2020年数学普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

2020 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数 学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用 时 120 分钟．第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 4 至 6 页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并 在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在 试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第 I 卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分． 参考公式： 如果事件 A与事件 B 互斥，那么 ( ) ( ) ( )  P A B P A P B ． 如果事件 A与事件 B 相互独立，那么 ( ) ( ) ( )P AB P A P B ． 球的表面积公式 24S R ，其中 R 表示球的半径． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设全集 { 3, 2, 1,0,1,2,3}U     ，集合 { 1,0,1,2}, { 3,0,2,3}A B    ，则  UA B  ð （ ） A. { 3,3} B. {0,2} C. { 1,1} D. { 3, 2, 1,1,3}   2.设 aR ，则“ 1a  ”是“ 2a a ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.函数 2 4 1 xy x   的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4.从一批零件中抽取 80 个，测量其直径（单位： mm ），将所得数据分为 9 组： [5.31,5.33),[5.33,5.35), ,[5.45,5.47],[5.47,5.49] ，并整理得到如下频率分布直方图，则 在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47) 内的个数为（ ） A. 10 B. 18 C. 20 D. 36 5.若棱长为 2 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 144 6.设 0.8 0.7 0.7 13 , , log 0.83a b c       ，则 , ,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c  B. b a c  C. b c a  D. c a b  7.设双曲线C 的方程为 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     ，过抛物线 2 4y x 的焦点和点 (0, )b 的直线为 l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（ ） A. 2 2 14 4 x y  B. 2 2 14 yx   C. 2 2 14 x y  D. 2 2 1x y  8.已知函数 ( ) sin 3f x x      ．给出下列结论： ① ( )f x 的最小正周期为 2 ； ② 2f      是 ( )f x 的最大值； ③把函数 siny x 的图象上所有点向左平移 3  个单位长度，可得到函数 ( )y f x 的图象． 其中所有正确结论的序号是 A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 9.已知函数 3, 0,( ) , 0. x xf x x x    … 若函数 2( ) ( ) 2 ( )g x f x kx x k   R 恰有 4 个零点，则 k 的取值范围是（ ） A. 1, (2 2, )2       B. 1, (0,2 2)2      C. ( ,0) (0,2 2)  D. ( ,0) (2 2, )  绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数 学 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共 11 小题，共 105 分． 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．试题中包含两个空的，答 对 1 个的给 3 分，全部答对的给 5 分． 10.i 是虚数单位，复数 8 2 i i   _________． 11.在 5 2 2x x     的展开式中， 2x 的系数是_________． 12.已知直线 3 8 0x y   和圆 2 2 2 ( 0)x y r r   相交于 ,A B 两点．若| | 6AB  ，则 r 的 值为_________． 13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 1 2 和 1 3 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、 乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 14.已知 0, 0a b  ，且 1ab  ，则 1 1 8 2 2a b a b    的最小值为_________． 15.如图，在四边形 ABCD 中， 60 , 3B AB   ， 6BC  ，且 3, 2AD BC AD AB       ，则实数  的值为_________，若 ,M N 是线段 BC 上的动点， 且| | 1MN  ，则 DM DN  的最小值为_________． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤． 16.在 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ．已知 2 2, 5, 13a b c   ． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求 sin A 的值； （Ⅲ）求sin 2 4A     的值． 17.如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 1CC  平面 , , 2ABC AC BC AC BC   ， 1 3CC  ， 点 ,D E 分别在棱 1AA 和棱 1CC 上，且 1 2,AD CE M  为棱 1 1A B 的中点． （Ⅰ）求证： 1 1C M B D ； （Ⅱ）求二面角 1B B E D  的正弦值； （Ⅲ）求直线 AB 与平面 1DB E 所成角的正弦值． 18.已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的一个顶点为 (0, 3)A  ，右焦点为 F ，且| | | |OA OF ， 其中O 为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知点 C 满足 3OC OF  ，点 B 在椭圆上（ B 异于椭圆的顶点），直线 AB 与以 C 为 圆心的圆相切于点 P ，且 P 为线段 AB 的中点．求直线 AB 的方程． 19.已知 na 为等差数列， nb 为等比数列，    1 1 5 4 3 5 4 31, 5 , 4a b a a a b b b      ． （Ⅰ）求 na 和 nb 的通项公式； （Ⅱ）记 na 的前 n 项和为 nS ，求证：  2 * 2 1n n nS S S n  N ； （Ⅲ）对任意的正整数 n ，设   2 1 1 3 2 , , , . n n n n n n n a b na ac a nb          为奇数 为偶数 求数列 nc 的前 2n 项和． 20.已知函数 3( ) ln ( )f x x k x k R   ， ( )f x 为 ( )f x 的导函数． （Ⅰ）当 6k  时， （i）求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程； （ii）求函数 9( ) ( ) ( )g x f x f x x    的单调区间和极值； （Ⅱ）当 3k … 时，求证：对任意的 1 2, [1, )x x   ，且 1 2x x ，有        1 2 1 2 1 22 f x f x f x f x x x     ．