（人教版）高中数学选修2-2课件：第2章 推理与证明2.3

数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2．3 数学归纳法 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 • 自主学习 新知突 破 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1．了解数学归纳法的原理． 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 下图为多米诺骨牌： 如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？ 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 [提示] (1)处理第一个问题；(相当于推倒第一块骨牌) (2)验证前一问题与后一问题有递推关系．(相当于前牌推 倒后牌) 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤 进行： 1．(归纳奠基)证明当n取___________ (n0∈N*)时命题成 立； 2．(归纳递推)假设 ___________________时命题成立，证 明当__________时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有 正整数n都成立． • 第一个值n0 • n＝k(k≥n0，k∈N*) • n＝k＋1 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 上述证明方法叫做数学归纳法 可以用框图表示为： 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数学归纳法的应用及注意事项 (1)数学归纳法的应用范围是证明与正整数有关的恒等式、 不等式、数的整除性、几何问题，探求数列的通项及前n项和 等． 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)应用数学归纳法应注意： ①数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的证 明． ②验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不 可； ③在证明n＝k＋1命题成立时，必须使用归纳假设的结 论，否则就不是数学归纳法． 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π” 时，归纳奠基中n0的取值应为(  ) A．1       B．2 C．3 D．4 解析： 边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3. 答案： C 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 答案： D 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达 式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时， 表达式为__________            . 解析： 当n＝k＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k ＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k＋1. 答案： 1×4＋2×7…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋ 1)(k＋2)2 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 4．用数学归纳法证明：1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝(2n－ 1)·n. 证明： ①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立． ②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立， 即1＋5＋9＋…＋(4k－3)＝k(2k－1)． 则当n＝k＋1时，左边＝1＋5＋9＋…＋(4k－3)＋(4k＋1) ＝k(2k－1)＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝(2k＋1)(k＋1) ＝[2(k＋1)－1](k＋1)＝右边， ∴当n＝k＋1时，命题成立． 由①②知，对一切n∈N*，命题成立． 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 • 合作探究 课堂互 动 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 用数学归纳法证明等式或不等式 [思路点拨]  数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题 时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的 两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝ k＋1时，等式两边会增加多少项．•   数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 用数学归纳法证明几何问题 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找 项”，即几何元素从k个变成(k＋1)个时，所证的几何量将增加 多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析．在实在分 析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子， 然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是 用数学归纳法证明几何命题的一大技巧． •   数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 归纳—猜想—证明 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 “观察—归纳—猜想—证明”模式的题目的解法 (1)观察：由已知条件写出前几项； (2)归纳：找出前几项的规律，找到项与项数的关系； (3)猜想：猜想出通项公式； (4)证明：用数学归纳法证明猜想的形式，因为猜想不一定 正确，所以要通过数学归纳法给出证明． •   数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3 ．数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，满足 2 S n ＝ a ＋ n ， an>0(n∈N*)， (1)求a1，a2，a3的值，并猜想数列{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想． 解析： (1)由2Sn＝a＋n得 当n＝1时，2a1＝a＋1，∴a1＝1. 当n＝2时，2S2＝a＋2，∴a2＝2. 当n＝3时，2S3＝a＋3，∴a3＝3. 猜想：数列{an}的通项公式为an＝n. 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 【错因】 没有利用归纳假设进行证明．第(2)步，不可以 直接利用等比数列的求和公式求出当n＝k＋1时式子的和，在 证明n＝k＋1时，一定要利用“归纳假设”． 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 谢谢观看！