2020年普通高等学校招生全国理科数学统一考试

2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.若 z=1+i，则|z2–2z|=（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2 2.设集合 A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且 A∩B={x|–2≤x≤1}，则 a=（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高 为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底 面正方形的边长的比值为（ ） A. 5 1 4  B. 5 1 2  C. 5 1 4  D. 5 1 2  4.已知 A 为抛物线 C:y2=2px（p>0）上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9， 则 p=（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x（单位：°C）的关系，在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 ( , )( 1,2, ,20)i ix y i   得到下面的散点图： 由此散点图，在 10°C 至 40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是（ ） A. y a bx  B. 2y a bx  C. exy a b  D. lny a b x  6.函数 4 3( ) 2f x x x  的图像在点 (1 (1))f， 处的切线方程为（ ） A. 2 1y x   B. 2 1y x   C. 2 3y x  D. 2 1y x  7.设函数 ( ) cos π( )6f x x  在[ π,π] 的图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为（ ） A. 10π 9 B. 7π 6 C. 4π 3 D. 3π 2 8. 2 5( )( )x xy x y  的展开式中 x3y3 的系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 9.已知   π( )0, ，且3cos2 8cos 5   ，则sin  （ ） A. 5 3 B. 2 3 C. 1 3 D. 5 9 10.已知 , ,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙ 1O 为 ABC 的外接圆，若⊙ 1O 的面积为 4π ， 1AB BC AC OO   ，则球O 的表面积为（ ） A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π 11.已知⊙M： 2 2 2 2 2 0x y x y     ，直线l ： 2 2 0x y   ， P 为l 上的动点，过点 P 作⊙M 的切线 ,PA PB ，切点为 ,A B ，当| | | |PM AB 最小时，直线 AB 的方程为（ ） A. 2 1 0x y   B. 2 1 0x y   C. 2 1 0x y   D. 2 1 0x y   12.若 2 42 log 4 2loga ba b   ，则（ ） A. 2a b B. 2a b C. 2a b D. 2a b 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.若 x，y 满足约束条件 2 2 0, 1 0, 1 0, x y x y y           则 z=x+7y 的最大值为______________. 14.设 ,a b 为单位向量，且| | 1 a b ，则| |a b  ______________. 15.已知 F 为双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的右焦点，A 为 C 的右顶点，B 为 C 上的点，且 BF 垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率为______________. 16.如图，在三棱锥 P–ABC 的平面展开图中，AC=1， 3AB AD  ，AB⊥AC，AB⊥AD， ∠CAE=30°，则 cos∠FCB=______________. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.设{ }na 是公比不为 1 的等比数列， 1a 为 2a ， 3a 的等差中项． （1）求{ }na 的公比； （2）若 1 1a  ，求数列{ }nna 的前 n 项和． 18.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心， AE 为底面直径， AE AD ． ABC 是 底面的内接正三角形， P 为 DO 上一点， 6 6PO DO ． （1）证明： PA  平面 PBC ； （2）求二面角 B PC E  的余弦值． 19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签 决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场 轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰， 另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都 为 1 2 ， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 20.已知 A、B 分别为椭圆 E： 2 2 2 1x ya   （a>1）的左、右顶点，G 为 E 的上顶点， 8AG GB   ， P 为直线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D． （1）求 E 的方程； （2）证明：直线 CD 过定点. 21.已知函数 2( ) exf x ax x   . （1）当 a=1 时，讨论 f（x）的单调性； （2）当 x≥0 时，f（x）≥ 1 2 x3+1，求 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则 按所做的第一题计分。 [选修 4—4：坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 cos , sin k k x t y t     (t 为参数 ) ．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 4 cos 16 sin 3 0      ． （1）当 1k  时， 1C 是什么曲线？ （2）当 4k  时，求 1C 与 2C 的公共点的直角坐标． [选修 4—5：不等式选讲] 23.已知函数 ( ) | 3 1| 2 | 1|f x x x    ． （1）画出 ( )y f x 的图像； （2）求不等式 ( ) ( 1)f x f x  的解集．