（人教版）高中数学选修2-2课件：第2章 推理与证明2.2.2

数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2.2.2 反证法 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 • 自主学习 新知突 破 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1．了解反证法是间接证明的一种方法． 2．理解反证法的思维过程，并会用反证法证明简单的数 学问题． 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1．[问题] A，B，C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说 A，B都撒谎．则C必定是在撒谎，为什么？ [提示] 假设C没有撒谎，则C真．那么A假且B假；由A 假，知B真．这与B假矛盾．那么假设C没有撒谎不成立；则C 必定是在撒谎． 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2．已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不 可能都是奇数． [问题1] 你能利用综合法和分析法证明该问题吗？ [提示1] 不能． [问题2] a，b，c不可能都是奇数的反面是什么？ [提示2] 都是奇数． 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 假设原命题__________，经过正确的推理，最后得出矛 盾，因此说明__________，从而证明了____________，这种证 明方法叫做反证法． 定义 • 不成立 • 假设错误 • 原命题成立 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以 是与__________矛盾，或与________矛盾，或与_______、公 理、定理、事实矛盾等． 反 证 法常见 的矛 盾 类 型 • 已知条件 • 假设 • 定义 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 反证法的实质及注意事项 (1)反证法的实质 反证法不直接证明命题，而是从原命题的反面入手，合乎 逻辑地推出一个矛盾结果，由于两个相互矛盾的判断必有一真 一假，由此肯定命题“若p则q”为真． (2)注意事项 ①用反证法证明问题的第一步是“反设”，这一步一定要 准确，否则后面的过程毫无意义． ②反证法的“归谬”要合理． 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1．应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪些作 为条件使用(  ) ①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定 理、定义等；④原结论． A．①②      B．①②④ C．①②③ D．②③ 解析： 由反证法定义可知①②③正确． 答案： C 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么 a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(  ) A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除 C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除 解析： “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即 “a，b 都不能被5整除”． 答案： B 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个 步骤： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角 形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角． ③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝ 90°. 上述步骤的正确顺序为________． 解析： 由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为 ③①②. 答案： ③①② 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 • 合作探究 课堂互 动 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 用反 证 法证 明否(肯 )定式命 题 平面上有四个点，假设无三点共线，证明以每三 点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形． [思路点拨]  数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1 . 结 论 中 含 有 “ 不 ” “ 不 是 ” “ 不 可 能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适 于应用反证法． 2．用反证法证明问题的一般步骤： (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立． (2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾． (3)从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． •   数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 用反 证 法证 明唯 一性 问题 已知a与b是异面直线．求证：过a且平行于b的平 面只有一个． [思路点拨] 这是一个唯一性问题，直接证明较困难，宜 用反证法． 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 如图，假设过直线a且平行于直线b的平面有 两个，分别为α和β，在直线a上取点A，过b和A确定一个平面 γ，且γ与α，β分别交于过点A的直线c，d，由b∥α，知b∥c， 同理b∥d，故c∥d，这与c，d相交于点A矛盾，故假设不成 立，原结论成立． 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 用反证法证明唯一性命题的适用类型 (1)当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在” 等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，所以用反 证法证明唯一性就非常简单明了． (2)用反证法证题时，一定要处理好推出矛盾这一步骤，因 为反证法的核心就是从求证的结论反面出发，导出矛盾的结 果，因此如何导出矛盾，就成为了关键所在，对于证题步骤， 绝不可死记，而要具有全面扎实的基础知识，灵活运用． 特别提醒：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个 问题，即存在性问题和唯一性问题． 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2．已知：一点A和平面α. 求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直． 证明： 根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明． (1)如图，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两 条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个 平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a. 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 因为AB⊥平面α，AC⊥平面α， a⊂α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直 线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已 知直线的一条垂线相矛盾． 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 所以AB⊥BC，AC⊥BC. 在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中 经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾． 综上，经过一点A只能有一条直线和平面α垂直． 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 用反 证 法证 明“至 多 ”“至 少 ”存 在性 问题 已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y＝ax2 ＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线 至少有一条与x轴有两个不同的交点． [思路点拨] 结论中有词语“至少”，宜采用反证法，注 意“至少有一个”的否定形式为“一个也没有”． 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 所以AB⊥BC，AC⊥BC. 在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几 何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾． 综上，经过一点A只能有一条直线和平面α垂直． 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1.当命题出现“至多”“至少”等形式时， 适合用反证法． 2．常见的“结论词”与“反设词” •   原结 论词 至少有一个 至多有 一个 至少有n个 至多有n个 反设词 一个也没有 (不存在) 至少有 两个 至多有 n－1个 至少有 n＋1个 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 原结论词 只有一个 对所有x成立 对任意x不成立 反设词 没有或至 少有两个 存在某个x不成立 存在某个x成立 原结论词 都是 是 p或q p且q 反设词 不都是 不是 ¬p且¬q ¬p或¬q 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 ◎用反证法证明命题“a，b为整数，若a·b不是偶数，则 a，b都不是偶数”时，应假设为________． 【错解】 a，b不都是偶数 数 学 选修2-2 第二章 推理与证明 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 【错因】 应用反证法时，假设错误 a，b不都是偶数包括的情况有： ①a是偶数，b是奇数；②a是奇数，b是偶数；③a是奇 数，b是奇数． 注意否定的结论是不是结论的对立面，“a，b都不是偶 数”指“a，b都是奇数”，它的反面是“a，b不都是奇数”． 【正解】 a，b不都是奇数 谢谢观看！