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第一章 导数及其应用
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1.2 导数的计算
1.2.1 几个常用函数的导数
1.2.2 基本初等函数的导数公式
及导数的运算法则(一)
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• 自主学习 新知突
破
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1.掌握几个常用函数的导数,并能进行简单的应用.
2.掌握基本初等函数的导数公式,并能进行简单的应
用.
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[问题1] 函数y=f(x)=x的导数是什么?
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[问题2] 函数y=x的导数y′=1的意义是什么?
[提示2] y′=1表示函数y=x图象上每一点处的切线的斜
率都为1,如图.若y=x表示路程关于时间的函数,则y′=1可
以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动.
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几个常用函 数的导 数
• 0
• 1
• 2x
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基 本初 等函 数的导 数公 式
• 0
• αxα-1
• cos x
• -sin x
• axln a(a>0)
• ex
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2.对基本初等函数的导数公式的理解
不要求根据导数定义推导这八个基本初等函数的导数公
式,只要求能够利用它们求简单函数的导数,在学习中,适量
的练习对于熟悉公式是必要的,但应避免形式化的运算练习.
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解析: 因常数的导数等于0,故选C.
答案: C
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2.曲线y=x3上切线平行或重合于x轴的切点坐标( )
A.(0,0) B.(0,1)
C.(1,0) D.以上都不是
解析: (x3)′=3x2,若切线平行或重合于x轴则切线斜率k
=0,即3x2=0得x=0,
∴y=0,即切点为(0,0).故选A.
答案: A
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3.函数f(x)=sin x,则f′(6π)=________.
解析: f′(x)=cos x,所以f′(6π)=1.
答案: 1
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4.求下列函数的导数:
(1)y=x8;(2)y=π+1;(3)y=log2x;
(4)y=2e3;(5)y=2cos x.
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• 合作探究 课堂互
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求函 数的导 数
求下列函数的导数:
[思路点拨] 解答本题可先将解析式化为基本初等函数,
再利用公式求导.
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(1)y′=-3x-4.(2)y′=3xln 3.
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求简单函数的导函数有两种基本方法:
(1)用导数的定义求导,但运算比较繁杂;
(2)用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难
度.解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行调
整,再选择合适的求导公式.
•
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答案: B
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求某 一点处的导 数
[思路点拨] 先求导函数,再由导数值求P点横坐标.
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1.在某点处的导数与导函数是不同的,在某
点处的导数是指在该点处的导数值.
2.求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简,然
后求导,最后将变量的值代入导函数便可求解.•
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导 数几何意义的应用
已知曲线方程y=x2,求过点B(3,5)且与曲线相切
的直线方程.
[思路点拨] 解决切线问题的关键是求切点的坐标,要注
意区分是曲线在某点处的切线还是过某点的切线.
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1.求过点P的切线方程时应注意,P点在曲线
上还是在曲线外,两种情况的解法是不同的.
2.解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系:
一是切点坐标满足曲线方程;二是切点坐标满足对应切线
的方程;三是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值.
•
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3.已知点P(-1,1),点Q(2,4)是曲线y=x2上的两点,求与
直线PQ垂直的曲线y=x2的切线方程.
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◎求下列函数的导数.
(1)y=(-x)8;
(2)y=(ax)5(a为不等于0的常数).
【错解】 (1)y′=8(-x)7=-8x7.
(2)y′=5(ax)4=5a4x4.
【错因】 两小题的解法都是错用了公式(xn)′=nxn-1,本
公式成立的条件是底数是自变量x本身,而不是关于自变量x的
代数式,因此本题直接套用幂函数的求导公式是错误的.
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