2)＝(3＋3i)－3i＋|3＋ 3i|＝3＋ 32＋32＝3＋3 2. 三、解答题 10．已知复数 z 满足|z|＋z＝1＋3i，求 z － . 解 设 z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝ x2＋y2. 又|z|＋z＝1＋3i， 所以 x2＋y2＋x＋yi＝1＋3i， 由复数相等得    x2＋y2＋x＝1， y＝3， 解得    x＝－4， y＝3， 所以 z＝－4＋3i.所以 z －＝－4－3i. B 级：“四能”提升训练 1．已知复平面上的四个点 A，B，C，D 构成平行四边形，顶点 A，B，C 对 应复数－5－2i，－4＋5i,2，求点 D 对应的复数． 解 分三种情况： ①当BA → ＝CD → 时，zA－zB＝zD－zC， 所以 zD＝zA－zB＋zC＝(－5－2i)－(－4＋5i)＋2＝1－7i. 即点 D 对应的复数为 1－7i. ②当BA → ＝DC → 时，zA－zB＝zC－zD， 所以 zD＝zC－zA＋zB＝2－(－5－2i)＋(－4＋5i)＝3＋7i. ③当AC → ＝DB → 时，zC－zA＝zB－zD， 所以 zD＝zB－zC＋zA＝(－4＋5i)－2＋(－5－2i)＝－11＋3i. 故点 D 对应的复数为 1－7i 或 3＋7i 或－11＋3i. 2．设 z1＝1＋2ai，z2＝a－i(a∈R)，A＝{z||z－z1|< 2}，B＝{z||z－z2|≤2 2}， 已知 A∩B＝∅，求 a 的取值范围． 解 ∵z1＝1＋2ai，z2＝a－i，|z－z1|< 2， 即|z－(1＋2ai)|< 2，|z－z2|≤2 2， 即|z－(a－i)|≤2 2， 由复数减法及模的几何意义知，集合 A 是以(1,2a)为圆心， 2为半径的圆的 内部的点对应的复数，集合 B 是以(a，－1)为圆心，2 2为半径的圆周及其内部 的点所对应的复数，若 A∩B＝∅，则两圆圆心距大于或等于半径和，即 (1－a)2＋(2a＋1)2≥3 2，解得 a≤－2 或 a≥ 8 5 .