高中数学人教A版（2019）必修二同步练习题10.2 事件的相互独立性(1)

A 级：“四基”巩固训练 一、选择题 1．若 A，B 是相互独立事件，且 P(A)＝ 1 4 ，P(B)＝ 2 3 ，则 P(A B － )＝( ) A. 1 12 B. 1 6 C. 1 4 D. 1 2 答案 A 解析 ∵A，B 是相互独立事件，且 P(A)＝ 1 4 ，P(B)＝ 2 3 ，则 A 与 B －也是相互独 立事件，∴P(A B － )＝P(A)·P( B － )＝ 1 4 × 1 3 ＝ 1 12 .故选 A. 2．已知 A，B 是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率， 则 1－P(A)P(B)是下列哪个事件的概率？( ) A．事件 A，B 同时发生 B．事件 A，B 至少有一个发生 C．事件 A，B 至多有一个发生 D．事件 A，B 都不发生 答案 C 解析 P(A)P(B)是指 A，B 同时发生的概率，1－P(A)P(B)是 A，B 不同时发生 的概率，即至多有一个发生的概率． 3．在某段时间内，甲地下雨的概率为 0.3，乙地下雨的概率为 0.4，假设在这 段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概 率为( ) A．0.12 B．0.88 C．0.28 D．0.42 答案 D 解析 P＝(1－0.3)×(1－0.4)＝0.42. 4．袋中装有红、黄、蓝 3 种颜色的球各 1 个，从中每次任取 1 个，有放回地 抽取 3 次，则 3 次全是红球的概率为( ) A. 1 4 B. 1 9 C. 1 3 D. 1 27 答案 D 解析 有放回地抽取 3 次，每次可看作一个独立事件．每次取出的球为红球 的概率为 1 3 ，“3 次全是红球”为三个独立事件同时发生，其概率为 1 3 × 1 3 × 1 3 ＝ 1 27 . 5．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙 队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率 为( ) A. 3 4 B. 2 3 C. 3 5 D. 1 2 答案 A 解析 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率 P1＝ 1 2 ；第二类，需 比赛 2 局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率 P2＝ 1 2 × 1 2 ＝ 1 4 .故甲队获得冠军的概 率为 P1＋P2＝ 3 4 . 二、填空题 6．某人有 8 把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门．一次该人醉酒回 家，每次从 8 把钥匙中随便拿一把开门，试用后又不加记号放回，则该人第三次 打开家门的概率是________． 答案 49 512 解析 由已知每次打开家门的概率为 1 8 ，则该人第三次打开家门的概率为       1－ 1 8       1－ 1 8 × 1 8 ＝ 49 512 . 7．一道数学竞赛试题，甲同学解出它的概率为 1 2 ，乙同学解出它的概率为 1 3 ， 丙同学解出它的概率为 1 4 ，由甲、乙、丙三人独立解答此题，则只有一人解出的概 率为________． 答案 11 24 解析 只有一人解出的概率 P＝ 1 2 × 2 3 × 3 4 ＋ 1 2 × 1 3 × 3 4 ＋ 1 2 × 2 3 × 1 4 ＝ 11 24 . 8．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为 1 3 ，乙、丙去北京旅游的概率分别为 1 4 ， 1 5 .假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的 概率为________． 答案 3 5 解析 因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为 1 3 ， 1 4 ， 1 5 .因此，他们不去北京 旅游的概率分别为 2 3 ， 3 4 ， 4 5 ，所以，至少有 1人去北京旅游的概率为 P＝1－ 2 3 × 3 4 × 4 5 ＝ 3 5 . 三、解答题 9．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为 4 5 ，乙当选的概率为 3 5 ， 丙当选的概率为 7 10 . (1)求恰有一名同学当选的概率； (2)求至多有两人当选的概率． 解 设甲、乙、丙当选的事件分别为 A，B，C，则有 P(A)＝ 4 5 ，P(B)＝ 3 5 ，P(C)＝ 7 10 . (1)因为事件 A，B，C 相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为 P(A B － C － )＋P( A － B C － )＋P( A － B － C) ＝P(A)P( B － )P( C － )＋P( A － )P(B)P( C － )＋P( A － )P( B － )P(C) ＝ 4 5 × 2 5 × 3 10 ＋ 1 5 × 3 5 × 3 10 ＋ 1 5 × 2 5 × 7 10 ＝ 47 250 . (2)至多有两人当选的概率为 1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－ 4 5 × 3 5 × 7 10 ＝ 83 125 . B 级：“四能”提升训练 某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人 100 米 跑(互不影响)的成绩在 13 s 内(称为合格)的概率分别为 2 5 ， 3 4 ， 1 3 ，若对这三名短跑 运动员的 100 米跑的成绩进行一次检测，求： (1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大． 解 设甲、乙、丙三人 100 米跑成绩合格分别为事件 A，B，C，显然事件 A， B，C 相互独立，则 P(A)＝ 2 5 ，P(B)＝ 3 4 ，P(C)＝ 1 3 . 设恰有 k 人合格的概率为 Pk(k＝0,1,2,3)． (1)三人都合格的概率为 P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝ 2 5 × 3 4 × 1 3 ＝ 1 10 . (2)三人都不合格的概率为 P0＝P( A － B － C － )＝P( A － )P( B － )P( C － )＝ 3 5 × 1 4 × 2 3 ＝ 1 10 . (3)恰有两人合格的概率为 P2＝P(AB C － )＋P(A B － C)＋P( A － BC)＝ 2 5 × 3 4 × 2 3 ＋ 2 5 × 1 4 × 1 3 ＋ 3 5 × 3 4 × 1 3 ＝ 23 60 . 恰有一人合格的概率为 P1＝1－P0－P2－P3＝1－ 1 10 － 23 60 － 1 10 ＝ 25 60 ＝ 5 12 . 综合(1)(2)可知 P1最大． 所以出现恰有一人合格的概率最大．